(完整)高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题,推荐文档

1、1、直线的方程任何一个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（X0,y0）为定值，k 为参数 y-y0=k （x-x。） 特别：y=kx+b，表示过（0、b ）的直线系（不含 y 轴）（2） 平行直线系：y=kx+b , k 为定值，b 为参数。2AX+BY+入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系3BX-AY+入=0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（3） 过 L1,L2交点的直线系 A1X+B1y+C1+ 入（A2X+B2Y+C2） =0 （不含 L2）6、三点共线的判定：AB BC AC， KAB=KBC,写出过其中两点的方程，再验

2、证第三点在直线上。、两直线的位置关系直线与圆的方程已知方程说明斜截式K、bY=kx+b不含 y 轴和行平 于 y轴的直线点斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含 y 轴和平行 于 y轴的直线两点式P1(X1,y1)P2(X2,y2)yy1xX1讨2y1X2x不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线截距式a、bx y1 a b不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线一般式Ax+by+c=0A、B 不同时为 0；3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为 0。4、直线方程的几种形式几种特殊位置的直线1x 轴：y=02y 轴：x=03平行于 x 轴：y=b4平行于 y 轴： x=a5过原点：y

3、=kx两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y 的二元一次方程。1、倾斜角:已知 L 两点 Pi(xi,yi)P2( X2,y2)OV v -k0不存在k=Ux2%当Xi=x2时，=900,不存在。当0时，=arctank,v0 时,+arctank2、斜率:=00。=0 =021、Li: y=kix+biL2： y=k2X+b2Li： AiX+BiY+Ci=0L2： A2X+B2Y+C2=0Li与 L2组成的方程组平行Ki=k2且 bi工 b2ABiCiA2B2C2无解重合Ki=k2且 bi=b2ABiCiA2B2C2有无数多解相交Ki工 k2AiBiA2B2有唯一解垂直Ki -

4、k2=-iAiA2+BiB2=0（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）4、点到直线距离：AX0By。cd _（已知点（p0（X0,y0）, L : AX+BY+C=0 ）J A2B21两行平线间距离： Li=AX+BY+C1=0 L2： AX+BY+C2=0 d ,B22与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C d A2B203与 AX+BY+Ci=0 和 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是5、对称：（i ）点关于点对称：p（xi,yi）关于 M （X0,y。）的对称P（2XXi,2YYJ（2）点关于线的对称：设p（a、b）对称轴对称点p对称轴对

5、称点pX 轴P（a、b）Y=-xP（b、a）Y 轴P （ a、b）X=m（m丰0）p （2m a、b）y=xp （b、a）y=n（n丰0）p （a、2n b）2、Li到 L2的角为 0,则tan3、夹角：tan|k2ki|i k2ki（kik23般方法:24D2E24F0时，表示一个点。D2E24F0时，不表示任何图形。如图：（思路 1）设 P 点关于 L 的对称点为 Po（xo,yo）贝.Kppo*KL= 1ip, Po中点满足 L 方程解出 Po（xo,yo）（思路 2）写出过 P 丄 L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出Po（xo,yo）的坐标。（3 ）直线关于点对称L :

6、AX+BY+C=0 关于点 P （X。、丫0）的对称直线I: A （2X0-X） +B （2Y0-Y） +C=0（4）直线关于直线对称关于 y=x 对称曲线是 f（y、x）=0 关于 y= -x 对称曲线是 f（-y、-x）=0 关于 x=a 对称曲线是 f（2a-x、y）=0 关于 y=b 对称曲线是f（x、2b-y）=0 一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。 要点：作图必须准确（建议稍画大一点）先找可行域再找最优解。四、圆的方程.D2E24F几种特殊位置的对称：已知曲线f（x、y）=

7、0关于 x 轴对称曲线是关于 y 轴对称曲线是关于原点对称曲线是f（x、-y）=0f（-x、y）=0f（-x、-y）=0。线性约束条件必须考虑完整。1、圆的方程: 标准方程xa2（yb）2r, c （a、b）为圆心，r 为半径。一般方程:y2DXEY FPx5参数方程： x a r cosy b r si n为参数以 A （Xi, Yi）, B （X2, Y2）为直径的两端点的圆的方程是（X-Xi） （ X-X2）+ （Y-Yi） （Y-Y2） =02、 点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d,然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定：联立方程组，消去一个未知量，得到一

8、个一元二次方程： 0 相交、= 0相切、 r 相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt ）4、圆的切线：（1 ）过圆上一点的切线方程与圆2x2y2 2r相切于点（xi、yi）的切线方程是xixyiy r与圆(xa)2(yb)22r相切于点(xi、 yi）的切成方程为：(Xia)(xa)(yib)(yb)2r与圆2x2yDXEYF0相切于点 （xi、yi）的切线是设切点是 p1（x1、y1）解方程组先求出 Pi的坐标，再写切线的方程已知斜率的切线方程：设y kx b（b 待定），禾 U 用圆心到 L 距离为5、圆与圆的位置关系x1xy”x xiD(丁)y y-iE(22(2 )过

9、圆外一点切线方程的求法：已知：P0（X0y）是圆(x a)2(y b)2外一点(Xa)2(yib)2（a)(xia)(yob)(yib)2r2设切线是y y0k（xx0)即kxy kx。yo再由ka b kx0yA21r，求出 k,再写出方程。（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）r,确定 b。6由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）6、圆系同心圆系：(x a)2(yb)2r2，( a、 b 为常数， r 为参数)或：x22yDXEY F 0(D、 E 为常数， F 为参数)圆心在 x 轴 ：(xa)2y22r圆心在 y 轴:2：x(y b)22r过原点的圆系方程(

10、x a)2(yb)222ab过两圆Ci:x2y2DiXEiYFi0和C2:x2y2D2X E2Y F20的交点的圆系方程为2 2 2 2x yDiXEiYFl入(x yD?XE?YF?0(不含C2),其中入为参数若 Ci与 C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆 外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于

11、半径，则点在圆内解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x a)2(y b)2r2圆心在y 0上，故b 0圆的方程为(x a)2y2r2.又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.22(i a)2i6 r222(3 a)24 r2解之得：ai，r220所以所求圆的方程为(x i)2y220、相切（外切、内切）7解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线I上，又因为kAB1 31，故1的斜率为 1,又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线1的方程为：y 3 x2即x y 10.又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1,0)半

12、径r ACV(1 1)242V20.故所求圆的方程为(X 1)2寸20.又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为d |PC J(2 1)242V25 r.点P在圆外.说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 例 2 求半径为 4,与圆x2y24x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2(y b)2r2.圆C与直线y 0相切，且半径为 4,

13、则圆心C的坐标为C1(a , 4)或C2(a, 4).2 2又已知圆X y 4x 2y 40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为 3.若两圆相切，则CA 4 37或CA 4 3 1.(1)当C1(a , 4)时，(a 2)2(4 1)272，或(a 2)2(4 1)212(无解)，故可得a 2 210.所求圆方程为(x 22.10)2(y4)242，或(x 22.10)2(y4)242.2 2 2 2 2 28当C2(a,4)时，(a2 )( 4 1)7，或(a 2)( 4 1)1(无解)，故a 2 2.6.所求圆的方程为(x 22-.6)2(y 4)242，或(x2 2.6)2(y4)242.

14、说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为C(a,4)，且方程形如9(x a)2(y 4)242又圆x2y24x 2y 40,即(x 2)2(y 1)232，其圆心为A(2,1)，半径为 3若两圆相切，则CA 4 3故(a 2)2(4 1)2T，解之得- -2 2 2a 2 2 .10所以欲求圆的方程为(x 2 2. 10) (y 4)4,或(x 2 2 10)2(y 4)242.上述误解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y 0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的.例 3 求经过点A(0,5)，且与直线x 2

15、y 0和2x y 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x 2y 0和2x y 0的距离相等.x 2y|x 2y| .55又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3x y 0上.设圆心C(t, 3t)/C到直线2x y 0的距离等于AC化简整理得t26t 50解得：t 1或t 5圆心是(1,3)，半径为.5或圆心是(5,15)，半径为5、.5两直线交角的平分线方程是x 3y 0或3x y

16、 02t 3t,t2(3t 5)210所求圆的方程为(x 1)2(y 3)25或(x 5)2(y 15)2125221111说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上, 到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例 4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为 2; (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x 2y 0的距离最小的圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满的半径，求出圆的方程.解法一：设圆心为P(a , b)，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得

17、劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为,2r2b又圆截y轴所得弦长为 2 二r2又P(a, b)到直线x 2y 0的距离为a 2bdV5 5d2a 2b $2 2a4b4ab2 2 22a 4b2(ab )2 22ba1当且仅当a b时取“=”号，此时dmin这时有2b又r22b22从而确定圆心坐标得分析：要求圆的方程,足两个条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆12故所求圆的方程为(x 1)2(y 1)22或(x 1)2(y 1)22解法二： 同解法一，得a 2b|5a

18、2b5d.22 2a4b4. 5bd 5d将a22b21代入上式得：2b24.5bd21 5d 10上述方程有实根，故8(5d21)0,5代入方程得b5又2b2a21 a 1.由a 2b 1知a、b同号.故所求圆的方程为(x 1)2(y 1)22或(x 1)2(y 1)22.说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆O:x2y24，求过点P 2,4与圆0相切的切线.解：点P 2,4不在圆0上， 切线PT的直线方程可设为y k x 2 4根据d rI2k 42J1 k23解得k34133所以y x 244即3x 4y

19、100因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x 2.说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法， 例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决(也要注意漏解)还可以运用x0 x y0y r2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解.A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(X, y)：,则有：2 2xy。DixEyFi022xy

20、D2X0E2y0F20得：(DiD2) x0(EiE2) y0FiF20./A、B的坐标满足方程(DiD2)X(EiE2)y FiF20又过A、B两点的直线是唯一的.两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为(DiD2)X(EiE2)y FiF20.说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不 求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线 方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛.例 7、过圆x2寸i外一点M (2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB

21、，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：例 6 两圆C1：x2y2D,xE,y F,0与C2:x22、y D?xE?yF20相交于方程(DiD2)X(EIE2)y FiF20是过142 2i 求过点M(3,i)，且与圆(x i) y 4相切的直线I的方程. 解：设切线方程为y 1 k(x 3)，即kx y 3k 10,圆心(1,0)到切线I的距离等于半径2,153切线方程为y 1（X 3），即3x 4y 130,4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x 3,圆心（1,0）到此直线的距离等于半径2,故直线x 3也适合题意。所以，所求的直线I的方程是3x 4y 130或x 3.,2252、过

22、坐标原点且与圆x2y24x 2y0相切的直线的方程为2解：设直线方程为y kx，即kx y 0.v圆方程可化为（x 2）2（y 1）2-，圆心2为y 3x或y类型三：弦长、弧问题解：依题意得，弦心距d J3，故弦长AB 2占2d2故截得的劣弧所对的圆心角为AOB .3例 10、求两圆x2y2x y 2 0和x2y25的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线3x y 2、.3 0和圆x2y24，判断此直线与已知圆的位置关系 . 例 12、若直线y x m为（2, -1）,半径为依题意有22k 1、k21，解得k 3或k1，直线方程233、已知直线5x12y2a 0与圆x 2x y0

23、相切，贝y a的值为解: 圆(x1)21的圆心为（1,0）,半径为 1, 521221，解得a 8或a18.例&求直线I :3x y 60被圆C : x2y22x 4y 0截得的弦AB的长.例 9、直线.3x y 2 30截圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为2，从而 OAB 是等边三角形,2，解得k16与曲线y . 4 x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：曲线y .4 x2表示半圆x2y24（y 0），利用数形结合法， 可得实数m的取值范围是2 m 2或m 2 . 2.例 13 圆(x 3)2(y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形

24、直观求解或先求出直线11、I?的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x 3)2(y 3)29的圆心为03,3)，半径r 3.3 3 4 3 11设圆心01到直线3x 4y 110的距离为d，则d_ 23.J3242如图，在圆心Q同侧，与直线3x 4y 110平行且距离为 1 的直线I1与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又rd 3 2 1.与直线3x 4y 110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有 3 个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x 4y 11 0，且与之距离为 1 的直线和圆的m 11交点.设所求直线为3x 4y m 0,则d _ 1,肘42，m

25、115，即m 6，或m16，也即h：3x 4y 60,或l2：3x 4y 160.设圆O：x 3)2(y 3)29的圆心到直线I1、I2的距离为d1、d2，则3 34 3 6334316d1丿-3,d2 x1.171，3242, 3242二I1与O1相切，与圆O1有一个公共点；I2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共 3 个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3 3 4 3 11设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d，则d -=_- 2 3.3242圆O1到3x 4y 11 0距离为 1 的点有两个.18显然，上述误解中的d是圆心到直线3x 4y 110的距离

26、，d r，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1.到一条直线的距离等于定值的点， 在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上， 因此题中 所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点. 求直线与圆的公共点个数， 一般根据圆与直线 的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.为r 2._2，圆心到直线的距离为.2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选 C.练习 4、 过点P 3, 4作直线I，当斜率为何值时，直线I与圆C : x 12y 224有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路. 解：设直线I的方程为y 4 k x 3即kxy

27、3k40根据d r有Ik2 3k4J,-宀2d k2练习 1 ：直线x y 1与圆x2y22ay 0 （a 0）没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有aV2，解得.2 1a 21 .va 0 , 0 a 2 1.练习 2：若直线y kx2与圆（x 2)2（y 3）21有两个不同的交点，则k的取值范围解：依题意有即1Jk21解得0k的取值范围是练习 3、圆x2y22x4y 30上到直线0的距离为2的点共有（）.(A) 1 个(B) 2 个(C)(D) 4 个分析：把x2y22x4y 30化为x12228,圆心为1,2,半径19整理得23k 4k 020解得类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆

28、与圆位置关系如何确定?y22x 6y 26 0与圆C2: X y24x 2y 4 0的位置关系，例 15：圆x2y22x0和圆x22y 4y 0的公切线共有条。解：v圆(x 1)2y21的圆心为01(1,0)，半径11，圆x2(y 2)4的圆心为。2（0, 2）,半径r22,O1O2J5,123,211.vr21010212两圆相交共有 2 条公切线。练习1:若圆x2y22mx m24 0与圆x2y22x 4my 4m28 0相切，贝U实数m的取值集合是 .解：圆(x m)2y24的圆心为OmQ)，半径 *2，圆(x 1)2(y2m)29的 圆心为O2( 1,2m)，半径r23，且两圆相切，二

29、O1O2r1r2或OQ2r2r1、(m 1)2(2m)25或、(m 1)2(2m)21，解得m5125m,实数m的取值集合是,0,2.2522 2 2：求与圆x y5外切于点P( 1,2)，且半径为2 5的圆的方程.解：设所求圆的圆心为Ojab)，则所求圆的方程为(x a)2(y b)220.v两圆外切11于点P, OP丄OQ，-( 1,2)(a,b),a 3,b 6, 所 求圆的方 程为332 2(x 3) (y 6)20.类型六：圆中的对称问题例 16、圆x2y22x 6y 90关于直线2x y 50对称的圆的方程是_例 14、判断圆C1: X212或m 2，或m 0或521例 17 自点

30、A 3,3发出的光线I射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C:x2y24x 4y 70相切(1) 求光线I和反射光线所在的直线方程.(2) 光线自A到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为3, 3，其次设过A的圆C的切线方程为y k x 33根据d r,即求出圆C的切线的斜率为k-或k -34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x 3y 30或3x 4y 30最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x 3y 30或3x 4y 30光路的距离为AM，可由勾股定理求得AM AC CM说明：本题亦可把圆对称到

31、x轴下方，再求解.类型七：圆中的最值问题例 18：圆x2y24x 4y 10 0上的点到直线x y 14 0的最大距离与最小距离的差是解：圆(x 2)2(y 2)218的圆心为(2, 2)，半径r 3/2,圆心到直线的距离r，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d r) (d r) 2r 6 2例 19 (1)已知圆01(x 3)2(y 4)21,P(x,y)为圆O上的动点，求dx2y2的最大、最小值.22y 2(2)已知圆O2:(x 2) y 1,P(x, y)为圆上任一点求的最大、最小值，求x 1x 2y的最大、最小值.10、222分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上

32、点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：(1)(法 1)由圆的标准方程(x 3)2(y 4)21.23点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离di减去半径 1.所以di. 324216.d2、324214.所以dmax36.dmin16.22x 2 cos ,(2)(法 1)由(X 2) y 1得圆的参数方程：是参数.y sin ,则 口sin 2.令sin2t,x 1cos 3cos3得sintcos 2 3t,.1t2sin() 23t即的最大值为，最小值为x 144所以x 2y的最大值为2.5，最小值为2,5.（法 2）设山k，则kx y k 20.由于P（x, y）是圆上点，当

33、直线与圆有交点x 1则d2xy296 cos2cos168 si n2sin266 cos8si n2610 cos()（其中tan45)所以dmax26 1036,dmin26 1016.可设圆的参数方程为（是参数）.（法 2）圆上点到原点距离的最大值di等于圆心到原点的距离di加上半径 1,圆上点到原x 3 cosy 4 sin2 3t1 t2sin(所以tmax3.34tmin3.34此时x 2y 2 cos 2sin25 cos( ).24时，如图所示，3.25两条切线的斜率分别是最大、最小值.所以的最大值为，最小值为.x 144令x 2y t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最

34、小值.丄2 m ,厂由d :1 1，得m 2 V5.5所以x 2y的最大值为2 .5,最小值为25.例 20：已知A( 2,0),B(2,0)，点P在圆(X 3)2(y 4)24上运动， 则PA2PB2的最小值是_ .解：设P(x,y)，则|PA2PB2(x 2)2y2(x 2)2y22(x2y2) 8 2OP28.2 2设圆心为C(3,4)，则op|min|OC| r 5 2 3，二PA PB的最小值为 2 328 26.练习：2 21：已知点P(x, y)在圆x (y 1)1上运动.(1 )求1的最大值与最小值；(2)求2x y的最大值与最小值.x 2解: (1)设k，则k表示点P(x,

35、y)与点(2, 1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，x 2k取得最大值与最小值.由)21,解得k ,丄的最大值为工3,最小值2k k 2.1 k21，得k263x 2327(2)设2x y m，则m表示直线2x y m在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m1. 5 , 2xy的最大值为1, 5，最小值为1,5.22V 22 设点P(x , y)是圆x y1是任一点，求u的取值范围.x 1分析一:利用圆上任-点的参数坐标代替x、y，转化为一角冋题来解决.解法-一:设圆2x y21上任-一点P(cos , sin )则有x cos,ysin0,2 )- usin2ucosu sin 2cos1，-

36、 u cossin(u 2).即寸u21si n()u 2(ta nu)(u2)sin()12vu1又sin()1影113解之得：U .4y 222分析二：u的几何意义是过圆x yx 1率，利用此直线与圆x2y21有公共点，可确定出u的取值范围.解法二：由u得：y 2 u(x 1)，此直线与圆x2y21有公共点，故点x 1(0,0)到直线的距离d 1.解得：u .42 21上一动点和定点(1,2)的连线的斜取得最大值与最小值1解得m28另外，直线y 2 u(x 1)与圆x y1的公共点还可以这样来处理:29此方程有实根，故(2u24u)24(u21)(u24u 3) 0,3解之得：u -.4说

37、明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便.的最大值和最小值 类型八：轨迹问题1例 21、基础训练：已知点M与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离的比为1，求点M的轨迹2方程例 22、已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程y24与y轴的正方向交于A点，点B在直线y 2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法， 设H (x , y),找x, y的关系非常难.由于H点随B,C点

38、运动而运动，可考虑H,B,C三点坐标之间的关系.解：设H(x, y),C(x, y)，连结AH,CH,则AH BC,CH AB,BC是切线OC BC,y 2 u(x 1)x2y21消去y后得:(u21)x2(2u24u)x (u24u 3)3、已知点A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2)，点P在圆x2y22 24上运动，求 PAPBPC例 23 如图所示，已知圆O:x230所以OC/AH,CH/OA,OA OC, 所以四边形AOCH是菱形. 2 2又C(x , y )满足x y 4,所以x2(y 2)24(x0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知

39、识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.类型九：圆的综合应用例 24、已知圆x2y2x 6y m 0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ，求实数m的值.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.又AB与PQ的中点重合，故x a x1x2,y b y1y2，即所以CHOA2，得y 2,x.解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB ,PQ交于M，显然0MAB,ABPQ,由OMAM2OA2，即(罗)2y b21222()-(x a) (y b) r,也即x2y22r2

40、(a2b2)，这便是Q的轨迹方程.解法二:2设Q(x,y)、A(X1, yj、Bgy)，则x2y1r22x22y2又PQAB2，即(x a)22 2 2 2(y b) (X1X2)(y1y2)2r 2&必y2).在直角三角形312 2 2(x a) (y b) 2r 2(曲2y2)+，有x2y22r2(a2b2).这就是所求的轨迹方程.解法三： 设A(r cos , r sin )、B(rcos , r sin )、Q(x , y),x a r cosr cosy brsinr sin又由PA PB有rsinbr sinb1r cosar cosa联立、消去 、，即可得Q点的轨迹方程为

41、x2y22r2(a2b2).说明：本题的条件较多且较隐含， 解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质， 否则，将使解题陷入困境之中.本题给出三种解法. 其中的解法一是几何方法， 它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉及到了2 2 2y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x y r的参数方程，只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解.练习：1、由动点P向圆x2y21引两条切线PA、PB，切点分别为A、B,APB=60,则动点P的轨迹方程是

42、 _.解：设P(x, y). /APB=600,OPA=30. /OA AP, /.OP 2OA 2, x2y22，化简得x2y24，动点P的轨迹方程是x2y24.练习巩固：设A( c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比 为定值a(a0)，求P点的轨迹.由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有32PA|J(Xc)2y2解：设动点P的坐标为P(x, y).由a(a 0)，得号 丿a,|PBv(x c)2y233化简得(1 a2)x2(1a2)y22c(1 a2)x c2(1 a2)0.当a 1时，化简得x2y2 2c(1a2)x c20，整理得(

43、x丄上c)2y2(丄策)2;1 aa 1a 1当a 1时，化简得x 0.当a 1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A( 2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA 2PB，则点P的轨迹所包围的面积等于_解：设点P的坐标是(x,y)由PA 2PB，得2)2y22匕一1)2一y2，化简得(x 2)2y24 ,点P的轨迹是以(2, 0)为圆心，2 为半径的圆，二所求面积为4则点M的轨迹方程是_所以当a1时,P点的轨迹是(凳c,0)为圆心,斗为半径的圆;a2124、已知定点B(3,0)，点A在圆x2y 1上运动，M是线段AB上的一点，且一1 AM -MB，问点M的轨迹是什么？31解：设M (x, y

44、), A(xy1). /AM MB, (x x1, y y1)3(3 x, y),X4(3x 1)3 (3 x)X1x314-yy1-y3342(yy)21,即(x3)_ _21上运动，x12y1例 5、已知定点B(3,0)，点A在圆x29, . .点M16的轨迹方程是(X3)249161上运动,AOB的平分线交AB于点M,4y122y12.点A在圆134解：设M (x, y), A(xyj . 0M是AOB的平分线，二 _AM一 lA1 , AM -MB . | MB| OB 3 3由变式 1 可得点M的轨迹方程是(x -)2y2416练习巩固：已知直线y kx 1与圆x2y24相交于A、B

45、两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程解:设P(x, y),AB的中点为M OAPB是平行四边形，/M是OP的中点，点M的坐标为(二丫)，且OM AB 直线y kx 1经过定点C(0,1), OM CM, 2 2OM CM (-,)1) (-)21) 0，化简得x2(y 1)21 点P的轨2 2 2 2 2 2 2迹方程是x2(y 1)21.类型九：圆的综合应用例 25、已知圆x2y2x 6y m 0与直线x 2y 30相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ，求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(论，yj、(x2, y2),则由匕kQX1X2yy 0,再利用一元二

46、次方程根与系数的关系求解.kPkQ的值，从而使问题得以解决.的两个根.4m 27x1x22,x)x25kOPkOQ1，即北里1，也即：x1x2y”20.x!x2另一方面，x 2y3 0的实数解，即x1、x2比，yj、(X2, y2)是方程组2 26y mx yx0解法一：设点P、Q的坐标为(为,y1)、(x2, y2).一方面，由0P或因为通过原点的直线的斜率为y，由直线l与圆的方程构造以x上为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出xOQ，得是方程5x210 x 4m 27035又P、Q在直线x 2y 30上,1.23(x 2y)(x 6y)-(x 2y)20,0，故可得(4m 27)(y)24(m 3)-xx12 m1，解得m 3.4m 27经检验可知m 3为所求.说明：求解本