离散型随机变量及其分布列专题

1、离散型随机变量及其分布列(25 分钟 50 分)一、选择题(每小题 5 分,共 35 分)1.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为 ,则表示“放回 5 个红球”事件的是()A.=4B.=5C.=6D.5【解析】选 C.“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故 =6.2.袋中有大小相同的红球 6

2、0;个、白球 5 个,从袋中每次任意取出 1 个球,直到取出的球是白球时为止,所需要的取球次数为随机变量 ,则  的可能值为()A.1,2,6B.1,2,7C.1,2,11D.1,2,3,【解析】选 B.除白球外,其他的还有 6 个球,因此取到白球时取球次数最少为 1次,最多为 7 次.3.已知随机变量  的分布列 P(=k)=,k=1,2,3,则 P(2<4)等于()A.B.C.D.【解析】选 A.P(2&l

3、t;4)=P(=3)+P(=4)=4.设离散型随机变量  的分布列如下表所示:+  =  .-1      0      1      2      3P则下列各式正确的是()A.P(<3)=B.P(>1)=C.P(2<<4)=D.P(<0.5)=0【解析】选 

4、;C.P(<3)=+ + = ,A 错误;P(>1)= + = ,B 错误;P(2<<4)=P(=3)= ,C 正确;P(<0.5)=+ =  ,D 错误.5.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 ()A.0B.C.D.【解析】选 C.由已知得 X 的

5、所有可能取值为 0,1,且 P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1,得 P(X=0)= .6.某射击选手射击环数的分布列为XP70.380.39a10b若射击不小于 9 环为优秀,其射击一次的优秀率为 ()A.30%B.40%C.60%D.70%【解析】选 B.由分布列的性质得 a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%.7.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不便,现从中任意选 10 个村庄,用

6、60;X 表示这 10个村庄中交通不便的村庄数,下列概率中等于的是 ()A.P(X=2)B.P(X2)C.P(X=4)D.P(X4)【解析】选 C.由超几何分布的概率计算公式得P(X=4)=.【变式备选】高二(1)班数学兴趣小组有 12 人,其中有 5 名“三好学生”,现从该小组中任意选 6 人参加数学竞赛,用 X 表示这 6 人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的是 ()A.P(X=2)B.P(X=3)C.P(X 2)D.P(X3

7、)【解析】选 B.表示从 5 名“三好学生”中选择 3 名,从而 P(X=3)=.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)8.袋中有 4 只红球、3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1只黑球得 3 分,设得分为随机变量 ,则 P(7)=_.(用分数表示结果)【解析】取出的 4 只球中红球个数可能为

8、0;4,3,2,1, 黑球相应个数为 0,1,2,3,所以得分的随机变量 =4,6,8,10,所以 P(7)=P(=4)+ P(=6)=+=.答案:【变式备选】从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量 表示所选 3 人中女生的人数,则 P(1)=_.【解析】P(1)=1-P(=2)=1-答案:9.若随机变量 X 的概率分布列为= .XPxp11xp22且 p = 

9、;p ,则 p =_.121【解析】由 p +p =1 且 p =2p ,解得 p = .12211答案:10.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字 0,两个面上标有数字 1,一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之积 X 的分布列为_.【解析】随机变量 X 的可能取值为0,1,2,4,P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X

10、=2)= ,P(X=4)=,所以分布列为XP0     1     24答案:X0      1      24P(15 分钟30 分)1.(5 分)(2018·泰安模拟)若 P(Xx )=1-,P(Xx )=1-,其中 x <x ,则 P(x21121

11、Xx )等于 ()2A.(1-)(1-)B.1-(+)C.1-(1-)D.1-(1-)【解析】选 B.显然 P(X>x )=,P(X<x )=.由概率分布列的性质可知 P(x X211x )=1-P(X>x )-P(X<x )=1-.2212.(5 分)一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3 只,以  表示取出的三只球中的最小号码,则随机变量 

12、 的分布列为()【解析】选 C.随机变量  的可能取值为 1,2,3.当 =1 时,即取出的三只球中最小号码为 1,则其他两只球只能在编号为2,3,4,5 的四只球中任取两只,故有 P(=1)= 当 =2 时,即取出的三只球中最小号码为 2,则其他两只球只能在编号为 3,4,5 的三只球中任取两只,故有 P(=2)=;当 =3 时,即取出的三只球中最小号码为 3,则其他两只球只能在编号为 

13、;4,5 的两只球中取,故有 P(=3)=所以  的分布列为:=  .1        23P3.(5 分)随机变量 X 的分布列如下:X-101Pabc其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)=_.【解析】由题意知所以 2b+b=1,则 b= ,因此 a+c= .所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c= .

14、答案:4.(15 分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:周一周二无雨无雨无雨有雨有雨无雨有雨有雨收益20 万元15 万元10 万元7.5 万元若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为 20 万元;有雨时收益为 10 万元.额外聘请工人的成本为 a 万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为 20 万元的概率

15、为 0.36.若不额外聘请工人,写出基地收益 X 的分布列.【解析】设下周一无雨的概率为 p,由题意得p2=0.36,p=0.6.基地收益 X 的可能取值为 20,15,10,7.5 则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16, 所以基地收益 X的分布列为:X2015107.5P0.36    0.24    0.24   

16、 0.16【变式备选】1.(2018·青岛一模)一个袋中装有 7 个除颜色外完全相同的球,其中红球 4 个,编号分别为 1,2,3,4;蓝球 3 个,编号分别为 2,4,6,现从袋中任取 3 个球(假设取到任一球的可能性相同).(1)求取出的 3 个球中含有编号为 2 的球的概率.(2)记  为取到的球中红球的个数,求  的分布列.【解析】(1)设 A=“取出的 3 

17、个球中含有编号为 2 的球”,则P(A)= .(2)由题意得, 可能取的值为 0,1,2,3,则P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,所以  的分布列为:0       1       2       3P2.某网站的点击量等级规定如下:点击次0x50x100xx150数 x(万次)<

18、50<100<150等级差中良优统计该网站 4 月份每天的点击次数如下表:点击次0x50x100xx150数 x(万次)天数<505<10011<15010        4(1)若从中任选两天,求点击次数落在同一等级的概率.(2)从 4 月份点击次数低于 100 万次的天数中随机抽取 3 天,记这 3 天的点击等级为差的天数为随机变量 X,求随机变量 X 的分