立体几何大题二轮复习课件

1、第2讲立体几何(大题)立体几何与空间向量1PART ONE热点一平行、垂直关系的证明热点二利用空间向量求空间角热点三利用空间向量解决探索性问题热点一平行、垂直关系的证明用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.例1如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点.运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；

2、证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，OM平面BCF.又BF，BC平面BCF，OM 平面BCF，OM平面BCF.(2)平面MDF平面EFCD.证明方法一设平面MDF与平面EFCD的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).同理可得n2(0,1,1).n1n20，平面MDF平面EFCD.方法二由题意及(1)知，BF，BC，BA两两垂直，又CDFCC，CD，FC平面EFCD，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.跟踪演练1如图，在四棱锥PABCD中，PA

3、底面ABCD，ADBC，ADCD，BC2，ADCD1，M是PB的中点.(1)求证：AM平面PCD；证明如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1,1,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,0,0)，设平面PCD的法向量为n1(x0，y0，z0)，令y0a，则n1(0，a，1)，又AM 平面PCD，所以AM平面PCD.(2)求证：平面ACM平面PAB.设平面ACM的法向量为n2(x1，y1，z1)，令x21，则n3(1,1,0)，所以n2n3110.所以平面ACM平面PAB.热点二利用空间向量求空间角设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c

4、2).平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角(2)线面夹角(3)二面角例2(2019南昌模拟)如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点.(1)求证：AA1BD；证明因为C1C底面ABCD，所以C1CBD.因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.又ACCC1C，AC，CC1平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1.又AA1平面ACC1A1，所以BDAA1.(2)求二面角EA1C1C的余弦值.解如图，设AC交BD于点O，依题意，A1C1OC且A1C1

5、OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1OCC1，且A1OCC1.所以A1O底面ABCD.以O为原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设n(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，取z3，得n(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m(0,1,0)，又由图可知，二面角EA1C1C为锐二面角，(1)求证：CDBF；证明E为CD中点，CD2AB，ABDE.又ABCD，四边形ABED为平行四边形.BCBD，E为CD中点，BECD，四边形ABED为矩形，ABAD.由PAB90，得PAAB，又PAADA，PA，AD平面PAD，AB平面PAD.ABCD，CD平面P

6、AD.又PD平面PAD，CDPD.EFPD，CDEF.又CDBE，BEEFE，BE，EF平面BEF，CD平面BEF.又BF平面BEF，CDBF.(2)求直线PB与平面PCD所成的角的正弦值.解由(1)知AB平面PAD.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，平面PAD内过点A且与AD垂直的线为z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示.PAD120，PAz30.点P到z轴的距离为1.设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，设直线PB与平面PCD所成的角为.热点三利用空间向量解决探索性问题与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足

7、特定要求时的存在性问题.处理原则是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.例3(2019临沂模拟)如图，平面ABCD平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE1，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AE平面BCE；证明BF平面ACE，AE平面ACE，BFAE，四边形ABCD是正方形，BCAB，又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CB平面ABE，AE平面ABE，CBAE，BFBCB，BF，BC平面BCE，AE平面BCE.AE平面BCE，BE平面BCE，AEBE，在RtA

8、EB中，AB2，AE1，ABE30，BAE60，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，设AMh，则0h2，AE1，BAE60，设平面MCE的一个法向量n(x，y，z)，平面ABE的一个法向量m(0,0,1)，跟踪演练3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCAA12，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ平面A1BC；证明连接AB1，AC1，点Q为线段A1B的中点，A，Q，B1三点共线，且Q为AB1的中点，点P为B1C1的中点，PQAC1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，BC平面ACC1A1，又AC1平面ACC

9、1A1，BCAC1.ACAA1，四边形ACC1A1为正方形，AC1A1C，又A1C，BC平面A1BC，A1CBCC，AC1平面A1BC，而PQAC1，PQ平面A1BC.解由题意可知，CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz，连接B1Q，PB，设Q(x，y，z)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,2)，B1(0,2,2)，点Q在线段A1B上运动，平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量，设平面A1PB的法向量为n1(x，y，z)，令y2，得n1(1,2,1)，设平面B1PQ的法向量为n2(x，y，z)

10、，取n2(1，0，)，2PART TWO押题预测真题体验(2019全国，理，18)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.(1)证明：MN平面C1DE；真题体验证明连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，由题设知A1B1DC且A1B1DC，可得B1CA1D且B1CA1D，故MEND且MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN平面C1DE，ED平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)求二面角AMA1N的正弦值.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，押题预测如图1，在梯形ABCD中，ABCD，过A，B分别作AECD，BFCD，垂足分别E，F，ABAE2，CD5，已知DE1，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2.(1)若AFBD，证明：DE平面ABFE；证明由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AFBE，由已知得AFBD，BEBDB，BE，BD平面BDE，AF平面BDE，又DE平面BDE，AFDE，又AEDE，AEAFA，AE，AF平面ABFE，DE平