(完整word)必修四平面向量常考知识点整理和复习、典型高考例题分析,推荐文档

1、向量复习 知识点1: _ _ * * 两个不为零的向量a , b平行， a b( 0) 如果a,b可以用直角坐标系的坐标表示，那么设 a (m, n),b (p,q)，那么 mq np 如果a,b可以用两个不共线的基向量 c,d表示，比 如说a me nd， b pc qd，那么基向量前面 的系数成比例，也就是 mq np 在这里强调其实后面两点是一样的，因为向量的坐标表示法引进前身是用直角坐标系的 两个垂直的单位向量i,j，比如a (m,n)，也即是a mi nj，为了方便，我们写成 坐标形式，而这点其实是 的一般形式，就是讲两个基向量推广到了不垂直的情况。 用这个知识点的例题比如说： 【例

2、一】设 a 与b是两个不共线的向量，且向量 a b与(b 2a)共线，则 的值为_ 【解析】要求的两个向量就是用 a 与b作为基底的，那么这两个向量共线可以得到前面的系 数成比例，也即是丄 ，也即 1 2 1 2 亠 uur r uur r uur 线与 CD 交于点 F，若 AC a , BD b，则 AF =( 【例二】 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 1 r 1 r 2 r 1 r A a b B. - a b 4 2 3 3 1 r 1 r 1 r 2r Ca b D .一 a b 2 4 3 3 【解析】 比如说运用这个知识点首先本题的难点在于 ) F点的位置，其

3、在 DC中的位置比 O, 例，所以首先要确定其位置在哪里，所以，我们设 DF DC 那么我们就可以用一个 A,E,F共线来确定 的值 所以我们可以用AE, AF用相同基向量表示这两个向量，然后用系数比例的关系求出这 个的值3 AE -AD -AC -AD 4 (AD 24 2 AF AD DF AD DC AD AB 3 1 则4 4 1 1 3 1 1 AF AD SAB (BO OC) -(AO OB) 2 4 2 - 1 - 2- 1 - BO -OC ABa b 3 3 3 3 3 3 AB) -AD -AD -AB 2 4 4 【例三】 如图，在 ABC 中 占 I ) 八、 M 为

4、 BC 的中点, AM (5, 2)、(- 3, 0),点 N 在 AC 上，且 AN 2NC , B、C 三点坐标分别为(2, - 2 )、 与 BN 的交点为 P,求: (1 )点 P 分向量AM所成的比 的值; (2)P 点坐标. 【解析】这题例题也是同样的道理， (1)主要求P点，假设AP AM , 因为B,P,N三点共线，所以 BP, BN用基向量 BA, BC表示，再用待定系数法求得 入的 值。 BP BM MP (1 )AM 2 1 尹)(AC AB) 1 BC 丄(1 2 )(AB BC AB) (1 )AB BN BC CN BC BC BC)綁 所以 (1 1 3 2 2(

5、1 4，所以分向量AM所成的比 5 1 的值为一 4 用比例的方法可以得到 P(6,-) 5 5 (总结方法：在图中有未知线段的比例不知道，就可以先设其线段比例为 利用一个三点共线的两向量平行来求解 的值。) (2) 知识点2: 重要定理（此定理在2013年高考中多省份考到这个知识点）：假设平面上有三点 P,Q,C,且这三点共线，另外有不在这条直线上的点 O点，可以得到 OC OP OQ, 1 证明这个定理： 不难得出：如果C在PQ线段之间是可以得到 0 1,0 如果C在PQ延长线上时， 1, 0, 1 如果C在QP延长线上时， 1, 0, 1 例题讲解 【例四】如下图所示，两射线 OA 与

6、OB 交于点 O,下列 5 个向量中， 3 1 3 1 1 1 2OA OB，一OA OB，OA OB，一OA OB, 4 3 4 5 2 3 3 1 - 一OA OB若以 O 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的 4 5 向量有（ ）个. 【解析】可得 在BA的延长线上，如何运用上 面的定理主要靠转化成定理的形式，比如说 3 一 1 3 一 1 一 1 - OA -OB （OA OB） OB，那么 4 3 4 4 12 3 一 1 -OA -OB的终点在AB线段上，如图1,那 4 4PC tPQ OC OP PC OP tPQ OP t(PO OQ) (1 t)OP tOQ 也即 1 t,

7、 t 1 A . 1 B. 2 C. 3 D. 1 证明：可以由P,Q,C三点共线可以假设 3 1 1 么（严4OB） 12OB就会在如图的阴影部分内同理可以 3 _ 1 _ 3 _ 将3OA丄OB转化为-OA 4 3 4 1 1 1 将一OA OB转化为一OA 2 3 2 将三OA OB转化为巴OA 4 5 4 1OB 3OA !OB 丄OB 5 4 4 20 1oB 1 - -OA OB 3 2 2 6 OB 3 - OA OB 5 4 4 20 【例五】（2013 安徽卷理 9）在平面直角坐标系中，0 是坐标原点,两定点 A,B 满 |0A| |OB| OA OB 2,则点集P|OP O

8、A 0B,| | | | 1, , R所表示的区域面积 是 (C) 4 2 【解析】|0A| |0B| OAOB 2，可以得到|OA | | OB | 2，且两个向量的夹角为 60, 如图可以将两个向量放到半径为 2 的圆内，如图 2。 且由| | | | 1，可得0 | | 1,0丨丨1， OP OA OB OA BO 那么 P 点形成的区域是黄色的区域 个长为 2 3，宽为 2 的矩形区域，即面积为 4 3，所以答案选 D。区域为图中灰色区域 当0 1,0 1， 将问题转化为 OP OA OB AO OB，那么 P点 形成的区域则是紫色的区域 当0 1,0 1 ，将问题转化为 OP OA

9、OB AO BO 那么 P 点形成的区域是红色的区域 所以，综上所述可得 P 点形成的区域为 那么当0 1,0 1时，可知 P 点形成的 知识点3: 向量的基本要素求解： 一般求解向量的基本要素， 主要分为求解向量之间的夹角和 向量的模长。 那么要求这几个要素必须要明白其可求解的途径： 求解模长 1 ）如果向量a的坐标（x, y）已知（前提是在直角坐标系下的坐标），那么就可 以直接选用勾股定理求解 a px2 y2 2 ）如果向量a的坐标不知道，但是a用两个已知的基向量表示出来，并且已 知基向量的模长，基向量之间的夹角，那么可以通过对模长平方来求解, 比如：已知|C m, d n,且c d r

10、，如果a pc qd，则 般在不知道坐标的情况下都可以进行平方求解。 m n 3 ）可以用公式求解cos m n 夹角求解 1）可以用公式求解cos 2 ）两向量夹角的范围 判断有着密切的联系： 知识点4： = m n a2 pc qd 2 2 (pc) 2pqc d (qd) 2 2 2 2 pm 2 pqr q n ，两向量的夹角与三角形中角的类型的 2 则该角为锐角 cos 1 当 a 0,b 0 时，a ，则该角为直角 cos 0,b 0 时, 若一 2 ，则该角为钝cos 当 a 0,b 1）向量的点积 a b cos ，如果向量有坐标, (X1,y1),b （X2,祠，则 a b

11、%x2 y1 y2。 2）向量a在向量b上的投影为a cos （投影可以是负的） 向量在基向量上分解, 平行四边形原则 则厶 ABP 的面积与 ABQ 的面积之比为 S ABP 4 故纭5 (PH H2B)2(H；)2 2 2 1 PB?PC PoB ?P）C，也即此时 P 点与R点重合，并且PoB丄AB，可得到Po为 HB 4 1 uuu 【例六】如图，设 P、Q ABC 内的两点，且，AP 2 ULU AB 5 2 uuu 1 luur uuu AC , AQ = AB 5 1 UULT + 1 AC , 4 【解析】 “ -uuu 解，已知AP 本题考查的是向量的平行四边形法则分 2 u

12、uu AB 1 UULT 丄AC , 5 uuir uuu 2 uuu 1 AQ = AB + 丄 3 4 1 unr LUU uuu 丄 AC，贝 y AP AM 5 uur AC， 如下 AN，由平 NP / AB, unr 所以 2 竺 S ABC AC 1，同理可得沁 5 S ABC 【例七】（2013 浙江卷理 7）设 ABC,F0是边 AB上一定点, 满足 F0B 1 -AB， 4 且对于边 AB上任一点 F，恒有 PB?PC FOB ?F0C 。 则（ A. ABC 9O0 B. BAC 9O0 C. AB AC BC 【解析】 作CH 本题考查向量的几何意义，也就是投影。过 AB，并且此处记 PB PH HB ,且若 P 点在 记 PH 为负，P 点在 AH 之间时，PH 为正，所以 C 点 HB PB PC PB PH，此处的PH与上述的PH相同，所以 PB PC PB PH (PH HB) PH PH 2 HB PH 当三角形确定以后，HB 就为常