高考数学一轮复习课时过关检测（五十二）曲线与方程

1、1 / 7 课时过关检测（五十二）课时过关检测（五十二） 曲线与方程曲线与方程 a 级级基础达标基础达标 1方程方程(2x3y1)( x31)0 表示的曲线是表示的曲线是( ) a两条直线两条直线 b两条射线两条射线 c两条线段两条线段 d一条直线和一条射线一条直线和一条射线 解析：解析：选选 d 原方程可化为原方程可化为 2x3y10，x30，或或x310，即，即 2x3y10(x3)或或 x4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线 2设点设点 a 为圆为圆(x1)2y21 上的动点上的动点，pa 是圆的切线，且是圆的切线，且|pa|1，则，则 p

2、点的轨迹点的轨迹方程为方程为( ) ay22x b(x1)2y24 cy22x d(x1)2y22 解析：解析：选选 d 如图，设如图，设 p(x，y)， 圆心为圆心为 m(1,0)连接连接 ma，pm， 则则 mapa，且，且|ma|1， 又因为又因为|pa|1， 所以所以|pm| |ma|2|pa|2 2， 即即|pm|22，所以，所以(x1)2y22. 3.如图所示，在平面直角坐标系如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，中，a(1,0)，b(1,1)，c(0,1)，映，映射射 f 将将 xoy 平面上的点平面上的点 p(x，y)对应到另一个平面直角坐标系对应到另一个平面直角坐标系 uo

3、v 上的上的点点 p(2xy，x2y2)，则当点，则当点 p 沿着折线沿着折线 a- b- c 运动时，在映射运动时，在映射 f 的作用的作用下，动点下，动点 p的轨迹是的轨迹是( ) 解析：解析：选选 d 当当 p 沿沿 ab 运动时，运动时，x1，设，设 p(x，y)，则，则 x2y，y1y2(0y1)，故，故 y1x24(0 x2,0y1)当当 p 沿沿 bc 运动时，运动时，y1，则，则 x2x，yx21(0 x1)，所以，所以 yx241(0 x2，1y0)，由此可知，由此可知 p的的轨迹如轨迹如 d 所示，故选所示，故选 d. 2 / 7 4动点动点 p 为椭圆为椭圆x2a2y2b

4、21(ab0)上异于椭圆顶点上异于椭圆顶点 a(a,0)，b(a,0)的一点，的一点，f1，f2为椭圆的两个焦点，动圆为椭圆的两个焦点，动圆 m 与线段与线段 f1p，f1f2的延长线及线段的延长线及线段 pf2相切，则圆心相切，则圆心 m 的轨的轨迹迹为除去坐标轴上的点的为除去坐标轴上的点的( ) a抛物线抛物线 b椭圆椭圆 c双曲线的右支双曲线的右支 d一条直线一条直线 解析：解析：选选 d 如图，设切点分别为如图，设切点分别为 e，d，g，由切线长相等可，由切线长相等可得得|f1e|f1g|，|f2d|f2g|，|pd|pe|.由椭圆的定义可得由椭圆的定义可得|f1p|pf2|f1p|p

5、d|df2|f1e|df2|2a，即，即|f1e|gf2|2a，也即也即|f1g|gf2|2a，故点，故点 g 与点与点 a 重合，所以点重合，所以点 m 的横坐标是的横坐标是 xa，即点，即点 m 的轨迹是一条直线的轨迹是一条直线(除去除去 a 点点)，故选，故选 d. 5设过点设过点 p(x，y)的直线分别与的直线分别与 x 轴的轴的正半轴和正半轴和 y 轴的正半轴交于轴的正半轴交于 a，b 两点，点两点，点 q与点与点 p 关于关于 y 轴对称，轴对称，o 为坐标原点若为坐标原点若 bp2 pa，且，且 oqab1，则点，则点 p 的轨迹方的轨迹方程是程是( ) a32x23y21(x0

6、，y0) b32x23y21(x0，y0) c3x232y21(x0，y0) d3x232y21(x0，y0) 解析解析：选选 a 设设 a(a,0)，b(0，b)，a0，b0.由由 bp2 pa，得得(x，yb)2(ax，y)，即即 a32x0，b3y0.点点 q(x，y)，故由故由 oqab1，得得(x，y) (a，b)1，即即 axby1.将将 a32x，b3y 代入代入 axby1，得所求的轨迹方程为得所求的轨迹方程为32x23y21(x0，y0) 6.如图所示，已知如图所示，已知 f1，f2是椭圆是椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦的左、右焦点，点，p 是椭圆是椭圆 上任

7、意一点，过上任意一点，过 f2作作f1pf2的外角的角平分线的垂的外角的角平分线的垂线，垂足为线，垂足为 q，则点，则点 q 的轨迹为的轨迹为( ) a直线直线 b圆圆 c椭圆椭圆 d双曲线双曲线 解析：解析：选选 b 如图，延长如图，延长 f2q，与，与 f1p 的延长线交于点的延长线交于点 m，连接，连接oq.因为因为 pq 是是f1pf2的外角的角平分线，且的外角的角平分线，且 pqf2m，所以在所以在pf2m 中，中，|pf2|pm|，且，且 q为线段为线段 f2m的中点又的中点又 o为线段为线段 f1f2的的3 / 7 中点，由三角形的中位线定理，得中点，由三角形的中位线定理，得|o

8、q|12|f1m|12(|pf1|pf2|)根据椭圆的定义，得根据椭圆的定义，得|pf1|pf2|2a，所以，所以|oq|a，所以点，所以点 q 的轨迹为以原点为圆心，半径为的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆，故选的圆，故选b. 7已知已知 a(5,0)，b(5,0)，动点，动点 p 满足满足| pb|，12| pa|,8 成等差数列，则点成等差数列，则点 p 的轨迹方的轨迹方程为程为_ 解析：解析：由已知得由已知得| pa| pb|8， 所以点所以点 p 的轨迹是以的轨迹是以 a，b 为焦点的双曲线的右支，为焦点的双曲线的右支， 且且 a4，b3，c5， 所以点所以点 p 的轨迹方程为的

9、轨迹方程为x216y291(x4) 答案：答案：x216y291(x4) 8在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，o 为坐标原点，为坐标原点，a(1,0)，b(2,2)，若点，若点 c 满足满足 oc oat( ob oa)，其中，其中 tr，则点，则点 c 的轨迹方程是的轨迹方程是_ 解析：解析：设设 c(x，y)，则，则 oc(x，y)， oat( ob oa)(1t,2t)，所以，所以 xt1，y2t消去参数消去参数 t 得点得点 c 的轨迹方程为的轨迹方程为 y2x2. 答案：答案：y2x2 9设设 f1，f2为椭圆为椭圆x24y231 的左、右焦点，的左、右焦点，a 为椭圆上任意一

10、点，过焦点为椭圆上任意一点，过焦点 f1向向f1af2的外角平分线作垂线，垂足为的外角平分线作垂线，垂足为 d，则点，则点 d 的轨迹方程是的轨迹方程是_ 解析：解析：由题意，延长由题意，延长 f1d，f2a 并交于点并交于点 b，易证，易证 rtabdrtaf1d，则，则|f1d|bd|，|f1a|ab|，又，又 o 为为 f1f2的中点，连接的中点，连接 od，则，则odf2b，从而可知，从而可知|do|12|f2b|12(|af1|af2|)2，设点，设点 d 的坐标的坐标为为(x，y)，则，则 x2y24. 答案：答案：x2y24 10已知已知 a(2,0)，b(2,0)，斜率为，斜率

11、为 k 的直线的直线 l 上存在不同的两点上存在不同的两点 m，n 满足满足|ma|mb|2 3，|na|nb|2 3，且线段，且线段 mn 的中点为的中点为(6,1)，则，则 k 的值为的值为_ 解析：解析：因为因为|ma|mb|2 3，|na|nb|2 3， 由双曲线的定义知，点由双曲线的定义知，点 m，n 在以在以 a，b 为焦点的双曲线的右支上，且为焦点的双曲线的右支上，且 c2，a3，所以，所以 b1，所以该双曲线的方程为，所以该双曲线的方程为x23y21. 4 / 7 设设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则，则 x1x212，y1y22.设直线设直线 l 的方程为的方程为 y

12、kxm，代，代入双曲线的方程，消去入双曲线的方程，消去 y，得，得(13k2)x26mkx3m230， 所以所以 x1x26mk13k212， y1y2k(x1x2)2m12k2m2， 由由解得解得 k2. 答案：答案：2 11.如图，动圆如图，动圆 c1：x2y2t2(1t3)与椭圆与椭圆 c2：x29y21 相交相交于于 a，b，c，d 四点点四点点 a1，a2分别为分别为 c2的左、右顶点，求直线的左、右顶点，求直线aa1与直线与直线 a2b 交点交点 m 的轨迹方程的轨迹方程 解：解：由椭圆由椭圆 c2：x29y21，知，知 a1(3,0)，a2(3,0) 设点设点 a 的坐标为的坐标

13、为(x0，y0)， 由曲线的对称性，得由曲线的对称性，得 b(x0，y0)， 设点设点 m 的坐标为的坐标为(x，y)， 直线直线 aa1的方程为的方程为 yy0 x03(x3) 直线直线 a2b 的方程为的方程为 yy0 x03(x3) 由由相乘得相乘得 y2y20 x209(x29) 又点又点 a(x0，y0)在椭圆在椭圆 c2上，故上，故 y201x209. 将将代入代入得得x29y21(x3，y0) 因此点因此点 m 的轨迹方程为的轨迹方程为x29y21(x3，y1)，求证：，求证： nf fq. 解：解：(1)依题意知，直线依题意知，直线 a1n1的方程为的方程为 ym6(x 6)，

14、 直线直线 a2n2的方程为的方程为 yn6(x 6)， 设设 m(x，y)是直线是直线 a1n1与与 a2n2的交点，的交点， 5 / 7 得得 y2mn6(x26)， 又又 mn2，整理得，整理得x26y221.故点故点 m 的轨迹的轨迹 c 的方程为的方程为x26y221. (2)证明：设过点证明：设过点 r 的直线的直线 l：xty3，p(x1，y1)，q(x2，y2)，则，则 n(x1，y1)， 由由 xty3，x26y221，消去消去 x，得，得(t23)y26ty30，(*) 所以所以 y1y26tt23，y1y23t23. 由由 rp rq，得，得(x13，y1)(x23，y2

15、)，故，故 x13(x23)，y1y2， 由由(1)得得 f(2,0)，要证，要证 nf fq， 即证即证(2x1，y1)(x22，y2)， 只需证只需证 2x1(x22)，只需，只需x13x23x12x22， 即证即证 2x1x25(x1x2)120， 又又 x1x2(ty13)(ty23)t2y1y23t(y1y2)9，x1x2ty13ty23t(y1y2)6，所以，所以 2t2y1y26t(y1y2)185t(y1y2)30120，即，即 2t2y1y2t(y1y2)0， 而而 2t2y1y2t(y1y2)2t23t23t6tt230 成立成立，即即 nffq 成立成立 b 级级综合应用

16、综合应用 13.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线如图，在此圆锥中，母历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线如图，在此圆锥中，母线与圆锥的轴的夹角为线与圆锥的轴的夹角为 30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与轴，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与轴的交点的交点 o 到圆锥顶点到圆锥顶点 m 的距离为的距离为 1，对于所得截口曲线给出如下命，对于所得截口曲线给出如下命题：题： 曲线为椭圆；曲线为椭圆； 点点 o 为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点；为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点； 该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为32，

17、最短的距离为，最短的距离为2 33； 该曲线的离心率为该曲线的离心率为33. 其中正确命题的序号为其中正确命题的序号为( ) a b c d 解析：解析：选选 a 由题意易知曲线为椭圆，故由题意易知曲线为椭圆，故正确正确 6 / 7 画出轴截面的示意图如图所示，画出轴截面的示意图如图所示，a，b 为截面与圆锥的两条母线的为截面与圆锥的两条母线的交点交点 因为因为amobmo30，maab，mo1， 所以所以 ao12mo12，ombobm30， 所以所以 bomo1，所以，所以aobo12. 因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为 ab， 所以点所

18、以点 o 为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点，所以为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点，所以正确正确 因为曲线是一个封闭的曲线，所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离，故因为曲线是一个封闭的曲线，所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离，故错误错误 易知易知 cosaomcos 6012，cosamocos 3032，则椭圆的离心率，则椭圆的离心率 ecosaomcosamo123233，故，故正确故选正确故选 a 14若曲线若曲线 c 上存在点上存在点 m，使，使 m 到平面内两点到平面内两点 a(5,0)，b(5，0)距离之差的绝对值距离之差的绝对值

19、为为 8，则称曲线，则称曲线 c 为为“好曲线好曲线”以下曲线不是以下曲线不是“好曲线好曲线”的有的有_(填序号填序号) xy5；x2y29；x225y291；x216y. 解析：解析：m 到平面内两点到平面内两点 a(5,0)，b(5,0)距离之差的绝对值为距离之差的绝对值为 8， m 的轨迹是以的轨迹是以 a(5,0)，b(5,0)为焦点的双曲线，方程为为焦点的双曲线，方程为x216y291. ，直线，直线 xy5 过点过点(5,0)，故直线与，故直线与 m 的轨迹有交点，满足题意；的轨迹有交点，满足题意； ，x2y29 的圆心为的圆心为(0,0)，半径为，半径为 3，与，与 m 的轨迹没有交点，不满足题意；的轨迹没有交点，不满足题意； ，x225y291 的右顶点为的右顶点为(5,0)，故椭圆，故椭圆x225y291 与与 m 的轨迹有交点，满足的轨迹有交点，满足题意；题意； ，把，把 x216y 代入代入x216y291，可得，可得 yy291， 即即 y29y90，0，满足题意，满足题意 答案：答案： 15.如图，如图，p 是圆是圆 x2y24 上的动点，上的动点，p 点在点在 x 轴上的射影是轴上的射影是 d，点点 m 满足满足 dm12dp. (1)求动点求动点 m 的轨迹的轨迹 c 的方程，并说明轨迹是什么图形；的方程