第十三届“同梦杯”数模校赛论文封面

1、1153#地板砖铺设问题魅力数模 美丽师大浙江师范大学第十三届“同梦杯”数学建模竞赛自信 创新 合作 快乐A B论文题目 地板砖铺设问题 编 号 1153 评 分 监 制：浙江师范大学数学建模研究会（2014年5月8日）1153#地板砖铺设问题地板砖铺设问题摘要 地板砖铺设问题是实际生活中常见的一类问题，本文通过对题中所给户型，在用同种地板砖和用不同种地板砖两个情况下进行分区计算，分析数据，得到所需费用最少的铺设方案，从而探究降低板砖铺设费用和提高地板砖利用率的方法。对于问题一，本文通过题目信息，将铺设地板砖所需的总费用分为购买成本、切割成本和安装成本，并分析切割成本及安装成本的特殊性，建立用

2、于计算地板砖铺设总费用的函数。对于问题二，首先，使用ps软件补充题目提供的户型图中缺失的长度数据，得到完整标准的户型图。为解决在铺设地砖、填补空白区域的过程中，凸形区域很难满足每块地板砖只能切割一次的要求，我们将房屋简化为了13个矩形区域，在问题一模型的基础上，结合高斯函数，分别求得不同的地板砖铺设所需的总费用，计算对应的地砖块数、利用率和总费用。对于问题三，为使计算简便准确，我们将房屋分为10个区域，并划分为矩形区域和凸形区域两组。首先明确各种地板砖混合铺设时，大面积地板砖优先考虑、整块地板砖优先选择的原则。在铺设地板砖的过程中，先铺设800mm*800mm的地板砖，并计算各、区域的剩余面积

3、，之后利用其它型号地板砖对空白区域进行铺设，利用穷举法进行计算（从矩形区域和凸形区域两组中分别举出一例在文中详细分析、计算该区域最低成本的铺设方案，其他区域铺设方案放在附录中，不再赘述），得出各方案的总费用，并结合其中某些铺设方案的特殊性及其之间相似性，简化计算过程。最后通过分析、比较，得到所需费用最低的铺设方案，计算其总费用、地板砖利用率和所使用的各种尺寸地板砖的块数。对于问题四，本文结合所建数学模型、算法和实际计算结果，联系实际情况，为地板铺设提出几点意见：关键词：高斯函数一、问题重述 已知所要铺设的户型图，及工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数。若每块地板砖只能沿

4、平行于边长的方向进行切割，最多只能切割一次，人工切割费用与切割长度成正比。 问题一：综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。 问题二：设计一种算法，在使用同种尺寸的地板砖进行铺设时，进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。 问题三：分析、解决允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设时，如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 问题四：根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。二、问题分析对于问题一，分析确定铺设总成本的组成成分。根据铺设模型分别对各因素建立函数

5、表达式，进行求和，得到地板砖铺设总成本的函数模型。对于问题二，使用单一尺寸的地板砖进行铺设，则依此求出每个区域地板砖铺设的块数、利用率和费用，进而求出整个房屋所用的地板砖的块数、利用率和费用。判断地板砖块数时刻可使用高斯函数，并使用01规划来限制地板砖的铺设方式。结合问题一中所建立的铺设总成本的函数模型，得到结果。对于问题三，由于可以使用多种尺寸的地板砖进行铺设，铺设方式有很多种，因此先确定性价比最高的地板砖，本着成本最低的原则优先进行铺设。对于空白区域，使用不同尺寸的地板砖进行切割后填补，尽量使得铺设的总成本最低，同时地板砖的利用率高。详略结合地分析各种铺设方案，找出总费用最小的地板砖铺设方

6、案，然后计算其地板砖铺设总费用、总块数及利用率，得到最优结果。对于问题四，综合对比、分析前三题所得到的结论，以此为依据提出关于地板砖铺设的意见和建议。三、模型假设1、假设在对区域铺设地砖时，可以忽略墙的厚度。2、假设切割费用与切割的长度成正比，总成本只是地板砖的本身费用和切割费用之和。3、假设地板砖的铺设没有缝隙间隔，所有的地板砖厚度相同，相邻砖之间严格无缝连接。4、假设地板砖只在运输过程中被损坏，在切割过程中不会被损坏，不会出现损耗。5、假设破损的地板砖不能继续利用。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次。四、符号说明不同尺寸的地板砖的编号（i=1,2,3,4,5）对区域

7、不同区域的编号（j=1,2,3,4,5,6,7,8,9）地板砖单位长度的切割成本第i种型号的地板砖的单价所需第i种型号的地板砖的个数破损概率、第i种地板砖的长、宽、第j号区域的长、宽第j号区域的面积所用的第i种地板砖的面积单位面积所需的人工铺设费用第j号区域内所用的完整的i种地板砖的个数第j号区域内所用的需切割的i种地板砖的个数切割总长铺设整个房屋所用的地板砖的总块数地板砖利用率5、 模型的建立与问题的解决5.1铺设总成本模型5.1.1模型的分析 对铺设地板砖的总费用进行分析可得，铺设成本可分为购买地板砖的成本、切割成本和安装地板砖付给施工人员的费用。5.1.2模型的建立1、购买成本设第i种地

8、板砖所需的块数为（不考虑是否要进行切割），第i种砖的单价为，破损概率为，根据假设地板砖破损后不可再使用，结合向上取整法，求得所需购买的第i种地板砖的块数为，则铺设j号区域时用于购买地板砖的费用为：2、 切割成本 因每块地板砖只能沿水平方向切割，最多只能切割一次，且切割所需人工费与切割长度成正比，故可根据题中所给的各地板砖相关参数整理绘制地板砖切割成本表格，并求出地板砖单位切割成本。 表1 各地板砖切割成本地板砖种类（第i种）切割长度（米）切割成本（元/块）第一种0.84第二种0.63第三种0.630.31.5第四种0.42第五种0.31.5 设不同型号的地板砖的切割成本为元/块。 则经计算可得

9、 经分析，当一块区域一边的长度不是所用地板砖边长的整数倍时，所需切割地板砖的总长度等于该区域另一边的长度。以长、宽分别为、的j区域为例，如图一所示，当其长不能被整数块地板砖铺设时，需切割地板砖的长度为。 设编号为j的区域长、宽分别为、，面积为，令 若区域的一边长不是地板砖的整数倍，则在不考虑余料利用再利用的情况下，铺设第j号区域所需的地板砖的切割成本为 3、安装成本 根据今装修市场规定，安装地板砖的费用按面积计算，与地板砖尺寸、质地等无关。设r(经查阅相关资料，不妨设r=20)为每平方米的安装费用，则面积为第j号区域安装地板砖所需费用为： 将三种成本相加得到铺设j区域所需的总成本W为： 则铺设

10、整个房屋的总费用为: 5.2单一尺寸地板砖铺设模型5.2.1建模准备 经计算分析，题目中提供的户型图长宽比例非为1：1，为了得到标准图形且更精准地补充图中缺失数据，首先以2400（cm）为基准，将题目中所给的不准确的图形恢复原始比例，再利用Photoshop的标尺工具和x、y、width、high的数据，记录并进行比例分析，求得图形中某些未知线段的长度。（Ps操作截图及所获得的未知数据详见附录） 为了进一步分析问题，需要对房屋的地面结构进行合理地划分区域，我们首先对其分成如下十三个部分： 图2 模型一户型区域分割示意图5.2.2模型的建立 对于同一规格的正方形地板砖，只有一种铺设方式，但对于长

11、方形地板砖，其横向铺设和纵向铺设的情况是不相同的，因此需要进行分类讨论。1、 使用正方形地板砖进行铺设 假设使用尺寸为的正方形地砖铺设第j个尺寸为的区域，利用高斯函数可以得出需使用的完整地板砖个数为： 于是j区域中剩余的部分的长，宽为.引入问题一中的变量和，可得需使用的需要切割的地板砖的个数为： 则一共所需地板砖的个数，由问题一可得所需购买的第i种地板砖的块数为，铺设j号区域时用于购买地板砖的费用为： 所以，j区域所需要切割的边长,切割费用为： 安装费用为： 则j区域的总费用为： 所以房屋总费用为： 铺设的总块数为： 利用率为： 2、 使用长方形地板砖对地面进行铺设(1) 横向铺设 假设使用尺

12、寸为的正方形地砖铺设第j个尺寸为的区域，利用高斯函数可以得出需使用的完整地板砖个数为： 于是j区域中剩余的部分的长，宽为.引入问题一中的变量和，可得需使用的需要切割的地板砖的个数为： 则一共所需地板砖的个数，由问题一可得所需购买的第i种地板砖的块数为，铺设j号区域时用于购买地板砖的费用为： 所以，j区域所需要切割的边长,切割费用为： 安装费用为： 则j区域的总费用为： 所以房屋总费用为： 铺设的总块数为： 利用率为： （2）纵向铺设 假设使用尺寸为的正方形地砖铺设第j个尺寸为的区域，利用高斯函数可以得出需使用的完整地板砖个数为： 于是j区域中剩余的部分的长，宽为.引入问题一中的变量和，可得需使

13、用的需要切割的地板砖的个数为： 则一共所需地板砖的个数，由问题一可得所需购买的第i种地板砖的块数为，铺设j号区域时用于购买地板砖的费用为： 所以，j区域所需要切割的边长,切割费用为： 安装费用为： 则j区域的总费用为： 故房屋总费用为： 铺设的总块数为： 利用率为： 5.2.3模型的求解利用上述公式，通过matlab软件可计算出每种砖块所需总费用，总块数以及利用率，结果如下表所示： 表2 单一尺寸地板砖铺设所得各项指标的值尺寸总块数总费用利用率800mm*800mm21843003.593.56600mm*600mm37154565.297.28600mm*300mm74568254.696.

14、75400mm*400mm88069176.593.28300mm*300mm145569916.598.955.3多尺寸地板砖铺设模型的建立与求解5.3.1建模的准备 当允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设时，应着重从性价比和利用率两方面进行考虑，铺设总费用要尽可能低，地板砖的利用率要尽可能高。 由题中表一所给参数求出每种地板砖的性价比（每元可购买的地板砖的面积）如下表所示： 表3 不同型号地板砖的性价比地板砖型号（j）12345性价比（元/m2）281.25361.11444.44450.00500.00由表中数据分析可得，面积越大的地板砖性价比越高。 经分析易得，800mm*800mm的

15、区域可由四块400mm*400mm的地板砖铺设，600mm*600mm的区域可由四块300mm*300mm的地板砖或一块600mm*600mm和两块300mm*300mm拼成，如下图3所示。因此可以根据地板砖的尺寸将区域分为800mm*800mm和600mm*600mm两种单元区域，之后根据单元区域的划分来选择不同类型的地板砖对其进行铺设。 图3 不同类型的地板砖铺设效果示意图 （单位：mm）此外，由问题二中模型的求解结果可知：1、 铺设地板砖所用的总费用中，购买成本所占比重远大于铺设费用。2、当所要铺设的区域面积达到一定的值之后，使用较大面积的地板砖所需要的总费用要比较小面积所用的地板砖的费

16、用少得多。3、铺设费用仅与铺设面积有关，而铺设面积是一定的，因此铺设产生的人工费在此可以不予考虑。结合以上三方面因素可知，在铺设过程中应当优先选择800mm*800mm进行铺设。为方便计算，本题中间房间区域分为10份，如下图所示： 5.3.2问题的解决根据房间的形状，将分块所得的区域分为两组：3、5、6、7、8、9、10为矩形组；1、2、4为凸边形组。分别计算不同的铺设方法所需的总费用（不包括铺设产生的人工安装费用），再结合美观度及利用率等因素，选出铺设的最佳方案。取出第9号和第1号区域进行详细讨论：图5 9号区域尺寸示意简图 图6 1号区域尺寸示意简图 1、对矩形区域9号区域分析如下：将第9

17、号区域从左下角用800mm*800mm的地板砖进行铺设，区域的长为800mm的整数倍，可铺设12块800mm*800mm的地板砖，宽铺设5块800mm*800mm的地板砖后还余500mm，留出500mm*9600mm的空白区域，现对空白区域的地板砖铺设问题进行分析：因在以下的几种中铺设方法中，地板装的切割长度均为9600mm，地板砖单位长度的切割成本为定值，故切割成本为：在比较几种铺设方法的费用时，不需要考虑切割成本，仅比较购买成本即可。 第9号区域可有以下几种铺设方式：（1）、若切割12块800mm*800mm的地板砖对空白区域进行铺设，则购买成本： （2）、若切割16块600mm*600m

18、m的地板砖对空白区域进行铺设，则购买成本： （3） 、先用16块600mm*300mm的地板砖按如图方式在空白区域铺上一层，还余一片9600mm*200mm的区域，再切割24块400mm*400mm的地板砖，将得到的200mm*400mm的地板砖铺在余下的区域内，如图所示： 图7 第三种铺法示意简图则购买成本：（4） 、先用16块600mm*300mm的地板砖在空白区域铺上一层，再将32块300mm*300mm的地板砖切割成300mm*200mm的地板砖将空白区域填补满，如图所示： 图8 第四种铺法示意简图则购买成本：（5） 、先用24块400mm*400mm的地板砖在空白区域铺上一层，还余一

19、层9600mm*100mm的空白区域，结合第一种和第二种铺设方法可知，剩余空白区域若用800mm*800mm或600mm*600mm尺寸的地板砖切割铺设，一定会比第一、二种方法费用高，且地板砖利用率低，故不予考虑。将24块400mm*400mm的地板砖切割成400mm*100mm大小铺设入空白区域，则购买成本：（6）、经分析，先用24块400mm*400mm的地板砖在空白区域铺上一层，再将16块600mm*300mm的地板砖切割成600mm*100mm尺寸的进行铺设，与第三种铺设方式所用的地板砖的个数、种类，切割长度均相同，故（7） 、先用24块400mm*400mm的地板砖在空白区域铺上一层

20、，再将32块300,mm*300mm的地板砖切割成300mm*100mm的地板砖进行铺设，如图所示： 图9 第七种铺法示意简图则购买成本： 表4 七种铺设方式地板砖购买成本一览表铺设方式1234567地板砖购买成本2160208030082720345630083168所以第二种铺设方式（切割16块600mm*600mm的地板砖对空白区域进行铺设）所需的地板砖购买成本最低。2、对于凸边形区域1号区域分析如下: 由于购买成本远远大于切割费用，所以在地板砖铺设时对成本低廉优先考虑。先对右边的矩形从右上角往斜下方向铺设，每行铺6块，铺设4行，恰好填满下图的区域1图10 1号区域分区示意简图 区域2和

21、区域3的尺寸分别是250mm*4800mm和200mm*3450mm，考虑切割填补，区域2的宽为250mm,与600mm*300mm的地板砖规格最接近，利用率最高，所以区域2需要8块600mm*300mm的地板砖。而域3的宽是200mm,可以考虑铺400mm*400mm的地板砖或者600mm*300mm的地板砖，这两种的成本都较低，但利用率很高，因为切割过后的余料可以继续使用。下面对这两者进行比较：（1）当区域3使用400mm*400mm的地板砖时，可以将其切割成两块，并将余料重复使用最终区域3需要4块400mm*400mm和1块300mm*300mm的地板砖。左边的小矩形的宽为500mm,使

22、用600mm*600mm的地板砖成本更低，所以左边的小矩形需要3块600mm*600mm和600mm*300mm的地板砖，此时的成本相对较低，最终的铺设方案如下： 表5 第一种铺设方案对应各参数尺寸所用块数（块）切割块数（块）费用（购买与切割费用）（元）800mm*800mm2404320600mm*600mm33399600mm*300mm99（1短，8长）745.5400mm*400mm44396300mm*300mm1148 图11 第一种铺设方案示意简图则这种方案凸边型1总的购买加切割费用和为：=4320+399+745.5+396+48=5908.5（元）（2） 当区域3使用600mm*300mm的地板砖时，区域3需要5个600mm*300mm和2个300mm*300mm的地板砖。600mm*300mm剩余的部分有3块可以用于左边的小矩形，所以左边矩