关于实数集完备性的基本理

1、第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理教学目的与要求：1）进一步加深对实数集上下确界、数列的子列以及函数在一区间上一致连续等重要概念的理解，为掌握本章有关内容做好准备；2）掌握区间套、聚点等重要概念；3）熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理，明确定理的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解其实质意4）能应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，显著提高学生的分析论证能力教学重点，难点：熟练掌握确界原理、单调有界定理、柯西准则和区间套定理，明确定理

2、的条件和结论，准确地加以表述，并深刻理解和掌握其证明思想；应用聚点定理和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用聚点定理和有限覆盖定理进行分析论证的方法，提高学生的分析论证能力教学内容：一 区间套定理与柯西收敛准则定义1 设闭区间列具有如下性质：（i） (后一个区间包含在前一个区间内)；(ii) （区间长度收敛于0），则称为闭区间套，或简称区间套注：由（i）式知，即递增有上界，递减有下界注： 闭区间套有三个条件：（1）后一个区间包含在前一个区间内（递增，递减），（2）区间长度收敛于0，（3）闭区间例：，是闭区间套，不是闭区间套，因为不是递增，不是闭区间套，因为区

3、间长度不收敛于0，不是闭区间套，因为不是闭区间定理71（区间套定理）若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得即 ，且证：（存在性）由（i）式知，递增有上界，依单调有界定理（单调递增有上界的数列的极限是上确界）知，有极限，且有同理，递减有下界的数列也有极限，并由区间套的条件（ii）有，且由单调递减有下界的数列的极限是下确界知则（唯一性）设也满足，且由有，再由区间套的条件（ii）得故有推论若是区间套所确定的点，则对，使得当时有证： ， ， ，则，即注区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立对于开区间列，有可能不成立，如，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，且，但只有数

4、0可以作为，但0不属于该区间注 对于开区间列有下列结果：设是一个严格开区间套，即满足,且则存在唯一的一点，使得证 （存在性）由知严格递增有上界，依单调有界定理知，有极限，且有，其中等号不能成立，不然，若有，因为严格递增，必有，矛盾，故，同理递减有下界的数列也有极限，且，（唯一性）设也满足，且由有，再由区间套的条件（ii）得故有注 区间套中的(ii)的作用是保证公共点唯一思考 若,但,此时应有什么结论呢？答 由知递增有上界，依单调有界定理知，有极限，且有同理，递减有下界的数列也有极限，且，又因为，由极限保不等式性与知，则对任意的，只要，就有属于所有的闭区间注 应用区间套定理的关键是针对要证明的数

5、学命题，恰当地构造区间套一方面，闭区间列满足（i）(ii)，另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中前者是区间套定理本身条件的要求，保证诸区间唯一存在公共点；后者则把证明整个区间上所具有某性质的问题归结为点邻域的性质，完满实现“整体”向“局部”的转化作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的数列的柯西收敛准则（定理210），即数列收敛的充要条件是：对任给的，存在，使得对有注：称对任给的，存在，使得对有这个条件为柯西条件，并称满足柯西条件的数列为柯西列分析 由数列收敛定义易证得必要性；要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点

6、正好是数列的极限首先要找出收敛的本质属性：收敛于，存在，使得对有，存在，使得对有，存在，使得对有即从项向后的所有的，也就是中除了有限项（至多是的到这些项）外的所有项都含在中，这就是本质属性然后对柯西列构造一个区间套，套出公共点，恰为的极限，其中每个区间套应包含除有限项外的所有项最后用推论：除有限项外的所有项，即包含除有限项外的所有项，即就是极限点证： （必要性） 设由数列极限定义， 对任给的，存在，当时有因而 （充分性） 按假设，对任给的，存在，使得对一切，（取）有，即从项向后的所有的，也就是中除了有限项（至多是的到这些项）外的所有项都含在中，即在区间内含有中除有限项外的所有项（构造区间套的方

7、法：有一个，就存在一个与之相关的存在，这样取一个，就有一个对应区间）据此，令则存在，在区间内含有中除有限项外的所有项，记这个区间为 再令，则存在在区间内含有内含有除有限项外的所有项记 它也含有除有限项外的所有项，且满足 继续依次令，照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含有中除有限项外的所有项，且满足即是区间套由区间套定理，存在唯一的一个数 现在证明数就是数列的极限事实上，由定理71的推论，对任给的，存在使得当时有因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得 注 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思

8、想方法二 聚点定理定义2： 设为数轴上的点集，为定点（它可以属于，也可以不属于）若的任何邻域内都含有中无穷多个点，则称为点集的一个聚点例：1）点集只有一个聚点；因为，存在，使得对有，存在，使得对有即从项向后的所有的项都含在，即含有的无穷多个点当时，取，则在中至多只有数集的有限多项，于是不是数集的聚点，这样点集只有一个聚点2）点集只有两个聚点和；出现就要分为奇数偶数讨论：当时，是各项互异的数列，且，因此有聚点；当时，是各项互异的数列，且，因此有聚点当时，取，则在中至多只有数集的有限多项，于是不是数集的聚点，这样点集只有两个聚点和注 对于数列构成的集合找聚点就是找极限点3）若为开区间，则内每一点以

9、及端点都是的聚点（自证）；4）正整数集没有聚点（自证）；5）任何有限数集也没有聚点（自证）；6）是中的有理数所成之集，则的聚点集是由实数的稠密性知对，的邻域内都有无数个有理数因此上每一点都是的聚点注：点集的聚点可以属于，也可以不属于；注 设是数集，不是的聚点存在，在中至多包含中有限多个点聚点概念的另两个等价定义如下：定义 对于点集，若点的任何邻域内都含有中异于的点，即，则称为的一个聚点定义 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为的一个聚点关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下1）定义2定义是显然的，2）定义定义分析 证明的关键是需要找互异的收敛数列设为(按定义)的聚点，则对任给的，存在，即

10、有一个，就有一个，只要依次取为，这样相应存在，即构造出收敛数列；取，则存在，为了保证数列互异，即保证，只需到的距离小于到的距离，即证 设为(按定义)的聚点，则对任给的，存在令，则存在令，则存在，且显然令，则存在且无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列，且由，易见3）定义定义2；由，则，存在，使得对有，由各项互异知含有中无限个点注 本证明中取，为了保证数列收敛到；而取则是为了保证点列的各相互异性注意这种技巧思考 设是有界数集，则，是的聚点吗？一般情况下，当时，它可能不是数集的聚点，例如，但它不是聚点当时，由36页的结论存在严格递增数列，使得，依据聚点的等价定义，可知是的聚点应用区间套定理来证聚

11、点定理 定理(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理) 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点分析 聚点的本质特点是的任何邻域内都含有中无穷多个点所构造的区间套应该含这本质特点为有界点集，把区间二等分，其中必有一子区间内包含中无限多个点，继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点 证 因为有界点集，故存在使得，记 现将等分为两个子区间因为无限点集，故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则，且再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列，它满足即是区间套，且其中每

12、一个闭区都含有中无穷多个点 由区间套定理，存在唯一的一点于是由定理71的推论，对任给的，存在，当时有从而内含有中无穷多个点，按定义，为的一个聚点 推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列 证设为有界数列若中有无限多个相等的项，则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 若数列不含有无限多个相等的项，则在数轴上的对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少有一个聚点，记为于是按定义，存在的一个收敛子列（以为其极限） 作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性 证 设数列满足柯西条件先证明是有界的为此，取，则存在正整数，当时有 由此得令 则对一切正整数 于是，由致

13、密性定理，有界数列必有收敛子列对任给的 因而当取时，得到这就证明了定义3 设为数轴上的点集，为开区间的集合（即的每一个元素都是形如的开区间）若中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称为的一个开覆盖，或称覆盖若中开区间的个数是无限（有限）的，则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定例如，若函数在内连续，则给定，对每一点，都可确定正数（它依赖于与），使得当时有，这样就得到一个开区间集 它是区间的一个无限开覆盖注 设，是的一个无限开覆盖事实上，中都存在一个区间，由定理（海涅博雷尔（HeineBorel）有限覆盖定理）设闭区间的一个（无限）开覆盖，则

14、从中可选出有限个开区间来覆盖分析 用反证法，若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾 证用反证法，假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖记这个子区间为，则，且 重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖 由区间

15、套定理，存在唯一的一点由于是的一个开覆盖，故存在开区间使于是，由定理推论，当充分大时有 这表明只须用中的一个开区间就能覆盖，这与挑选时的假设不能用中有限个区间来覆盖相矛盾从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖 注定理的结论只对闭区间成立，而对开区间则不一定成立例如，开区间集合构成了开区间的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住 1）分析 ，要使，只要，即需要，当充分大时是成立证明 ，当充分大时（时），就有，即2）反证法，设中能选出有限个开区间（对应有限个）盖住，在这有限个中选取最大的为，这些有限区间都含在中，则中能覆盖，矛盾注 有限覆盖定理的妙处在于将“无限”化为“有限”，把局部性质推广成

16、整体性质，它的好处在以后的应用中我们会看到三 实数完备性基本定理的等价性至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即1确界原理(定理11)；设为非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界 推论 有界数集必有上下确界2单调有界定理(定理29)；在实数系中，有界的单调数列必有极限 注 递增有上界的数列极限是上确界；递减有下界的数列极限是下确界3区间套定理(定理71)；若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得4有限覆盖定理(定理73)；设闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖5聚点定理(定理72)；实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点6柯西收敛准则

17、(定理210)数列收敛的充要条件是：对任给的，存在，使得对有在本书中，我们首先证明了确界原理，由它证明单调有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，最后用区间套定理分别证明余下的三个定理事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题对此，我们可按下列顺序给予证明：其中与分别见定理29，71，与73； 用有限覆盖定理证明聚点定理反证法设为实数轴上任一有界无限点集，则存在使，假设中任何一点都不是的聚点，则，因为不是的聚点，所以存在的一个邻域，使中只含有的有限多个点 是的一个无限开覆盖根据有限覆盖定理，中存在有限个开区间覆盖了，由于在每一个邻域上只含有的有限多个

18、点，故为有限点，矛盾 用聚点定理证柯西收敛准则（类似于用致密性定理证柯西收敛准则） 用数列的柯西收敛准则证明确界原理 证设为非空有上界数集由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数，使得不是的上界，即存在，使得分别取则对每一个正整数存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得 （）又对正整数是的上界，故有结合（）式得；同理有从而得 于是，对任给的存在，使得当时有 由柯西收敛准则，数列收敛记 （）现在证明就是的上确界，首先，对任何和正整数有，由（）式得，即是的一个上界，对任何，由于及（）式，对充分大的同时有 又因不是的上界，故存在，使得结合上式得这说明为的上确界同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界注 实数完备性命题如何用？1 单调有界定理与柯西收敛准则通常用于判断数列的收敛性2 确界原理所确定的点，通常是具有或不具有某种性质的分界点在什么情况下应用确界定理呢？一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（最大的下界或最小的上界）,要使用确界定理，其作用类似闭区间套定理3 区间套定理是把区间上的整体性质收缩为某点的局部性质在什么情况下应用闭区间套定理呢？一般来说，证明问题是需要找到具有某种性质的一个点，常常应用闭区间套定理将这个点“套”出来怎样应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质的闭区间，其次，通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有