(完整)直角三角形的边角关系全章总结复习,推荐文档

1、 2017 2018学年寒假辅导 第1讲 直角萨娇新的边角关系 知识清单梳理 知识点一：锐角三角函数的定义 关键点拨与对应举例 正弦： sinA 1.锐角三 余弦： cosA 角函数 正切： tanA Z A 的对边 a 斜边 c Z A 的邻边=b 斜边 c Z A 的对边=a Z A 的邻边=b. 根据定义求三角函数值时， 一定根据 题目图形来理解， 严格按照三角函数 的定义求解，有时需要通过辅助线来 构造直角三角形. 2.特殊角 的三角函 数值 度数 三角函数 30 45 60 si nA 1 羽 需 2 2 2 cosA 护 2 匹 1 2 2 ta nA 昼 3 1 知识点二：解直角

2、三角形 3.解直角 三角形 的概念 在直角三角形中， 除直角外， 一共有五个元素， 即三条边和两个 锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的 过程叫做解直角三角形. 4.解直角 三角形的 常用关系 (1)三边之间的关系：a2 + b2= c2； 锐角之间的关系：/ A + Z B = 90 a b a 边角之间的关系：sinA = =cosB=-, cosA = sinB=-, tanA = . 相等的角 商的关系：tanA=;平方关系：sin2A+cos 2A=1. (5)互余的两角：若/ A+Z B=90 ,则 sinA=cosB , cosA=sinB. 知识点三：解直角

3、三角形的应用 5.仰角、俯 角、 坡 度、坡角 和方向 角 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角 视线在水平线下方 的角叫做俯角.(如图) (2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度 (或者叫做坡 比)，用字母 i 表示. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角， 用a表示，则有 i = tana (如图) (3) 方向角：平面上，通过观察点 O作一条水平线(向右为东向)和 一条铅垂线(向上为北向)，则从点 O 出发的视线与水平线或铅 垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (如图) 6.解直角 三角形实 际应用的 一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； 将

4、条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际 问题转化为解直角三角形问题； (3) 选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； (4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到 问题的解. 科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便; 已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少； 已知直边求斜边，用除还需正余弦 例：在 Rt ABC 中，已知 a=5, / A=30,贝 U c= ,b= . 解直角三角形中 基本模型： (1) 叠合式 “双直角三角形”的 (2)

5、背靠式 I r 解题方法： 这两种模型种都有一条公 共的直角边，解题时，往往通过这条 边为中介在两个三角形中依次求边， 或通过公共边相等，列方程求解 . 专题讲座 专题一：锐角三角函数的概念 注意：1.sinA、/ cosA、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比, 与直角三角形的 _ 无关 2.取值范围 _ sinA _ ; _ cosA ,这些比值只与 有关, sin A ) 斜边 sin ( ) 斜边 例 2.锐角三角函数求值: 在 Rt ABC 中，/ C= 90 sinA= cos A tan A LI * c ,右 a= 9, cosA = cosB = ( ) 斜边 ( )

6、A 的邻边 b= 12, 则 c= tanA= cos tan ( ) 斜边 B 的对边 ( ) si nB= _ , 例 3.已知：如图， Rt TNM 中，/ TMN = 90, 求：sin / TMR、cos/ TMR、tan/ TMR. tanB = _ _ . MR 丄 TN 于 R 点，TN= 4, MN = 3. 类型一：直角三角形求值 例 4.已知 Rt ABC 中， C 90 ,ta nA 3 , BC 4 12,求 AC、AB 和 cosB. 例 5.已知 A是锐角, sin A 8 ，求 cosA, tan A 的值 17 类型二.利用角度转化求值： 例 6.已知：如图，

7、 Rt ABC 中，/ C= 90. D 是 AC 边上一点, 求: sinB、cosB、tanB. DE 丄 AB 于 E 点.DE : AE = 1 : 2. 例 7如图，角 的顶点为 0,它的一边在 x轴的正半轴上，另一边 OA上有一点 P ( 3, 4)，贝U sin 例 7 图 例 8 图 例 9 图 例 13 图 3 _ 例 8如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm, DE 丄 AB, si nA ，则这个菱形的面积 = _ cm2. 5 例 9如图，沿AE折叠矩形纸片 ABCD，使点D落在BC边的点F处.已知AB 8 , BC 10 ,AB=8,则tan/ EFC 3 4 3

8、4 的值为() A. - B. 一 C. - D. 4 3 5 5 类型三化斜三角形为直角三角形 例 10.如图，在 ABC 中，/ A=30 , / B=45 , AC=2 3，求 AB 的长. 1 例 11.已知：如图， ABC 中，AC= 12cm, AB = 16cm, si nA - 3 （1）求 AB 边上的高 CD; （2）求厶 ABC 的面积 S; （3）求 tanB. 例 12.已知：如图，在 ABC 中，/ BAC= 120 , AB = 10, AC = 5. 求：sin / ABC 的值. 类型四：利用网格构造直角三角形 例 13 如图所示， ABC 的顶点是正方形网格

9、的格点，贝U sinA 的值为（ ） 对应训练: C . -10 D . 2 1.在 Rt ABC 中，/ C = 90,若 BC= 1 , B .出 C . 1 D . 2 5 2 3 2.在ABC 中，/ C=90 , sinA= , 5 ABC 中， 那么90 , AC 6 , D为AC上一点， 5 若tan DBA 4 3 U .22 C=90, AC=8, AD=1 求/ B 的度数及边 3 ； BC、AB 的长. AB= 5，贝 U tanA 的值为（） 5.如图，在 Rt ABC 中，/ BAC=90 ，点 D 在 BC 边上，且厶 ABD 是等边三角形. 若 AB=2，求 AB

10、C 的周长.（结 果保留根号）3 6.已知：如图， ABC 中，AB= 9, BC = 6、ABC 的面积等于 9,求 sinB. 7.在、ABC 中，/ A=60 , AB=6 cm , AC=4 cm，则 ABC 的面积是 A.2 . 3 cm2 B.4 3 cm2 C.6 3 cm2 K- + - ABC 的顶点都在方格纸的格点上，贝 U sin A = 8 如图， B C D.12 cm 9 .如图, A、B、 C 三点在正方形网络线的交点处，若将 ABC绕着点 为（） 1 B.- 3 1 C.- 2 D. 1 10正方形网格中, A .专 / AOB如图放置，则 B 普 tan /

11、AOB的值是（ ） C.2 D. 2 r O 专题二：特殊角的三角函数值 锐角 30 45 60 sin cos tan 例 1.求下列各式的值. (1) 2cos30 . 2 sin 45 tan 60 时，正弦和正切值随着角度的增大 余弦值随着角度的增大而 2 - J3 (2) tan 60 sin 45 2cos30 ( 3)3 1+(2 旷 1)-tan30 - tan45 例 2 .求适合下列条件的锐角 (1) cos - 2 tan 弓 (3) sin 2 - (4) 6 cos( 16 ) 3.3 (5)已知 为锐角，且tan( 300) . 3，求 tan 的值 菱形的周长.

12、、2 cos60 sin 45 tan30 tan 45 sin 30 1 cos60 ()在 ABC 中，若 cos A (sin B A, B都是锐角，求 C的度数 例 3.三角函数的增减性 1 1.已知/ A 为锐角，且 sin A ，那么/ A 的取值范围是( 2 A. 0 Z A 30 B. 30 Z Av 60 C. 60 Z A 90 ) D. 30 Z A 90 2.已知Z A 为锐角，且cosA sin 30，贝 U ( ) A. 0 Z A C. 60 Z A 90 D. 30 Z A 90 例 4.(三角函数在几何中的应用) 已知：如图，在菱形 ABCD 中，DE 丄 A

13、B 于 E, BE= 16cm, si nA 12 13 求此 对应练习： 1 1.计算：1 2 73tan45o (J2 1.41)0 2.计算: 3 1)2013 2 1 sin30 ( 3.14) -2 2 + 3 8 :3tan30 ; 3.计算：(2-3) + A 琪琪 2 l(cos60 ) 5.计算: 屁4八沁” “如初 6计|1.二|(二) 4cos30+ ( n -3.14) 0 7.已知a是锐角，且 Sin( a +15 计算.8 4cos ( 3.14)0 tan i 1 - 的值. 3 D -2 2 & 已知：如图，Rt ABC 中，/ C = 90, AC B

14、C “3，作/ DAC = 30, AD 交 CB 于 D 点 (1) / BAD; (2)sin/ BAD、cos/ BAD 和 tan/ BAD.求: 9.已知：如图 ABC 中，D 为 BC 中点，且/ BAD = 90, tan B 3 10.如图，在 RtABC 中，/ C=90 , SinB ,点 D 在 BC 边上, 5 专题二：解直角二角形的应用 例 1. （2012?福州）如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别是 30 45如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 10011.（本小题 5 分）如图, ABC 中，/ A=30 , tan B ,AC 2 4 3

15、 .求 AB 的长. DC= AC = 6，求 tan / BAD 的值. 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（ ） 例 2.如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: 3，堤坝高 BC=50m，则应水坡面 AB 的长度是（ A . 100m B . 100 .3m C. 150m D. 50、3 m 例 3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄 河第一桥”之美誉。它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁，桥上飞架了 5 座等高的弧形钢架拱桥。 小芸和小刚分别在桥面上的 A , B处，准备测量其中一座弧

16、形钢架拱梁顶部 C处到桥面的距离 AB = 20m，小芸在A 处测得Z CAB = 36， 小刚在B处测得Z CBA = 43 ,求弧形钢架拱梁顶部 C处到桥面的距离。（结果精确到0.1m） （参 考数据：cos36 0.81, tan36 0.73, sin43 0.68 , cos43 0.73, tan43 0.93） 2化时汨 例 4如图，一垂直于地面的灯柱， 上方 2 米处加固另一条钢缆 （结果精确到 1 米。参考数据：sin53 53夹角(/ EDB=53 ),那么钢缆 cos53 0.60, tan53 1.33) 例 5如图，皋兰山某处有一座信号塔 AB，山坡 处为一测量点，测

17、得 / DCA=45 然后他顺山坡向上行走 （1） 求出山坡 BC 的坡角/ BCD 的大小； （2） 求塔顶 A 到 CD 的铅直高度 AD （结果保留整数：V3,占 41）A. 200 米 B. 200 舅米 C. 22j 米 D . 100 ( 寸了 + 1 ）米 例 2图 【来源: AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 45夹角（/ CDB=45 ED , ED与地面成 0.80, ）,在 C 点 ED 的长度约为多少米？ BC 的坡度为 1：；,现为了测量塔高 100 米到达 E 处，再测得/ AB，测量人员选择山坡 C FEA=60 对应练习： 1 已知：如图，在两面墙之间有

18、一个底端在 A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在 B 点；当它靠在另 一侧墙上时，梯子的顶端在 D 点.已知/ BAC= 60 ，/ DAE = 45 .点 D 到地面的垂直距离 DE 3 2m，求点 B 到地面的垂直距离 BC. 角/ DCA=60,测得山顶 B 的仰角/ DCB=30,求风力发电装置的高 AB 的长. 3 如图，小聪用一块有一个锐角为 30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距 身高 AB 为 1.7 米，求这棵树的高度 4.（如图，为测量某物体 AB 的高度，在 D 点测得 A 点的仰角为 30 ,朝物体 AB 方向前进 20 米，到达点 C,再次 测得点 A 的仰角为 60 ,贝幽体 AB 的高度为（ ） 2.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高 BD=30m 从水平面上一点 2 .如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A 分别作 AE 丄 BC 于点 E, AF 丄 CD 于点 F . 24 3 (1)求证：/ BAE= / DAF ; (2)若 AE=4, AF= , sin BAE ，求 CF 的长. 5 5 3.如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板