多值逻辑的乌拉姆博弈语义

1、84多值逻辑的乌拉姆博弈语义霍书全(安徽大学哲学系安徽合肥 230039)中图分类号B81文献标识码A文章编号1002 - 8862(2009) 12 - 0084 - 04多值逻辑与其他非经典逻辑的根本不同在于认为命题可以取真假之外的其他各种真值，这与弗雷格等人的思想相违背，因此它的合法性更需要有可靠的语义基础作支撑。人们建立一个逻辑系统往往希望它有恰当合理的语义解释，这样的逻辑才有意义，才能被有效地应用并被接受。笔者曾对多值逻辑的思想渊源加以探讨，提出多值逻辑的产生与未来偶然命题、直觉主义数学、概率论、模态命题、悖论、非决定论、相干推理、模糊集合论等等都有关系。但是，仍然有一些多值逻辑系统

2、没有直观语义，有一些多值逻辑系统与其所谓的直观语义不相符合，还有大量的多值逻辑应用没有给出清楚的理论解释，这些问题的存在往往使多值逻辑的合法性受到质疑。恰当的语义往往能为多.-X t$ A值逻辑的合法性提供有力的辩护。作为多值逻辑的代表，卢卡西维兹逻辑是研究最多的一种多值逻辑，但其语义解释和蕴涵曾不断受到批评。他把未来偶然命题看做既不真也不假，取中间真值，但有时他又把中间真值解释为可能的、不确定的或非决定的，于是就导致了解释的矛盾。这些问题长期不能得到合理解决。直到20世纪90年代，丹尼尔？孟迪奇(Da ni ele M un dici)才把卢卡西维兹逻辑的一些联结词与乌拉姆博弈(Ulam g

3、ame)联系起来，从而可以为卢卡西维兹逻辑提供一种新型的解释，大大推进了多值逻辑的发展 。一卢卡西维兹有穷值逻辑和乌拉姆博弈卢卡西维兹 m +2值命题逻辑系统的真值为0、1/(m + 1)、m/(m+1)和1,其中1为特指值。有六个联结词(逻辑算子),分别是：否定？，析取V ,合取A ,聚合O,裂变 和蕴涵I。这里，m可以取包括 0在内的任意自然数。和经典命题逻辑一样，根据这些联结词可以建立逻辑系统。他当初建立的系统不包括聚合和裂变联结词，但它们可以由否定和蕴涵定义出来。这两个联结词是后来张(C1C1Chang)给出的，目的是像经典逻辑的布尔代数那样，把卢卡西维兹蕴涵对应于经典逻辑的蕴涵，为卢

4、卡西维兹逻辑定义一种代数形式。聚合和裂变分别对应于经典逻辑的合取和析取，因此我们也分别称聚合和裂变为卢卡西维兹合取和卢卡西维兹析取。卢卡西维兹本人只是给出了三值逻辑的语义解释，对于更多值的情形，他并没有给出语义解释 。但是尽管是在三值的情况下，卢卡西维兹蕴涵也不能被完全合理地解释。如果假定更多的真值有可靠的哲学基础，否定、析取和合取可以有恰当的直观语义解释，其他联结词也难以给出合理的解释。聚合和裂变只是在乌拉姆博弈中才可以得到解释。乌拉姆博弈是由其在一个数学家的冒险一书中提出的，经典的情形可用如下例子说明：某人猜测一个1和一百万(小于220而大于219)之间的数。假定准许这个人(即不知道这个数

5、的人)问二十个问题，对每一个问题第二个人(即知道这个数的人)只回答 “是”和“不是”。开始可以问：这个数在一百万的第一半么？然后再把数目数减半问下一个问题，如此进行下去，通过这种方式这个数可以被猜到。最后，这个数可以在少于 20次被猜到。© J994-2019 China AcaUsiiic Jlhie；! Eteclruriic Publishitig EteuSk!. All rtK.ktshlipzi7ww.nd88哲学动态009年第12期现在假定一个人允许撒谎一次或多次，那么猜到这个数需要多少问题呢？因为不知道什么时候说谎，显然从2个目标中猜到这个数需要多于n个问题。尽管回答

6、者可以说谎 ，但限制错误回答的数目也可以猜到未知的数。比如在1, 2, 3, 4中猜一个数，只允许最多说谎两次。因为限制了只说两次谎,所以问同一个问题五次总能得到可靠的答案。比如问题是“x是1或2吗”，回答“是”如果是谎言,只能回答两次；同样如果回答“不是”是谎言，也只能回答两次。那么在第五次的时候你一定得到了正确回答。如果问“x是1或2吗”三次，三次都回答堤”，那么你可以得到正确的答案“x是1或2”，因为这三次同样的回答不可能是谎言。因此对于上面这个问题，提问若干次之后总可以得到可靠的答案。在一个给定的范围内最少需要多少问题能够找出这个数，是一个组合数学问题 。本文不去考虑这个组合问题，而是

7、从这个博弈中给出对卢卡西维兹逻辑命题的解释。二 有谎言的乌拉姆博弈的知识我们检查一轮乌拉姆博弈：开始两个玩家同意确定一个数字的有穷集合S和一个自然数 m,其中S称为搜索空间，m为最多能说的谎言数。然后第一个玩家选择S中的一个数 x,第二个玩家通过问最可能少的问题数猜到这个未知的X。对每个问题第二个玩家只能回答“是”或“不是”，在他的回答中最多允许有m个谎言 或错误)。一个问题被看做是S的一个子集，例如问题 “x是一个偶数吗”被看做S中所有偶数的集合。我们可以假定皮诺切克(Pinocchio)是第一个玩家，把我们自己看做第二个玩家。皮诺切克的回答是 堤”或“不是”比如，对于问题 “x是一个偶数吗

8、”，回答 堤”的意思就 是“x是偶数”我们关于x的知识是由这些回答唯一决定的，它一般不服从经典逻辑的规则。因为，我们对同一重复的问题的两个相同的回答的合取不一定等价于单个的回答，因此经典幕等原则失效。同时，对同一重复的问题的两个相反的回答的合取不一定导致矛盾。我们假定皮诺切克可以最多撒谎一次，我们问两次 “x是偶数吗”，如果两次都回答“是”那么这个回答是真的，x定是偶数。但是，第一次回答之后我们不能确定x是偶数。如果皮诺切克对第一个问题回答“是”对第二个回答“不是”，这不会导致矛盾。在传统的无错误或谎言的乌拉姆博弈中，我们对于x的知识通常由特征函数T:S0, 1表示，对每个S中的数乙z的特征函

9、数值等于 0或者等于1。当且仅当z满足了前面所有的问答，z的特征函数值等于0。这里所说的问答就是博弈中一问一答的结果。比如当问题是“x是一个偶数吗”，回答为堤”的时候，如果z是偶数，则说它满足了这个问答。如果z满足了前面所有的问答，z的特征函数值等于0。当且仅当z至少不满足一个问答，z的特征函数值等于1。满足某个问答也可以说是使这个问答真；不满足某个问答也可以说是使这个问答假。在有m个谎言的乌拉姆博弈中，我们的知识由推广的特征函数d: S0, 1,m,m +1给出，z不满足的问答的数为 d (z),这样z可以不满足 0到m +1个问答。不满足多于 m +1个问答的情况被看做 不满足m +1个问

10、答的情况，这是因为在最多允许 m个谎言的情况下，一个数不满足 m +1个问答已经 说明它肯定不是那个未知数，再继续不满足所问的问题已经没有意义。好的策略是将它排除不再提问，所以可认定最多只能不满足m +1个问答。通过比较可以发现无谎言和有谎言博弈中的知识有所不同：当z不满足一个问答时，在传统的无错误的乌拉姆博弈中z的特征函数值等于1,在有m个谎言的乌拉姆博弈中z不满足的问答数也是1;当z不满足两个问答时，在传统的无错误的乌拉姆博弈中z的特征函数值等于1,而在有m个谎言的乌拉姆博弈中z不满足的问答数等于2;当z不满足k大于1而小于m +2)个问答时，在传统的无错误的乌拉姆博弈中z的特征函数值等于

11、1,而在有m个谎言的乌拉姆博弈中，z不满足的问答数等于k。© 994-201Q ChinaJoEimal ESltelf imic Puhlishlhg FLouss All r函hlipr?w ww.tnki .net三知识状态的动态我们假定，从皮诺切克得到一定数目的回答之后我们的知识由函数6表示。令D是S的任意子集，它的补集Dc是S中不属于D的那些数组成的集合。假定我们的问题是“x是D中的数吗”，现在从皮诺切克那里得到的回答为“是”，我们从原来的知识得到一个新的知识。那么我们应该怎样表示我们的新知识6呢？下面给出构造过程。我们令S表示在前面的所有问答中不满足i个问答的数字构成的集

12、合，那么在所有的知识和所有的m +2元组(S，-，S + i)之间存在一个显然的一一对应关系，推广了经典的子集和特征函数之间的对应。如果在得到知识6之后问的下一个问题为“ x是D中的数字吗？ ”，得到的回答为 堤”，那么我们会得到一个新的知识6 与6对应的(m+2)元组记为(So',，Sm+i)。于是，S是S与D的交集，S；+1由Sn+1中的数字和Sn中不属于D的数字组成，其他S由Si中属于D的数字和Si-1中不属于D的数字组成。事实上，每当S中的数字y对于未知的x是有效的候选时，即当y按照皮诺切克的回 答确定为和x同属于D时，y不满足的问答的数6 '(y)保持不变，这时y属于

13、D;另一方面，当且仅当y不属于D时，6 '(y)增加1。我们可以类似地处理对问题D的否定回答的情况，这些回答和对反问题Dc，即“x不是D中的数吗？”的肯定回答正好有同样的效果。如果对每个y指派的不满足问答的数目6 (y)进行转换，我们可以获得一个更简单的形式。我们用®表示1减去6 (y)/(m+1)得到的结果。函数 称为有m个谎言(或错误)的S上的乌拉姆博弈中的 知识状态(stateof knowledge)。这样我们就把知识转化为知识状态。按照这个概念，开始的知识状态是S上的常函数1。在另一个极端是与1不相容的知识状态，即常函数0,在这个知识状态每一个S中的数使m +1个或

14、更多的问答假。于是，(y)可以看做给y指派真值的函数。直观上，真值函数(y)以m +1的单位测量y距离使太多问答假的条件有多远。它的取值情况可以更精确地表述为：如果y使多于m个问答假,它的真值函数(y)取真值0;如果y使m个问答假，它的真值函数取真值1 / (m +1);如果y使k个问答假，它的真值函数取真值(m - k+1)/(m+1);如果y使1个问答假,它的真值函数取真值m / (m + 1);如果y没有使回答假,它的真值函数取真值1。上文提到，问题“x是 D中的数字吗”可以看做集合D,那么对问题 D的肯定回答的结果是一个问答，记为Dyes,它可以看做函数。规定：如果z是D中的数字，它的

15、问答Dyes(z)取真值1;如果z不 是D中的数字，它的问答取真值 m/(m +1)。根据规定，对问题D的否定回答的问答Dno相当于Dc yes,即对问题Dc肯定回答的问答。换句话说，对每个S中的数字z:如果z不是D中的数字，那么它的问 答Dno (z)取真值1;如果z是 D中的数字，它的问答取真值 m/(m+1)。直观上，每一轮提问和回答之 后都使原来的知识状态有所改变，改变的量就是问答函数给出的函数值。为了更好地说明有谎言的乌拉姆博弈，我们假定要搜索的数字空间为1, 2, 3,要猜的数为2,允许的最大谎言数为2。假定我们第一次提问是“x是1或2吗”，皮诺切克回答“是”，得到的知识也是这个问

16、答，记为D。如果数字z是1或2,那么z使问答真，它的问答取真值1;如果z是3,那么z使问答假，它的问答取真值 2/3。把经过几轮问答之后得到的知识状态记为，如果数字y使其中的三个问答假，那么y的真值函数取真值0;如果y使两个问答假，那么y的真值函数取真值 1 /3;如果y使一个问答假,那么y的真值函数取真值2/3;如果y没有使问答假,那么y的真值函数取真值 1。 可以更简洁地用三元组表示出来，假定它是(1, 2/3, 1/3),坐标分别对应搜索空间的数字1、2和3,那么在这个知识状态数字1没有使问答假，2使一个问答假，3使两个问答假，这时我们还不能猜到那个未知的数6。要想知道未知的数，继续提问

17、下去，直到得到知识状态 (0, 1 /3, 0),这时我们知道那 个未知的数一定是 2。© 1994-2010 Chinzi AvAdirzviic JoEimal EltclriMiic PuEilishitugAll rightshup:拧诣 ww.tnki.titl多值逻辑的乌拉姆博弈语义90四知识状态的运算有m个谎言（或错误）在搜索空间£上的乌拉姆博弈中的知识状态构成一个集合，记为K", 一 旦配备有逐点（凹i曲證）卢卡西维鉉合取运算，它就成为一个有中心元1 （最初狀态）的左换幺半 群逻辑联结同在代数屮称为运算。当皮谐切克的回答包含谎言的时候，问答（甫数）

18、的卢卡西维兹 合収是我们关于未知的数x的知识状态。随着回答数目的増加*我们的知识狀态变得越来越细。对每个 知识状态S存在一个最粗的状态=T和它不郴容（incompatible） o联结词，和t 0是町以相互 定义的*对的解释可以通过定义绪出。常函数0是与1不相容的狀态，町以用、不属于亍 来描述， 是假的知识状态。多值逻辑代数（収-aJ沪显）是一种代数结构，记为釦6，足卢卡西 维兹无穷值命题逻辑的代数形态，当然有穷值的情形也满足无穷值情形的定理和性质是多值逻轿代数 的特例。由于。可以由定文*我们可以称K“，1,硏为有m个谎言邸JS上的乌拉姆博弈中 知识状态的多值逻辑代数。因为忑吋1, r , 0

19、已经是多值逻辑代数了，对于VIIA通常没有必要给出解释。但是，对 于知识状态5和玄，规定T! Vtz（x）于小乂兔（门,也可以得到解释。如果把知识狀态所取的函 数值看做真值T1 Vi2所取真值是和©所取真值的析取绘比山或心更真的知识状态。类似地A也 可以得到解释"这样我们对卢卡西维兹ni +2值命题逻辑系统給出了一个较全面的解释。在多值逻辑代数中，任意公式或项都是从变元和常元1通过有穷次应用联结词运算？和O而得到的。代数公式对应于逻辑系统中的公式，等式对应于逻辑系统中的等价公式。我们把代数中的元看做任意知识状态,多值逻辑代数就是关于知识状态的代数。O的结合性和交换性以及？的

20、对合性质也成立 。席刃吧鶯I上，讣' Oi 当谎言的数为零的时候，多值逻辑代数的聚合和裂变就是布尔代数的合取和析取。根据上述解释可以看到，有谎言的乌拉姆博弈为多值逻辑代数提供了一个语义解释，并且满足联结词的运算规则。对于无穷值卢卡西维兹逻辑，可以把谎言的数目推广到无穷个的情况，恒等式就是保证博弈中没有谎言的公式。乌拉姆博弈中的搜索空间可以是其他类型的东西，数字可以代表其他事物或符号，因此它有更为广泛的应用领域，使多值逻辑的研究更有趣味。乌拉姆博弈解决了长期以来对卢卡西维兹合取和析取不能给出解释的问题，为多值逻辑的合法性提供了辩护。实际上乌拉姆博弈只是给多值逻辑代数一 个直观语义解释，并没有对卢卡西维兹蕴涵进行解释。多值逻辑因为缺乏直观而受到排斥，但从乌拉姆博弈中找到解释的事实说明，多值逻辑有不同于二值逻辑的价值。注释1霍书全：多值逻辑的思想渊源和产生历程自然辩证法研究 2008年第11期，第17 - 21页；霍书全：多值逻辑的方法和理论 ，科学出版社，2009,第1 - 16页。2 Standleg J Krolikoski，“DoesM any - valued Logic Begin W ith a M istake”，In: International Symposium on M ultiple - Val2 ued Logic （9 th : 197