微积分基本定理练习基础版(共23页)

1、微积分基本定理练习基础版一选择题（共8小题）1用maxa，b表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积是（）ABCD2=（）A4ln2B4ln2+1C4ln2+3D3ln2+33下列4个不等式：（1）dx； （2）sinxdxcosxdx；（3）exdxedx； （4）sinxdxxdx能够成立的个数是（）A1个B2个C3个D4个4欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为cm的圆面，中间有边长为cm的正方形孔，若随机向铜钱上

2、滴一滴油，则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（）ABCD5若函数f（x）=x2+2x+m的最小值为0，则=（）A2BCD6已知f（x）=，则的值为（）ABCD7已知定义在1，+）上的函数当x2n1，2n（nN*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A1B2C3D48已知函数f（x）的定义域为2，4，且f（4）=f（2）=1，f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A2B4C5D8二填空题（共12小题）9设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函

3、数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在0，上的面积为（nN*），（i）y=sin3x在0，上的面积为；（ii）y=sin（3x）+1在，上的面积为10若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x0，1，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）F（x）是0，1上的增函数；（2）F（x）=f（x）；（3）F（x）是0，1上的减函数；（4）x00，1使得F（1）=f（x0）11A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=和v2（t）=t（单位：千米/小时）甲、乙从起点到终点的过程

4、中，给出下列描述：出发后1小时，甲还没追上乙；出发后1小时，甲乙相距最远；甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地；甲追上乙后，先到达C地其中正确的是（请填上所有描述正确的序号）12给定可导函数y=f（x），如果存在x0a，b，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在区间a，b上的“平均值点”（1）函数f（x）=x33x在区间2，2上的平均值点为；（2）如果函数g（x）=+mx在区间1，1上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是13已知an=（2x+1）dx，数列的前n项和为Sn，bn=n33，nN*，则bnSn的最小值为14已知x（0，1，则f（x）的值域是15由曲线y=x2和直线x=0

5、，x=1，y=t2，t（0，1）所围成的图形的面积的最小值是16当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为 17已知在区间（a，b）上，f（x）0，f（x）0，对x轴上任意两点（x1，0），（x2，0），（ax1x2b）都有f（）若S1=f（x）dx，S2=（ba），S3=f（a）（ba），则S1，S2，S3的大小关系为18设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx2bx2kx在1，+）上单调递减，则实数k的取值范围是19已知函数f（x）=x3+2+在1，+）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个

6、封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为20在区间0，1上给定曲线y=x2，如图所示，0t1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为三解答题（共1小题）21已知函数f（x）=x3x2+ax+b（1）若a=1，b=0，求积分dx；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，且函数f（x）只有一个零点，求b的取值范围（3）若函数f（x）在区间（2，2）上不是单调函数，求a的取值范围微积分基本定理 不难参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1（2012海珠区模拟）用maxa，b表示a，b两个数中的最大数，设，那么由函数y=f（x）的图象、x轴、直线和直线x=2所围成的封闭图形的面积

7、是（）ABCD【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】先给出，再由题意用定积分分成两类求封闭图形的面积即可，由于两段函数的解析式不一样，故分成两段积分【解答】解：由题设知：，故选A【点评】本题考查定积分的运用，运用定积分求面积，求解本题的关键是确定出积分区间以及被积函数2（2010赫山区校级一模）=（）A4ln2B4ln2+1C4ln2+3D3ln2+3【考点】定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】直接求出函数2xlnx+x的原函数，根据积分的定义计算即可【解答】解：=（x2lnx）|12=4ln2ln1=4ln2；故答案为A【点评】本题考查定积分的计算，关键是找

8、出被积函数的原函数，属于基础题3（2016衡阳校级一模）下列4个不等式：（1）dx； （2）sinxdxcosxdx；（3）exdxedx； （4）sinxdxxdx能够成立的个数是（）A1个B2个C3个D4个【考点】微积分基本定理菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】利用函数的单调性、定积分的性质即可判断得出【解答】解：（1）由于x（0，1），dx；（2），sinxcosx，sinxdxcosxdx；（3），exdxedx； （4）令f（x）=xsinx，x0，2，则f（x）=1cosx0，sinxdxxdx综上可得：正确的命题有4个故选：D【点评】本题考查了函数的单调性、定积分的性质

9、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（2013春株洲校级月考）欧阳修卖油翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为cm的圆面，中间有边长为cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴整体（油滴是直径为0.2cm的球）正好落入孔中的概率是（）ABCD【考点】微积分基本定理；几何概型菁优网版权所有【专题】导数的综合应用；概率与统计【分析】利用微积分基本定理即可得出圆的直径、正方形的边长，再利用几何概型的计算公式即可得出【解答】解：直径为=4，中间有边长为=1P=故选A【点评】熟练掌握微积分基本定理

10、、几何概型的计算公式等是解题的关键5（2012秋安徽月考）若函数f（x）=x2+2x+m的最小值为0，则=（）A2BCD【考点】微积分基本定理；二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】经配方，由题意可得m=1，下面由求定积分可得答案【解答】解：因为函数f（x）=x2+2x+m=（x+1）2+m1的最小值为0，所以m=1，f（x）=（x+1）2，则故选C【点评】本题为定积分的求解，由题意得出m的值是解决问题的关键，属基础题6（2016春松原期末）已知f（x）=，则的值为（）ABCD【考点】微积分基本定理菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】利用分段函数的意义和微积分基本定理即可得

11、出【解答】解：=+=故选D【点评】熟练掌握分段函数的意义和微积分基本定理是解题的关键7（2011上饶二模）已知定义在1，+）上的函数当x2n1，2n（nN*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S=（）A1B2C3D4【考点】定积分在求面积中的应用；函数的图象与图象变化；函数的周期性菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】本选项题利用特殊值法解决取n=1，由题意可知当x1，2时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可【解答】解：令n=1得，2n1，2n=1，2，当x1，2时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，

12、如图所示，其面积为：S=×1×4=2，故选：B【点评】本题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8（2012沈阳校级模拟）已知函数f（x）的定义域为2，4，且f（4）=f（2）=1，f（x）为f（x）的导函数，函数y=f（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）1（a0，b0）所围成的面积是（）A2B4C5D8【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解【解答】解：由图可知2，0）上f

13、（x）0，函数f（x）在2，0）上单调递减，（0，4上f（x）0，函数f（x）在（0，4上单调递增，故在2，4上，f（x）的最大值为f（4）=f（2）=1，f（2a+b）1（a0，b0）表示的平面区域如图所示：故选B【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，以及线性规划问题的综合应用，属于高档题解决时要注意数形结合思想应用二填空题（共12小题）9（2005湖南）设函数f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在a，b上的面积，已知函数y=sinnx在0，上的面积为（nN*），（i）y=sin3x在0，上的面积为；（ii）y=sin（3x）+1在，上的面积为【考点】

14、定积分菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（i）函数y=sinnx与函数y=sin3x类比，可以得出函数y=sin3x在0，上的面积，得出函数y=sin3x在0，上的面积是函数y=sin3x在0，上的面积的两倍，从而得出函数y=sin3x在0，上的面积（ii）设t=x，t0，则y=sin3t+1，同理可求【解答】解：（i）函数y=sinnx在0，上的面积为（nN+），对于函数y=sin3x而言，n=3，函数y=sin3x在0，上的面积为：，则函数y=sin3x在0，上的面积为（ii）设t=x，t0，则y=sin3t+1，y=sin（3x）+1在，上的面积为故答案为：，【点评】在解题过程

15、中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神10（2011哈尔滨模拟）若y=f（x）的图象如图所示，定义F（x）=，x0，1，则下列对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）（1）F（x）是0，1上的增函数；（2）F（x）=f（x）；（3）F（x）是0，1上的减函数；（4）x00，1使得F（1）=f（x0）【考点】定积分；导数的概念菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；数形结合【分析】根据定积分的几何意义，连续曲线y=f（x）0在a，b上形成的曲边梯形的面积为S=abf（x

16、）dx，可得如图的阴影部分的面积为F（x），根据上边的图形得到F（x）为增函数；且f（x）为F（x）的原函数；根据下边的图形可得（4）正确【解答】解：由定积分的集合意义可知，F（x）表示图中阴影部分的面积，且F（x）=f（x），当x0逐渐增大时，阴影部分的面积也逐渐增大，所以F（x）为增函数，故（1）、（2）正确；由定积分的几何意义可知，必然）x00，1，使S1=S2，此时S矩形ABCO=S曲边三角形AOD即F（1）=01f（t）dt=f（x0），故（4）正确所以对F（x）的性质描述正确的有（1）（2）（4）故答案为：（1）（2）（4）【点评】此题要求学生掌握定积分的几何意义，理解导函数与原函

17、数间的关系，是一道基础题11（2014厦门二模）A、B两地相距1千米，B、C两地相距3千米，甲从A地出发，经过B前往C地，乙同时从B地出发，前往C地，甲、乙的速度关于时间的关系式分别为v1（t）=和v2（t）=t（单位：千米/小时）甲、乙从起点到终点的过程中，给出下列描述：出发后1小时，甲还没追上乙；出发后1小时，甲乙相距最远；甲追上乙后，又被乙追上，乙先到达C地；甲追上乙后，先到达C地其中正确的是（请填上所有描述正确的序号）【考点】定积分菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】依据速度写出路程函数，再由函数性质以及导数的应用对描述的命题判断真假即可【解答】解：经过x小时，甲、乙走过的路程

18、分别为：S1=4ln（x+1），S2=，（1）当x=1时，S1=4ln（1+1）=4ln2，1+S2=1+=，由于4ln2，则S11+S2；（2）设F（x）=S11S2=4ln（x+1）1（x0），则F（x）=x=（x0），若令F（x）0，则x2x+40，解得0x，则函数F（x）=S11S2在（0，）上递增，在（，e1）上递减，故出发后小时，甲乙相距最远；（3）令4ln（x+1）=4，解得x=e1，令=3，解得x=，故甲追上乙后，先到达C地故答案为：【点评】本题考查导数在实际问题中的应用，属于较难的题目12（2015宜昌校级一模）给定可导函数y=f（x），如果存在x0a，b，使得f（x0）=成

19、立，则称x0为函数f（x）在区间a，b上的“平均值点”（1）函数f（x）=x33x在区间2，2上的平均值点为，0；（2）如果函数g（x）=+mx在区间1，1上有两个“平均值点”，则实数m的取值范围是【考点】定积分菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】（1）首先由新定义求出f（x0），然后代入解析式求出x0；（2）求出g（x）=，然后解使方程g（x）=+mx有两个解的m范围【解答】解：（1）因为f（x0）=0，而f（x0）=0为x033x0=0解得x0=，0；（2）如果函数g（x）=+mx在区间1，1上有两个“平均值点”，即g（x）=的x值有两个，=，即+mx=由两个解，所以m的取值范围为

20、故答案为：，0；【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查定积分的运算和由方程解的个数求参数范围，属于中档题13（2012葫芦岛模拟）已知an=（2x+1）dx，数列的前n项和为Sn，bn=n33，nN*，则bnSn的最小值为【考点】微积分基本定理；数列的求和菁优网版权所有【专题】综合题【分析】由题意，先由微积分基本定理求出an再根据通项的结构求出数列的前n项和为Sn，然后代入求bnSn的最小值即可得到答案【解答】解：an=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n=数列的前n项和为Sn=+=1+=1=又bn=n33，nN*，则bnSn=×（n33）=n+1+35235，等号当且仅当

21、n+1+，即n=1时成立，由于n是正整数，且1（4，5），后面求n=4，n=5时bnSn的值当n=4时，bnSn=×（n33）=；当n=5时，bnSn=×（n33）=由于，故bnSn的最小值为故答案为【点评】本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败14（2012秋江宁区校级月考）已知x（0，1，则f（x）的值域是0，2）【考点】微积分基本定理；函数的值域菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】利用微积分基本定理先求出函数f（x）的解析式，再利用一次函数的单调性即可求出其值域【解答】解：=2

22、2x，即f（x）=2x+2x（0，1，f（1）f（x）f（0），即0f（x）2函数f（x）的值域是0，2）故答案为0，2）【点评】熟练微积分基本定理和一次函数的单调性是解题的关键15（2010安徽模拟）由曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=t2，t（0，1）所围成的图形的面积的最小值是【考点】定积分在求面积中的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】由图形将阴影部分的面积用定积分表示出来，再利用定积分的运算规则将面积表示为t的函数，进行判断得出面积的最小值【解答】解：由题意及图象，曲线y=x2和直线y=t2交点坐标是（t，t2）故阴影部分的面积是0t（t2x2）dx+t1（t2+x

23、2）dx=（t2xx3）|0t+（t2x+x3）|t1=令p=，则p=4t22t=2t（2t1），知p=在（0，1）先减后增，在t=时取到最小值，故面积的最小值是 =故答案为：【点评】本题考查求定积分，解题的关键是根据图象与函数解析式将面积用积分表示出来，利用积分的定义得到关于变量t的表达式，再研究其单调性求出最值，本题运算量较大涉及到的考点较多，综合性强，运算量大，极易因运算、变形出错16（2010通州区模拟）当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为 16【考点】定积分在求面积中的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据题意可知，顶点（1，1）到直线的距离为4，所以当取遍所有值时，直线所围

24、成的图形为圆心坐标（1，1），半径为4的圆，所以求出面积即可【解答】解：设点A（a，b），则点A得到直线的距离为d则d=，当a=1，b=1时，d=4根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径得：这些直线所围成的图形为以（1，1）为圆心，4为半径的圆，所以面积为16故答案为16【点评】考查学生会利用取特值法得到直线所围成的平面图形的形状，掌握直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式求值的能力17（2013沈河区校级模拟）已知在区间（a，b）上，f（x）0，f（x）0，对x轴上任意两点（x1，0），（x2，0），（ax1x2b）都有f（）若S1=f（x）dx，S2=（

25、ba），S3=f（a）（ba），则S1，S2，S3的大小关系为S1S2S3【考点】定积分的简单应用菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】根据题中条件：”对x轴上的任意两点（x1，0），（x2，0），（ax1x2b）都有f（）”知函数图象是上凸的，结合图形可得S1、S2、S3的大小关系【解答】解析：根据定积分的几何意义知：S1为f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴围成的曲边梯形的面积，而s2为梯形的面积，s3为矩形的面积，所以结合题意并画出图形可得S1S2S3故答案为：S1S2S3【点评】本题考查了定积分的简单应用，以及数形结合思想的综合应用，属于基础题解决时要注意数形结合思想应用1

26、8（2011安徽模拟）设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx2bx2kx在1，+）上单调递减，则实数k的取值范围是0，+）【考点】定积分在求面积中的应用；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】综合题；数形结合；转化思想；数形结合法【分析】由题意，先用定积分求出b，再由g（x）=2lnx2bx2kx在1，+）上单调递减，利用其导数在1，+）上恒小于0建立不等式求出实数k的取值范围【解答】解：由题意b=2cos2xdx=sin2x=sin=g（x）=2lnxx2kxg（x）=g（x）=2lnx2bx2kx在1，+）上单调递减，g（x）=0在1，+）上恒

27、成立即在1，+）上恒成立在1，+）上递减，k0由此知实数k的取值范围是0，+）故答案为：0，+）【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用定积分求出b，再利用导数与单调性的关系将函数递减转化为导数值恒负，由此不等式恒成立求出参数的范围，本题综合性很强，需要多次转化变形，运算量较大，解题时一定要注意变形正确，运算严谨，避免因变形，运算出错19（2015春淮安期末）已知函数f（x）=x3+2+在1，+）上单调递增，当实数m取得最小值时，若存在点Q，使得过点Q的直线与曲线y=f（x）围成两个封闭图形时，这两个封闭图形的面积总相等，则点Q的坐标为（0，2）【考点】定积分在求面积中的应用；

28、函数单调性的性质菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】先求出m的最小值为1，可得f（x）解析式，分析f（x）的对称中心即为所求【解答】解：由f（x）=x3+2+在1，+）上单调递增，f'（x）=x2+（m+1）xf（x）是1，+）上的增函数，f（x）0在1，+）上恒成立，即x2+（m+1）x0在1，+）上恒成立所以m+1，设g（x）=，显然在1，+）上单调递减，因此g（x）的最大值为g（1）=0，所以m+10，所以m1所以m 的最小值为1，故得f（x）=x3+2+，x（，0）（0，+）将函数f（x）的图象向下平移2个长度单位，所得图象相应的函数解析式为p（x）=x3+，x（，0）

29、（0，+）由于p（x）=p（x），所以p（x）为奇函数，故p（x）的图象关于坐标原点成中心对称由此即得函数f（x）的图象关于点Q（0，2）成中心对称这表明存在点Q（0，2），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等故答案为：（0，2）【点评】本题考查导数知识的运用，恒成立问题以及函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（2015春天津校级期中）在区间0，1上给定曲线y=x2，如图所示，0t1，S1，S2是t的函数，则函数g（t）=S1+S2的单调递增区间为（，1）【考点】定积分在求面积中的应用菁优网版权所有【专题】导数的综合应用【分析】首先利用定积分分别求出S1，S2，得到函数g（t），然后分析其单调