材料力学 能量法

1、 能量法第十二章第十二章 能量法能量法1 12 2-1 -1 功能原理功能原理 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即即Ve e=W 能量法1 12 2-2 -2 杆件应变能计算杆件应变能计算一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩WV PPll12Pl12PPlEAEAlFEAlP2

2、22N2lxxEAxFVd)(2)(2N 能量法二、扭转二、扭转WV emm12m 122222mmlG Im lG IT lG IppplpxxIGxTVd)(2)(2e 能量法三、弯曲三、弯曲WV e纯弯曲：横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2e12mIElmm21m lEIM lEI2222 能量法 例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求例：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端自由端B的挠度。的挠度。 能量法解：解：xPxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(P lEI2 36BwPW21，得由WV EIPlwB33)( 能量法 例：试求图示梁的变形能

3、，并利用功能原理求例：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。截面的挠度。 能量法解：解：lxIExMVd2)(2eP bEI laP aEI lb222322232323CwPW21baxIExlPaxIExlPb02220121d2d2P a bEI l2226，得：由WV elEIbPawC3221xlPb2xlPa 能量法1 12 2-3 -3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式组合变形杆件应变能组合变形杆件应变能llplxxIExMxxIGxTxxAExFVd)(2)(d)(2)(d)(2)(222N 能量法 例：轴线为半圆形的平面曲杆，作用于例：轴线为半圆形的平面曲杆，

4、作用于A端的集端的集中力中力P垂直于轴线所在的平面。试求垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。点的垂直位移。已知已知GIp、EI为常量。为常量。 能量法解：解：,( )sinMPRWPAV12，得：由WV eAVpPRGIPREI32233RellpRIEMRIGTVd2)(d2)(22TPR( )(cos )13442323P RGIP REIpS 能量法 例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功例：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求能原理求B截面的垂直位移。已知截面的垂直位移。已知EI 为常量。为常量。 能量法解：解：MPR( )sinWPBV12得：由,WV eBV

5、PREI34RelRIEMVd2)(2(sin )PREIR2022dP REI238 能量法1 12 2-4 -4 互等定理互等定理载荷作用点载荷作用点位移发生点i j 能量法功的互等定理功的互等定理: :PP112221位移互等定理:若，则得PP121221 能量法 例：求图示简支梁例：求图示简支梁C截面的挠度。截面的挠度。 能量法vC1B221BCmwP解：由功的互等定理IElPmwPC1621得：IElmwC1621由此得： 能量法 例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移C。 能量法vC1B221BCmwP解：由功的互等定理IElPmwPC2221得：IElmwCC821由此得： 能量法例

6、：长为 l 、直径为 d 的圆杆受一对横向压力 P 作用，求此杆长度的伸长量。已知E和m。 能量法解：由位移互等定理知，杆的伸长量等于杆直径的减小量ldd eedPAEd4PdE 能量法例：已知简支梁在均布载荷例：已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠作用下，梁的中点挠度度 。求梁在中点集中力。求梁在中点集中力P作用下作用下( (见见图图) )，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积A。IEl qw38454A 能量法IEl qPAq38454AIElPA38454 能量法1 12 2-6 -6 虚功原理虚功原理niiiPW1i3PP1P23PP1

7、P2 能量法1.在虚位移中，杆件原有外力、内力保持不变，且始终是平衡的；2.虚位移满足边界条件和连续性条件；3.符合小变形要求；4.是实际发生的位移。 能量法NF )(dlNFdMMsFsFddd)(ddNsFMlFW内dd)(dNsFMlFW内 能量法dd)(dNsFMlFW内niiiPW1外dd)(dN1sniiiFMlFP 能量法虚功原理： 在虚位移中，外力所做虚功等于内力在相应虚变形上所做虚功（外力虚功等于杆件虚变形能） ddd)(dN1TFMlFPsniii可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。可用于线弹性材料，也可用于非线弹性材料。 能量法1 12 2-7 -7 单位载荷法单位载

8、荷法 莫尔积分莫尔积分P1P2C用虚功原理可以导出计算结构一点位移的单位载荷法 能量法)()(sxMxF)()(sxMxFP1P2CCP01xIExMd)(dlxIExMxMd)()(dQdd)(dN1TMlFPniiid )(1xM 能量法莫尔定理（莫尔积分）莫尔定理（莫尔积分）llplxIExMxMxIGxTxTxAExFxFd)()(d)()(d)()(NN移对应的广义力移对应的广义力把单位力看成与广义位把单位力看成与广义位应看成广义位移，应看成广义位移，注意：上式中注意：上式中lxIExMxMd)()(对组合变形 能量法例：试用莫尔定理计例：试用莫尔定理计算图算图( (a) )所示悬臂

9、梁所示悬臂梁自由端自由端B的挠度和转的挠度和转角。角。PABABABlxxx11 能量法11xxMPxxMbB)(,)()(,) 1 (所示如图截面作用一单位力在解：lBxIExMxMwd)()(PxEIxl20d PlEI331)(,)()(,)2(xMPxxMcB所示如图截面作用一单位力偶在lBxIExMxMd)()(PxEIxld0PlEI22 能量法 例：计算图（例：计算图（a a）所示开口圆环在）所示开口圆环在 P力作用下切力作用下切口的张开量口的张开量 AB 。EI= =常数。常数。 能量法)cos1 ()(PRMd0d)()(2RIEMMAB21220PREIR(cos )d33

10、PREI)cos1 ()(RM 能量法F123456AB 已知各杆抗拉压刚度均为EA，求B点的铅垂位移。AB1lxAEFFdNNiiilFFAENN1 能量法 杆编号杆编号 杆长杆长123456iiilFFNNiFNiliFNF123456ABAB1F2l 2Fl0llll 2F2F1F2F0102FlFl22Fl2000EAFllFFiii)223(NN 能量法13-8 13-8 计算莫尔积分的图形互乘法计算莫尔积分的图形互乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：lxIExMxMd)()(lxxMxMd )()(对于等直杆，EI=con

11、st，故只需计算积分 能量法tg)( xxMlxxMxMd )()(tg xCCM)(xMx)(xMyyCMlxxMxd )(tg 能量法IEMxIExMxMCld)()()(xM)(xMCMC 能量法顶点顶点23lh13lh二次抛物线 能量法例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。 能量法解：解：IEMxIExMxMwClBd)()(12232EIPll PlEI33M 能量法BEIPl1212PlEI22顺时针M 能量法例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 能量法解：解：325

12、823222maxlqllIEw 53844qlEIql28/l / 4M 能量法max 1238122EIlqlqlEI324ql28/M 能量法例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 能量法解：解：642212maxlPllIEw PlEI348Pl / 4l / 4M 能量法max 112412EIlPlPlEI216Pl / 4M 能量法 例：试用图乘法求所示简支梁例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和截面的挠度和A、B截截面的转角。面的转角。 能量法解：解： IElmwC162l / 4M 能量法AEIml1213mlEI6

13、顺时针M 能量法BEIml1223mlEI3逆时针M 能量法例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。的挠度和转角。 能量法解：解：432312lqllIEwB qlEI48ql22M 能量法BEIlql13212qlEI36顺时针ql22M 能量法 例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。 能量法解：解：mlIEwC812 mlEI28M 能量法 例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。 能量法解：解：APaEIPaEI22125612162212PaEI2M 能量法12322312133IEPaIEPawE13123PaEIM 能量

14、法 例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。 能量法解：解：(1)212322322132aqlaXaaXalIEwC 0ql28/Xqla la38 ()M 能量法(2)CEIXalXaql 122321121223 0ql28/Xqlala3423()M 能量法 例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和转角A 。 能量法解：解：qa2qa / 2qaqa22AHqaEIqaEI 441423135838 能量法 例：图示梁的抗弯刚度为例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求

15、，试求D点的铅垂点的铅垂位移。位移。 能量法解：解：32232aPaIEwCPaEI3 能量法 例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 AB 和沿P力作用线方向的相对线位移 AB 。 能量法解：解：ABPaEI21813212123233PaEIAB 0 能量法 例：半圆形小曲率曲杆的例：半圆形小曲率曲杆的A端固定，在自由端作端固定，在自由端作用扭转力偶矩用扭转力偶矩m，曲杆横截面为圆形，其直径为，曲杆横截面为圆形，其直径为d。试求试求B端的扭转角。已知端的扭转角。已知E、。CL12TU13 能量法解：解：RTmMmTM( )cos ,( )sin( )cos ,( )sin00BpTTGIRMMEIR( )( )( )( )0000ddmGIRmEIRpcossin2020ddmRGImREIp22RmGIEIp21132 24()RmEdGE2 1 () 能量法 例：轴线为半圆形的平面曲杆例：轴线为半圆形的平面曲杆, ,位于水平面内位于水平面内, ,在自在自由端受垂直力由端受垂直力P作用。试求自由端作用。试求自由端A的垂直位移、绕的垂直位移、绕x轴轴的转角和绕的转角和绕y轴的转角。已知轴的转角。已知 GIp、EI为常量为常量CL12TU7,14 能量法解：解：(1),( )sinMPR32233PRGIPREIpRAVpll