(完整)2016年高考北京卷理数试题(含答案),推荐文档

1、2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共 5 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项.(1 )已知集合 A 电恻0, 1；23),则AflB 二(A)(B)-(C)- 一(D )-2x-y 0(2) 若 x,y 满足|兀+ y 3,X 0.(A)0(C) 4(3) 执行如图所示的程序框图，若输入的(A)1(B)2(C)3(D)4(4) 设 a,b 是

2、向量，则lal=lbl”是la+bl=la-bl”的，则 2x+y 的最大值为(B) 3(D) 5a 值为 1，则输出的 k 值为MM (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件度得到点 P 若 P 位于函数：- m :的图像上，则(B) t= , s 的最小值为一2 6|ysTT(D) tp , s 的最小值为一23(8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就 放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球(C)充分必要(D)既不充分也

3、不必要条件(5)已知 x,yR，且 QQo,则(D) Inx+lny0某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)3(C)(D)1将函数y =It(7,t)向左平移 s (s0)个单位长(C) t -在的直线，点 B 为该双曲线的焦点。若正方形OABC 的边长为 2，则 a=_.璽當一Rv V 0|(14) 设函数 2x?31 d*1若 a=0，贝 y f(x)的最大值为 _ ;2若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是 _ 。三、解答题(共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15)(本小题 13 分)在 ABC 中，a3c3b3.2ac(I)求

4、 B 的大小(Il )求 2 cosA cosC 的最大值(16)(本小题 13 分)A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通 过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)；A 班66.577.58B 班6789101112C 班34.567.5910.51213.5(I)试估计C班的学生人数；(II )从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C班 选 出 的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(Ill )再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时

5、间分别是7, 9, 8.25(单位：小时)，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记皿，表格中数据的平均数记为 山，试判断厲 和旳的大小，(结论不要求证明)(II )求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值;(II I )在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMII 平面 PCD?若存在，求如的值；若不存在,AP说明理由。(18)(本小题 13 分)设函数 f(x)=xeea x+bx，曲线 y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为 y=(e-1)x+4，(I)求 a,b 的值；(I I)求 f(x)的单调区间。(19)(本小题 14 分)已知椭圆 C:X：y：1(

6、ab0)的离心率为至,A ( a,0) ,B(0,b), O ( 0, 0), a2b22OAB 的面积为 1.(I)求椭圆 C 的方程；(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。求证：lANlglBMl为定值。(20)(本小题 13 分)设数列 A: 6 ,a2，aN(N 2)。如果对小于an，则称 n 是数列 A 的一个“ G 时刻”。记“ G (A)是数列 A 的所有“ G 时刻”组成的集 合。(I)对数列 A : -2, 2, -1 , 1, 3，写出 G( A)的所有元素；(17)(本小题 14 分)如图，在四棱PA P

7、D ,PA=PD,AB锥 P-ABCD 中，平面 PADAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5平面 ABCD(I)求证：PDPAB;n(2 n ai，则 G (A)(I I I)证明：若数列 A 满足an-an 1w 1 ( n=2,3,N)，则(A)的元素个数不小于aN2016年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)参考答案一、 选择题(I) C(5) C二、 填空题(9)1(II)2(共 8 小题，每小题 5 分,(2) C(3) B(6) A( 7) A6 小题，每小题 5 分,(10)(12)(共共 40 分)(4) D(8) B共 30 分)(13)2(14)三、解答题(

8、15)(共 13 分)(共6062(,1)6 小题，共 80 分)解：(I)由余弦定理及题设得cosB2 2 , 2a c b2ac 2ac2ac又因为0 B，所以B(n)由(I)知2 cos A cosC44.cos(4A),22 2 cosA sin A cosA2 2 2、2sin A2cos(A ),4因为0 A，所以当4(16)(共 13 分)解：(I)由题意知，A时，2 cosA cosC取得最大值1.4班的学生人数估计为20名学生中， 来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,100旦40.20抽出的(n)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”,1,2, ,5,事件Cj为“乙

9、是现有样本中C班的第j个人” ,j 1,2,8,- 1由题意可知，p(A)51P(AiCj) P(A)P(Cj)-51,5；P(Cj)，j1,2, ,8.丄，i 1,2, ,5,j 1,2,40,8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,3因此P(E) P(AiG) P(Ad) P(A2G) PS2C2) P(AC3)P(AsG)卩(乓。2)P(A4CI)P(A4C2)HA4C3) P(AsCi) P(A5C2) P(AC3)PGC4)15(川)1(17)(共 14 分)解：(I)因为平面PAD平面ABCD,AB AD, 所以AB平面PAD.所以AB PD.又因为PA PD

10、,所以PD平面PAB.(n)取AD的中点O,连结PO,CO.因为PA PD，所以PO AD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD, 所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以PO CO. 因为AC CD，所以CO AD.如图建立空间直角坐标系O xyz.由题意得，A(0,1,0), B(1,1,0),C(2,0,0),D(0, 1,0), P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n (x, y, z)，则* -*n PD0,即yz 0,n PC0,2xz 0,令z 2, 则xi,y2.所以n (1, 2,2).所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为AG AQ2A2CA2C3A3

11、C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4PS3C3)13408又PB (1,1, 1)，所以cos n,PBn PBn PB(川)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得AM AP.因此点M(0,1, ),BM ( 1,).因为BM平面PCD，所以BM/平面PCD当且仅当BM即(1, ) (1, 2,2)0,解得所以在棱PA上存在点M使得BM/平面PCD，此时列AP(18)(共 13 分)解：(I)因为f(x)xea xbx所以f (x)(1 x)ea x依题设,f(2)f2e2,即1,2ea2ae2b22e 2,e 1,解得a2,be.(n)由f (x) xe

12、2 xex由f (x)x(1x ex 1)即e20知，f (x)与1 x ex1同号.令g(x)x ex 1，贝U g (x)所以，当x (,1)时，g (x)g(x)在区间(,1)上单调递减;当x (1,)时，g (x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间()上的最小值,从而g(x) 0, x ().综上可知，f (x)0,x ()，故f (x)的单调递增区间为().(19)(共 14 分)C 仝a_r,1解：(I)由题意得ab 1,解得a 2,b1.22 . 2 2a b c ,2 w所以椭圆C的方程为y i.4(H)由(I)知，A(2,0), B(0,1),2

13、2设P(xo, yo)，则xo4yo4.当Xo0时，直线PA的方程为yyoXo2(x2).令Xo，得yM-2y.从而Xo2BM1 yM2yoXo2直线PB的方程为j 1Xo令y o，得XN-Xo.从而yo1AN2XNXoyo1所以AN BMXoyo12yo2Xo2 2Xo4yo4xyo4xo8yo4xoyo4xo8yo8XoyoXo2yo2XoyoXo2yo24.当Xoo时，yo1，BM2, AN2,所以AN BM4.记m min i N2 i N, aiai,（n）因为存在an使得ana1，所以i N2 i N,aia则m 2，且对任意正整数k m, aka1am.因此m G(A)，从而G(A)(川)当aNai时，结论成立以下设aNa1.由(n)知G(A).设G(A)ni,n2, , rip,nin?np，记n。1.则an0a an2anp.对i 0,1, , p，记Gik N nik N, ak如果Gi，取mimin Gi，则