太原理工大学-线性代数练习册

1、一. 判断题 （正确打，错误打× ）1 若 s 不能由 1 , 2 ,s 1 线性表示，则 1 , 2 , s 线性无关 . (×)解答：反例：取 10， 2 0，则 2不能由1 线性表示，但 1 ,2 线性相关 .2. 如果 可由 1, 2, 3唯一线性表示 ,则 1 , 2 , 3 线性无关 .()解答： 向量能由向量组 A 唯一线性表示的充分必要条件是R( 1 , 2 , , m , ) R( 1 , 2 , m ) m ；所以 R(1, 2, 3) 3，所以 1, 2,3 线性无关 .3. 向量组的秩就是它的极大线性无关组的个数 .(×) 解答：正确结论：

2、向量组的秩就是它的极大线性无关组所含向量的个数.4. 若向量组 , , 只有一个极大无关组，则, , 线性无关 . (×)解答：反例：取0,0 ，则向量组,只有一个极大无关组，但,线性相关.正确命题：若,线性无关，则,只有一个极大无关组 .二. 单项选择题1.设向量组（ 1）: 1, 2 , 3 与向量组（ 2）: 1, 2 等价，则 ( A ).（A） 向量组（ 1）线性相关 ;（B）向量组（ 2）线性无关 ;（C）向量组（ 1）线性无关 ;（D ）向量组（ 2）线性相关 .大学数学解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以R(1, 2,3)R(1,2 )23 ，所以向量组（ 1）线

3、性相关 .2. 3 维向量组 1, 2 , 3 , 4 中任意 3 个向量都线性无关，则向量组中（A）（ A）每一个向量都能由其余三个向量线性表示 ;（ B）只有一个向量能由其余三个向量线性表示 ;（ C）只有一个向量不能由其余三个向量线性表示 ;（ D）每一个向量都不能能由其余三个向量线性表示 .解答：因为 4 个 3 维向量线性相关，所以1,2 ,3, 4 线性相关，而 1 , 2 , 3, 4 中任意 3 个向量都线性无关，所以每一个向量都能由其余三个向量线性表示 .所以选（ A ）3. 设 n 维向量组1,2 ,m 线性无关，则 (B ).（ A）向量组中增加一个向量后仍线性无关 ;（

4、 B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关 ;（ C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关 ;（ D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关 .解答：根据“全体无关则部分无关”知选项（ B）正确 . 注意（ D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是原来的接长向量组，所以不能保证还线性无关 .大学数学例如11111，2线性无关，但12，22线性相关 .23334. 下列命题错误的是（）（A）若 n 维向量组1 ,2 ,m 中没有一个向量能有其余向量线性表示，则该向量组线性无关；（B）若 n 维向量组1 ,2 ,m 的秩小于 m ，则此向量组线性相关；（C）若 n 维向量组1,2

5、,L ,r 线性无关，1, 2,L, s 也线性无关， 则向量组1, 2,L ,r ， 1 ,2 ,L, s 的秩为 rs ；（D）任何一组不全为零的数 k1 , k2 ,L , kr使 k1 1k22 Lkr r0 ，则向量组 1, 2,L ,r 线性无关 .解答：选项（ C）错误. 反例：设 1 线性无关，则11 线性无关，但 1 , 1线性相关，它的秩 =11+1.5.已知向量组 1 , 2 ,3 线性无关 , 则下面线性无关的向量组是(C).(A)12 ,23 ,31 ;(B)12 ,23 , 31 ;(C)12 ,23 ,31 ;(D)122 ,3253,-182 .1- 10110

6、解答： (A): 01- 10 ;(B)0110 ；- 101- 101大学数学110120(C) ：0112 ；(D) 3500.101- 180三. 填空题1. 设 n 维向量1 , 2 , 3 线性无关，则向量组 12, 23, 31的秩r2.1- 10解答： 因为 01- 10,所以 12 , 23 ,31 线性相关 ,- 101(或者因为 (12 )( 23 )( 31) 0,所以 12 ,23 ,31 线性相关 )但12,23 线性无关 , 所以 r2 .(设 k1( 12 )k 2 ( 23 ) 0 则 k1 1(k2k1 ) 2k2 3 0 ,因为 1,2 ,3 线性无关 ,所

7、以 k1 k 20 ,所以12,23线性无关 .)2.已知 1(1,2, 1,0)， 2(1,1,0,2),3 ( 2,1,1,a) , 若由1,2 , 3生成的向量空间的维数为2, 则 a6.解答：因为由1, 2 , 3 生成的向量空间的维数为 2,而1 ,2 线性无关, 所以3可由1, 2唯一线性表示 , 所以 3k11k22 ,即大学数学2k1k 212k1k2 , 解得 a 6 .1k1a 2k23. 设向量组 1 , 2 , , m 线性无关， 向量 不能由它们线性表示，则向量组1 ,2 ,m ，的秩 = m 1 .解答： 因为1,2 ,m 线性无关，向量不能由它们线性表示，所以 1

8、, 2,m ，线性无关，所以秩 = m 1 .4. 若向量组 11， 22与向量组13，21不等价，234k则常数 k4 .3解答：如果1， 2 线性无关，则两个向量组等价， 所以应该是1， 2线性相关，所以k4 .35. 已知向量组 , , 线性相关，而向量组 , , 线性无关，则向量组 , , 的极大无关组为 , .解答：因为,线性无关，所以,线性无关，而,线性相关，所以向量组,的极大无关组为,.大学数学四. 判断下列向量组的线性相关性，并说明理由.11 (x, y, z) ,2( x, z, y) , 3(2 x ,2z,2 y) ；解答：因为 2，3 线性相关，所以1， 2， 3 线性

9、相关 .21( x, y, z) ,2(x, z, y) ,3 ( y, z, x) , 4 ( z, x, y) ；解答： 三个四维向量一定线性相关.3 1 (1,2,3) ,2(0,2,3), 3 (1,3,2) ；123解答： 因为 0235 0，所以线性无关 .1324 1 (1,a,1,1) ， 2 (1, b,1,0) ,3 (1, c,0,0).解答： 因为11(1,1,1) ， 22(1,1,0) , 33(1,0,0)线性无关，所以1(1, a,1,1)， 2(1,b,1,0) ,3 (1, c,0,0) 线性无关 .五计算题1. 设 1 (1,1,1), 2(1,2,3),

10、 3 (1,3,t) ，问：（ 1） t 为何值时，向量组1, 2 , 3线性无关；（ 2） t 为何值时， 向量组1 , 2 , 3 线性相关， 当线性相关时， 将3表示为 2,3 的线性组合 .111解答：（ 1）向量组1 , 2 , 3 线性无关当且仅当1230 ，所以 t5 ；13t大学数学111（ 2）向量组1, 2 , 3 线性相关当且仅当 1230 ，即 t5 ，13tk1 k21k11k1k22 ，所以 k12k2，即 322 .设313 ，解得21k13k25k22.设1,2 ,3 线 性无 关 ， 问 常 数 a,b,c满足什么条件时，a12 , b23 , c31 线性相

11、关 .解答： 设 k1( a12 ) k2 (b23 )k3 (c 31)0 ，即 ( ak1k3 ) 1 ( k1bk2 ) 2( k2ck3 ) 30 ，ak1k30a01因为 1,2 ,3线性无关，所以k1bk 20 ， 当1b0abc1 0时，k2ck3001cak1k30k1bk2k1k0k30， 当abc1时，由k1bk20知1， 所 以k2ck30k3c k2a12 , b 23 , c31 线性相关当且仅当abc1.六证明题1. 设向量组1 ,2 , m 中任意向量i 都不能由1, 2,L ,i 1 线性表示，且10 ，证明 1,2 , m 线性无关 .证明因为10 ，2 不能

12、由1 线性表示，所以1 也不能由2 线性表示（如果1k 20 ，则 k0 ，所以2 能由1 线性表示，矛盾） ，所以1,2 线性无大学数学关，而3 不能由1,2 线性表示，所以 1,2 , 3 线性无关，以此类推，由于 m 有限，所以1 ,2 ,m 线性无关 .2. 已知向量组（）1, 2,3 ，（） 1,2 ,3 ,4 ，（） 1,2,3,5如果 ， r (III )4，证明 向量组 1 ,2 ,3 , 54 的秩为 4.证明 因为 r ( III)4，所以1, 2,3 , 5 线性无关，所以 1,2 ,3 线性无关，且 5不能由1 ,2 ,3 线性表示， 而 r ( II ) 3 ，所以4

13、 可由1,2 , 3 线性表示，所以 54 不能由 1,2 ,3 线性表示，所以1 ,2 ,3,54 的秩为 4.已知1123, 证明向量组1,2,3与1,2, 3等价21223.33122331123证明： 因为21223，所以 1,2 ,3可由 1,2 ,3 线性表示，312233111111又因为 11200110，所以 1, 2,3 也可由1, 2,3 线性表12312311231123示（或者直接由21223解得212 23 ）.31223331224.已知向量组12 ,23,31 线性无关，证明向量组1,2,3 也线性无关 .大学数学112证明：记 223，那么1, 2, 3可由1

14、 , 2 , 3 线性表示，又因为3131100112 0，所以1, 2, 3可由1 , 2 , 3 线性表示，所以两个向量101组等价，从而秩相等， 而1, 2,3 线性无关，所以1 ,2, 3线性无关 .（如果要解出1 , 2 , 3 的话，可以这样做：i2，所以i11， 21，31）2j22j2j315. 设 n 维向量组（ 1）:1 ,2 , ,s 的秩为 r1；（2）：1 ,2 , s 的秩为 r2 ；（ 3 ）：11, 22 , ss 的 秩 为 r3 . 证 明r1r2r3 .证明：不妨设 1,2 ,r1 是 1 , 2 , s 的一个无关组，1, 2,r2是 1 ,2 ,s 的

15、一个无关组，则 11 ,22 , ss 可由1,2,r11 ,2 ,r2线性表示，所以 11 , 22 ,ss 的无关组可由 1 ,2 , r11,2 , r2 线性表示，所以 r1r2r3 .6已知 s2且 1,2 ,s 线性无关 ,12s .证明向量组1 ,2 ,s 线性无关 .证明：记大学数学123s ，213ss13s1011因 为101( s 1)( 1)s 10，所以 1,2, s 可 由1101, 2, s 线性表示，二者等价，秩相等，所以 1 ,2 ,s 线性无关.7若向量组1, 2,s 线性相关，证明对任意的实数k1 , k2 , k s ，向量组 k11 , k22 , k s s 也线性相关 .证明 如果 k1