执信中学2015届高三上学期期中考试(文数)

1、执信中学 2015 届高三上学期期中考试数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分为 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答 卷密封线内相应的位置上，用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题 目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效 ；如需改动，先划掉原来的答案，然

2、后再写 上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、 考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题 (共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的1.已知集合M =x | -1<x <3，M = x | -2 <x <1，则M Ç N =（ ）A.( -2 ,1)B.( -1,1)C.(1, 3)D.( -2 , 3)2.1 +3i1 -i=（ ）A.1 +2iB.-1+2iC.1 -2 iD.-1-2i3若 a ÎR ，则 a =0 是 a

3、(a-1)=0的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件4等比数列a n中，a =44,则a a2 6等于（ ）A.4 B.8C.16D.325. 在 ABC 中， a2=b2+c2-bc ，则 A 的值为（ ）A30oB60oC30o 或150o D 60o 或 120o6若向量uuurBA =(1, 2)，uuurCA =(4 , 5)则uuurBC =（ ）A.(5 , 7)B.(3 , 3)C.( -3 , -3)D.( -5 , -7)7.正三棱柱ABC -A B C 1 1 1的底面边长为 2 ，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A -B DC1

4、 1的体积为（ ）A.3B.32C.1D.323x8已知数列a n为等差数列，其前n项和为Sn，若S =204，S -S =36 6 2，则该等差数列的公差d =（ ）A.-2B.2C.-4D.4x 2 y 29已知椭圆 C ： + =1 （ a >b >0a 2 b23）的左、右焦点为 F 、 F ，离心率为 ，过 F 的直线1 2 2l 交 C 于 A 、 B 两点. 若 ABF 的周长为 4 3 ，则 C 的方程为（ ）1Ax 2 y 2 x 2+ =1 B 3 2 3+y2=1Cx 2 y 2 x 2 y 2 + =1 D + =112 8 12 410. 奇函数f ( x

5、)的定义域为 R ，若 f ( x +2)为偶函数，且f (1) =1 ，则 f (8) + f (9) =（ ）A.-2B.-1C.0D.1第二部分非选择题 (共 100 分)二填空题：本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答卷的相应位置11.双曲线 C 的两个焦点为( - 2 , 0) ， ( 2 , 0)，一个顶点为 (1, 0) ，则 C 的方程为12.曲线y =5ex -3在点(0 , 2)处的切线方程为ìx +2 y -4 £0ï13.若实数 ， y 满足 íx -y -1 £0 ，则 x +y 的最大值

6、为ïîx ³1（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A(5 ,p3)、B (8 ,2 p3)，则 | AB |=15（几何证明选讲选做题）如图， AB 是圆 O 的直径， BC 是圆 O 的切线，切点为 B ， OC 平行于弦 AD ，C若 OB =3 ， OC =5 ，则 CD =D16 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 设 平 面 向 量ra =(cos x , sin x)，AOBr 3 1 b =( , )2 2，函数r rf ( x) =a ×b+1（1）求函数f ( x)的

7、值域和函数的单调递增区间；（2）当f (a ) =9 p 2p 2p ,且 <a< 时，求 sin(2a+5 6 3 3)的值.s12n +117. （本小题满分 12 分）在某次体检中，有 6 位同学的平均体重为65公斤，用xn表示编号为n（n =1,2，6）的同学的体重，且前 5 位同学的体重如下：编号体重nxn160266362460562（1）求第 6 位同学的体重 x 及这 6 位同学体重的标准差 ；6（2）从前5 位同学中随机地选2 位同学，求恰有1 位同学的体重在区间(58,65)中的概率18.（本小题满分 14 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体ABCD -A B

8、C D1 1 1 1中，E 、F分别为DD1、DB的中点（1）求证：EF/平面ABC D1 1；（2）求证：CF B E1；（3）求三棱锥VC -B FE的体积19. （本小题满分 14 分）设数列an前n 项和为 S ，n满足a（1）求22S 1 2n =a - n -n - , n ÎN n 3 3的值；*.（2）求数列an的通项公式.（3）证明：对一切正整数 n ，有1 1 1 7+ + + <a a a 41 2 n.20（本小题满分 14 分）设抛物线C的方程为x2=4 y，M (x, y0 0)为直线l： y =-m( m >0)上任意一点，过点 M 作抛物线

9、 C 的两条切线 MA ， MB ，切点分别为 A , B .（1）当 M 的坐标为 (0, -1)时，求过 M , A, B三点的圆的方程，并判断直线l 与此圆的位置关系；（2）求证：直线 AB 恒过定点 (0, m) ；21. （本小题满分 14 分）已知f ( x) =1 -xax+ln x ( a 为正实数).（1）若函数f ( x)在1, +¥)上为增函数，求a的取值范围；（2）当a =1时，求函数f ( x)在1 , ee上的最大值与最小值；（3）当 a =1 时，求证：对于大于1 的任意正整数 n ，都有 ln n >1 1 1+ + +2 3 n6数学（文科）参

10、考答案1 B 2 B 3A 4 C 5B 6C 7C 8B 9A 10.D11.x 2 -y 2 =112.5 x +y -2 =013.314.715.416（本小题满分 12 分）解：依题意f ( x) =3 1 p cos x + sin x +1 =sin( x + ) +12 2 32 分（1） 函数f ( x)的值域是 0 , 2 ；4 分令2kp p p- £x + £2 k2 3pp+ ，解得 2k 25p p p- £x £2 kp+6 67 分所以函数f ( x)的单调增区间为2 kp-5p p, 2 kp+ ( k Îz

11、) 6 6. 8 分（2）由p 9 p 4f (a) =sin(a+ ) +1 = 得 sin(a+ ) =3 5 3 5,p 2p p p p 3 因为 <a< 所以 <a+ <p，得 cos(a+ ) =-6 3 2 3 3 5, 10 分sin(2a+2p p p p 4 3 24 ) =sin 2(a+ ) =2sin( a+ )cos( a+ ) =-2´ ´ =-3 3 3 3 5 5 2512 分17. （本小题满分 12 分）60+66+62+60+62+ x解：（1）由题意得 6 =65 ，故 x =8066 位同学体重的标准差 2

12、 分1s = (60 -65) 62+(66 -65)2+(62 -65)2+(60 -65)2+(62 -65)2+(80 -65)2=7 4 分所以第 6 位同学的体重x =806，这 6 位同学体重的标准差s =7 5 分（2）从前 5 位同学中随机地选2 位同学的基本事件为(60 , 66)，(60 , 62)，(60 , 60)，(60 , 62)，(66 , 62)，(66 , 60)，(66 , 62)，(62 , 60)，(62 , 62)，(60 , 62)，共 10 种 8 分其中恰有1 位同学的体重在区间(58 , 65) 中的基本事件有(60, 66) ， (66 ,

13、62) ， (66 , 60) ， (60 , 62) ， 共 4 种 10 分所以恰有 1 位同学的体重在区间(58 , 65)中的概率P =4 2=10 5 12 分111218.（本小题满分 14 分）解：（1）连结BD1，在DDD B1中，E、F分别为D D1，DB的中点，则EF 为中位线2 分 EF / / D B1而D B Ì1面ABC D1 1，EF Ë面ABC D1 1 EF / /面ABC D1 14 分（2）等腰直角三角形 BCD 中，F 为 BD 中点 CF BD5 分正方体ABCD -A BC D1 1 1 1 DD 面ABCD 1， CFÌ

14、; 面 ABCD DD CF1综合，且7 分DD Ç BD =D, DD , BD Ì 面BDD B 1 1 1 1 CF 面BDD B ，而 B E Ì 面BDD B1 1 1 1 1， CF B E 19 分（3）由（2）可知Q CF 平面BDD B1 1 CF 平面EFB1即 CF 为高 ，CF =BF = 210 分1Q EF = BD = 3 ， B F = BF 22+BB 21= ( 2)2+22= 6B E = B D 2 +D E 2 = 12 +(2 2) 2 =3 1 1 1 1EF 2 +B F 2 =B E 1 12即ÐEFB

15、=90o1SDB EF=1 3 2 EF ×B F =2 212 分VB -EFC1=VC -B EF11= ×S3DB EF11 3 2×CF = × × 2 =1 3 214 分19. （本小题满分 14 分）解：（1）2a =a - 1 21 2-1- ， a =4 3 3n -1nnn +1nn（2） n ³2 时， 2S =na -n n +11 2 n3 -n 2 - n3 31 22S =( n -1)a - (n -1)3 -( n -1)2 - ( n -1)3 31 22a =na -( n -1)a - (3n2

16、 -3n +1) -(2 n -1) -3 3( n +1)a =nan n +1-n ( n +1)a a a a n +1 - n =1 ， 2 - 1 =1n +1 n 2 1数列a n n是首项为a1 =11，公差为1的等差数列an =1 +( n -1) ´1 =n a =n n2（3）法一： n ³2时，1 7=1 <a 41，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 7 + +L+ =1 + + +L+ <1 + + - +L+ - <1 + + - = - <a a a 22 32 n 2 22 2 3 n -1

17、 n 4 2 n 4 n 4 1 2 n法二：1 7=1 <a 41n ³2时，1 1 1 1 1 1 1 1+ +L+ =1 + + +L+ <1 + + +L+ a a a 2 2 32 n 2 2 2 -1 32 -1 n1 2 n1 1 1 1 1 1 1 1<1 + (1- + - +L+ - + - )2 3 2 3 n -2 n n -1 n +11 1 1 1 7 1 1 1 7=1 + (1+ +L- - ) = - ( + ) <2 2 n n +1 4 2 n n +1 420（本小题满分 14 分）11 -1解： (1) 当 M的坐标为

18、 (0, -1)时，设过 M点的切线方程为 y =kx -1，代入x2=4 y，整理得x2-4 kx +4 =0，令D=(4 k )2-4 ´4 =0 ，解得 k =±1，代入方程得x =±2，故得 A(2,1), B ( -2,1)， 2 分102021102因为 M 到 AB的中点 (0,1)的距离为 2，从而过 M , A, B三点的圆的方程为x2+( y -1)2=4易知此圆与直线 l : y =-1相切.4 分（ 2 ） 证 法 一 ： 设 切 点 分 别 为A (x, y1 1),B (x, y2 2), 过 抛 物 线 上 点A (x, y1 1)的

19、 切 线 方 程 为( y -y ) =k ( x -x ) 1 1，代入x 2 =4 y，整理得x 2 -4kx +4 (kx-y )=01 1D=(4 k )2-4 ´4(kx-y1 1)=0，又因为 x 2 =4 y 1 1，所以k =x12 6 分从而过抛物线上点A(x , y1 1)的切线方程为y -y =1x1 ( x -x ) 2即x x 2 y = 1 x - 12 4又切线过点M (x, y0 0)，所以得y =0x x 21 x - 12 4即y =0x1 x -y0 18 分同理可得过点B (x, y2 2)的切线为y =x x 22 x - 22 4，又切线过

20、点M (x, y0 0)，所以得y =0x x 22 x - 22 4 10 分即y =0x2 x -y0 26 分即 点A (x, y1 1)，B (x, y2 2)均 满 足y =0x2x -y 即 x x =2 (y +y 0 0 0)， 故 直 线 AB 的 方 程 为x x =2 (y +y 0 0) 12 分又M (x, y0 0)为 直 线 l : y = -m( m >0)上 任意 一点 ，故x x =2 (y-m) 0对 任 意 x 成 立， 所以 0x =0, y =m，从而直线 AB恒过定点 (0, m).14 分证法二：由已知得y =x 24x，求导得 y = ，

21、切点分别为2A (x, y ),B(x, y1 1 2 2)，故过点A (x, y1 1)的切线斜率为k =x x1 ，从而切线方程为 ( y -y ) = 1 ( x -x ) 2 2即x x 2 y = 1 x - 12 4 7 分又切线过点M (x, y0 0)，所以得y =0x x 21 x - 12 4即y =0x1 x -y0 1分02同理可得过点B (x, y2 2)的切线为y =x x 22 x - 22 4，又切线过点M (x, y0 0)，所以得y =0x x 22 x - 22 4即y =0x2 x -y0 2 10 分即 点A (x, y1 1)，B (x, y2 2)均 满 足y =0x2x -y 即 x x =2 (y +y 0 0 0)， 故 直 线 AB 的 方 程 为x x =20(y +y0)12 分又M (x, y0 0)为 直 线 l : y = -m( m >0)上 任意 一点 ，故x x =2 (y-m) 0对 任 意x0成 立， 所以x =0, y =m ，从而直线 AB 恒过定点 (0, m)21. （本小题满分