案例辗转相除实用教案

1、3 59 15 问题11：在小学，我们(w men)(w men)已经学过求最大公约数的知识，你能求出1818与3030的最大公约数吗？18 30231818和和3030的最大公约数是的最大公约数是2 23=6.3=6.先用两个数公有的质因数连续去先用两个数公有的质因数连续去除除(q ch),(q ch),一直除到所得的商一直除到所得的商是互质数为止是互质数为止, ,然后把所有的除然后把所有的除数连乘起来数连乘起来. . 问题2:2:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察(gunch)(gunch)又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比

2、如求82518251与61056105的最大公约数? ? 第1页/共18页第一页，共19页。1.1.辗转辗转(zhnzhun)(zhnzhun)相相除法除法: :例1 1 求两个(lin )(lin )正数82518251和61056105的最大公约数。分析：分析：82518251与与61056105两数都比较大，而且没两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小有明显的公约数，如能把它们都变小(bin xio)(bin xio)一点，根据已有的知识即可求出最大公约数一点，根据已有的知识即可求出最大公约数. .解：82518251610561051 121462146显然显然82518

3、251与与61056105的最大公约数也必是的最大公约数也必是21462146的约数，同样的约数，同样61056105与与21462146的公约数也必是的公约数也必是82518251的约数，所以的约数，所以82518251与与61056105的最大公的最大公约数也是约数也是61056105与与21462146的最大公约数。的最大公约数。第2页/共18页第二页，共19页。例1 1 求两个(lin )(lin )正数82518251和61056105的最大公约数。解：82518251610561051 12146;2146;61056105214621462 21813;1813;21462146

4、181318131 1333;333;181318133333335 5148;148;3333331481482 237;3740.0.则3737为82518251与61056105的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前前300300年左右首先年左右首先(shuxin)(shuxin)提出的。提出的。 1.1.辗转辗转(zhnzhun)(zhnzhun)相相除法除法: :第3页/共18页第三页，共19页。观察用辗转相除法(chf)

5、求8251和6105的最大公约数的过程 第一步 用两数中较大(jio d)的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146结论(jiln)： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 1.1.辗转相除法辗转相除法: :第4页/共18页第四页，共19页。完整(wnzhng)(wnzhng)的过程8251=61051+2146 6105=21462+

6、1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例2 2 用辗转(zhnzhun)(zhnzhun)相除法求225225和135135的最大公约数225=1351+90135=901+4590=452显然(xinrn)37(xinrn)37是148148和3737的最大公约数，也就是82518251和61056105的最大公约数 显然4545是9090和4545的最大公约数，也就是225225和135135的最大公约数 第5页/共18页第五页，共19页。思考1：从上面的两个例子可以(ky)看出计算的规律是什么？ S1：给定(i dn)两个

7、正整数m,nS2：用大数(d sh)除以小数，计算m除以n所得的余数；S3：除数变成被除数，余数变成除数，即 m=n , n=r；S4：重复S2,直到余数为0，即若r=0，则m, n 的最大公约数为m，否则返回S2.第6页/共18页第六页，共19页。 辗转相除法是一个反复执行直到余数(ysh)(ysh)等于0 0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框图表示出右边(yu bian)的过程r=m MOD nm = nn

8、 = rr=0?是否第7页/共18页第七页，共19页。r=m MOD nm = nn = rr=0?是否开始 输入两个正数m,n 输出m,n结束INPUT m,nDO r=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND第8页/共18页第八页，共19页。练习1：利用辗转(zhnzhun)相除法求两数4081与20723的最大公约数. 20723=40815+318; 4081=31812+265; 318=2651+53; 265=535+0.(53)(53)第9页/共18页第九页，共19页。思考:你能用当型循环结构构造(guzo)算法，求两个正整数的最大公约数吗？写

9、出算法步骤、程序框图和程序。第10页/共18页第十页，共19页。 输入两个正数输入两个正数m,n否否开始开始r=m MOD nr0?输出输出n结束结束m=nn=r是是INPUT m,nr=m MOD nWHILE r0 m=nn=rr=m MOD n WENDPRINT nEND第11页/共18页第十一页，共19页。算理：可半者半之，不可半者，副置分母算理：可半者半之，不可半者，副置分母(fnm)、子之、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否

10、都是偶数。若是，则用则用2 2约简；若不是约简；若不是(b shi)(b shi)则执行第二步。则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个较，并以大数减小数。继续这个(zh ge)(zh ge)操作，直到所得的减数操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个和差相等为止，则这个(zh ge)(zh ge)等数就是所求的最大公约数。等数就是所求的最大公约数。2.2.更相减损法更相减损法九章算术九章算术第12页/共18页第十二页，共19页。例3 用更相减损(jin sn)术求98与63的最大

11、公约数解：由于63不是偶数，把98和63以大数(d sh)减小数，并辗转相减 9863356335283528728721217141477所以(suy)，98和63的最大公约数等于7 第13页/共18页第十三页，共19页。练习3 3：分别(fnbi)(fnbi)用辗转相除法和更相减损术求204204与8585的最大公约数。 解：20485234853421734172204 85 119119 85 3485 34 5151 34 1734 17 17辗转(zhnzhun)(zhnzhun)相除法更相减损(jin sn)(jin sn)法第14页/共18页第十四页，共19页。S1: S1:

12、给定两个正整数给定两个正整数 m,n m,n不妨设不妨设mn;mn;S2S2：若：若m,nm,n都是偶数，则不断用都是偶数，则不断用2 2约简，使它们不约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为同时是偶数，约简后的两个数仍记为m,n;m,n;S3S3：d=m-n;d=m-n;S4: S4: 判断判断“dn”“dn”是否成立。若是，则将是否成立。若是，则将n,dn,d中中的较大的较大(jio d)(jio d)者记为者记为m m，较小者记为，较小者记为n n，返回，返回S3;S3;否则，否则，2kd(k2kd(k时约简整数的时约简整数的2 2的个数的个数) )为所求为所求的最大公约数。的最大

13、公约数。 思考：把更相减损术与辗转相除法相思考：把更相减损术与辗转相除法相(f xin)比较，你有什么发现？比较，你有什么发现？怎样根据更相减损(jin sn)术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？第15页/共18页第十五页，共19页。开始输入m,n(mn)k=0m,n为偶数?k=k+1m=m/2n=n/2d=m-ndn?dn?否m=nn=dd=m-nm=d是输出2k *d结束是否否是第16页/共18页第十六页，共19页。WHILE dn IF dn then m=d ELSE m=n n=d END IF d=m-nWEND d=2k*dPRINT dEnd INPUT “m,n=“;m,nIF mn THEN a=m m=n n=aEND IFK=0WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0 m=m/2 n=n/2 k=k+1WEND d=m- n第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结3