(完整word版)2015年高考数学全国卷2理试题及答案word,推荐文档

1、2015 年高考理科数学试卷全国卷 II 、选择题：本大题共 12 道小题，每小题 5 分 1. 已知集合A 2, 1,0,1,2B x (x 1)(x 2 0 ,则 AI B ( )A . A 1,0 B .0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,2 2 . 若a为实数且 (2 ai)(a 2i) 4i，则 a ( ) A 1 B .0 C . 1 D . 2 3 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。以 下结论不正确的是( ) A. 逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C. 20

2、06 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4. 已知等比数列 an满足 ai=3, a1 a3 a5 =21，则a3 a5 a7 ( ) A. 21 B . 42 C . 63 D . 84 1 log2(2 x),x 1, 5. 设函数 f (x) x1 , f( 2) f (log212)( ) 2 ,x 1, A. 3 B . 6 C . 9 D . 12 6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积 与剩余部分体积的比值为( )7. 过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交

3、 y 轴于 M N 两点，贝 U | MN | ( A. 2 6 B . 8 C . 4、6 D . 10 8右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术中的“更相减损术”.执 行该程序框图，若输入 a,b分别为 14,18，则输出的a ( ) A. 0 B . 2 C . 4 D . 14 11 .已知 A, B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120,贝 U E 的离心率为( ) A . 5 B . 2 C . .3 D . 2 12 .设函数f(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1) 0 ,当x 0时， xf (

4、x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x的取值范围是(已知A, B是球O的球面上两点, AOB 90 ,C为该球面上的动点，若三棱锥 ABC体积的最大值为 36,则球 36 B.64 C.144 O A. 10.如图，长方形ABCD的边AB O是AB的中点， 点P沿着边BC , 动，记 BOP x .将动P到A、 O的表面积为 D.256 2, BC 1, CD与DA运 B两点距离之 禾口表示x的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为( 16 .设Sn是数列an的前 n项和，且a1 1 , an 1 SnSn 1，则Sn _ 三、解答题 ABC中，D是BC上的点，AD平分 BA

5、C , ABD面积是 ADC面积的 2 倍. 18 (本题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B两地区分别随 机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可) 4

6、- r 6 7 8 A. ( (1,0)U(1,) C. ( , 1)U( 1,0) D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 r r 13 .设向量a , b不平行，向量 a b与a 2b平行，则实数 14 .若 x，y 满足约束条件 x y 1 0, x 2y 0,，则z x y的最大值为 x 2y 2 0, 15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为 32,则 a 17 .(本题满分 12 分) (I) sin B sin C (n)若 AD 1 , DC 求BD和AC的长. g (n)根据用户满意度评分，将用户

7、的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” 假设两地区用 户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 求 C 的概率. 19.(本题满分 12 分)如图，长方体 ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 , 点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4 过点E , F的平面 与此长方体 的面相交，交线围成一个正方形. (I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)

8、 ； (n)求直线 AF与平面 所成角的正弦值. 2 2 2 20. (本题满分 12 分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行 于坐标轴，I与C有两个交点 A , B，线段AB的中点为M (I)证明：直线 OM的斜率与I的斜率的乘积为定值； (n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边 3 形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由. 21. (本题满分 12 分)设函数f(x) emx x2 mx . (I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增； (n)若对于任意 为兀 1,1，都有f(xj f(X2) e 1，

9、求m的取值范围. 22 .(本小题满分 10 分)选修 4 1:几何证明选讲 如图，O为等腰三角形 ABC内一点， 圆O与 ABC的底边BC交于M、N两点与底 边上的高 AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点. A G (I)证明：EF/BC ; (n) 若AG等于eO的半径，且 AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积. 23 .(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 x tCOS , 在直角坐标系xoy中，曲线G： ( t为参数，t 0)，其中0 ，在 y tsin , 以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线 Q： 2 3cos

10、(I).求C2与G交点的直角坐标； (n) 若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求 AB 的最大值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设a, b,c,d均为正数，且 a b c d，证明： (I)若 ab cd，贝 U 、a . b 、c 、d ； (n)jajbJCJd是a b c d的充要条件. 1. A 【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选 A. 考点：集合的运算. 2. B 考点：等比数列通项公式和性质. 5. C 7. C 2 2 (x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y 2J6 2，所以MN 4后，故选C.参考答

11、案 【解【解析】由已知得kAB 1 _ 2 7 3 ,kCB T1 3，所以 kABkCB 1，所以 AB CB , 即 ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1, 2),半径为5 ,所以外接圆方程为 2 【解【解析】由已知得4a (a 4)i 4i，所以 4a 0,a2 4 4， 解得a 0 考点：复数的运算. 3. D 【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解【解析】设等比数列公比为 q，则 ai 2 ag 4 ag 21，又因为 a1 3，所以q4 2 解得q 2，所以a3 a5 a7

12、(ai a3 2 a5)q 42，故选 B. 【解【解析】 由 f( 2) 1 log 2 4 3 又 log 212 f (log 2 12) 2log212 1 2砚26 6，故 f( 2) f (log 9，故选 C. 考点：分段函数. 6. D 【解【解析】 由三视图得, 在正方体ABCD 截去四面体 A A1B1D1 ,如图所示，设正方体棱长为 a，则 VA AIB1D1 1 3 1 3 丄a3丄a3,故剩余几何体体积 2 6 为 a3 1a3 6 所以截去部分体积与剩余部分体 1 ,故选 5 考点：三视图. 积的比值为 D. 1 A1B1C1D1 中， 考点：圆的方程. 8. B

13、【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点 a , b的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a的值为 2,故选 B. 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB的直径端点时，三棱锥 1R3 6 此时 VO ABC VC AOB R2 2 O ABC的体积最 36，故R 6，则 球O的表面积为S 4 R2 144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P在BC PA PB tan2 x 4 tanx ；当点P在CD边上运动时，即 3

14、,x 4 时, 2 PA PB (宀 1)2 ( 2 1) 1，当 x 时, 2 PA PB 2 2 ；当点P在 AD边上运动时，即 3 4 时，PA PB tan2 x 4 tanx,从点P的运动过程 可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解【解析】 设双曲线方程为 2 x 2 a y2 b2 1(a ABM 1200 如图所示，|AB BM , MN x轴，垂足为N，在Rt BMN中，BN| a , MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得 a2 b2 a2 c2，即 c2 2a2，所以e 2，故选D. 考点：双曲线的标

15、准方程和简单几何性质. 12. A I 【解析】记函数g(x) ,贝y g(x) xf (x)2 f (x),因为当x 0时， x x xf(x) f (x) 0，故当x 0时，g(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数 f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且 g( 1) g(1) 0 当 0 x 1 时，g(x) 0，则 f(x) 0 ；当 x 1 时，g(x) 0，则 f(x) 0,综上所述，使得 f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质. 13 . a b与a 2b平行

16、，所以a b k(a 2b),则 1 考点：向量共线. 14. 【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变 形为y x z,当z取到最大时，直线 y x z的纵截距最大，故将直线尽可能地向 上平移到D(1)，则z x y的最大值为-. 2 2 考点：线性规划. 【解析】 试题分析： 由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中 x 的奇 k 所以 2k, 【解析】因为向量 15. 3 数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5 ,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3. 考点：二项式定理.1, Sn n 考点：等差数列和递推关

17、系. 理得 2 2 2 2 2 AB 2AC 3AD BD 2DC 6 由（I）知 AB 2AC，所以 AC 1 . 18.【解析】（I）两地区用户满意度评分的茎叶图如下 B地冈 4 fi 3 5 1 5 6 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 3 5 4 6 9 9 2 & 6 $ 1 8 7 1 ? 1 7 5 S 2 9 1 3 通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值; 16. 【解析】由已知得an 1 Sn 1 Sn Sn 1 Sn，两边同时除以 Si 1 1 Sn，得 Sn 1 1 Sn 故数列 是以

18、 1为首项， 1为公差的等差数列，则 Sn 1 (n 1) 所以 17.【解析】（I） S ABD AB AD sin BAD , S ADC 2 iAC AD sin CAD , 因为 S ABD 2S ADC , BAD CAD，所以AB 2AC .由正弦定理可得 sin B sin C AC AB 因为 S ABD : S ADC BD : DC，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定 AB2 AD2 BD2 2AD BD cos ADB ,AC2 AD2 DC2 2AD DC cos ADC . 1, A 地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分

19、散. （n）记CA1表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意” CA2表示事件： “A 地区用户满意度等级为非常满意”； CB1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”； CB2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意” 则 CA1 与 CB1 独立，CA2 与 CB2 独立，CB1 与 CB2 互斥，C CB1CA1 UCB2CA2 . P(C) P(CB1CA1 UCB2CA2) P(CB1CA1) P(CB2CA2) P(CBI)P(CAI) P(CB2)P(CA2). 由所给数据得 CA1 , CA2 , CB1 , CB2发生的概率分别16 20 4 10 2 0

20、2 0 呀故 P(CA1)=20， ，P(CB2)=20， A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu ，FE (10,0,0)， uuur (0, 6,8).设 r n n （x, y,z）是平面EHGF的法向量，贝U r n uuu FE ULUT 0,即 0, 10 x 6y 0, 8z 所以可取 0, ，P(CB1)= 10 20 P(CA2)= 20 r UUUT n (0, 4,3) 又 AF ( r UUUT 10,4,8)，故 cos n, AF n| AF 4 ” 5 - .所以直线AF与 15 平面所成角的正弦值为

21、 45 15 20.【解析】（I）设直线l :y kx b (k 0,b 0) ，A（为，yj， B(x2, )将 y kx b 2 2 2 2 2 2 2 9x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故 9b yM kxM b 斗于是直线OM的斜率k M k2 9 线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值. (n)四边形 OAPB能为平行四边形. 因为直线l过点(m,m)，所以1不过原点且与 3 C有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 9 由(I)得 OM的方程为y - x .设点 P的横坐标为 XP .由 y 9 x, k k 小 2 2 2 9x y m , 2 mk 解得 k

22、i 4 -7 , k2 4 .7 因为 ki 0,ki 3, i 1, 2，所以当 I 3(k 9) 的斜率为4 17或4 J时，四边形OAPB为平行四边形. 21 【解析】(I) f(x) m(emx 1) 2x 若m 0，则当x ( ,0)时， mx e 1 0 , f(x) 0 ； 当 x (0, mx / )时，e 0 , f(x) 0 若m 0，则当x ( ,0)时， mx e 1 0 , f(x) 0 ； 当 x (0, mx A )时，e 1 0 , f(x) 0 所以， f (x)在(,( 0)单调递减, 在 (0, )单调递增. (n)由(I)知，对任意的 m , f (x)

23、在1,0单调递减，在0,1单调递增，故f (x)在 kb k2 yM XM 9，即koM k 9 所以直 k 2 Xp k2m2 9k2 81 即 m 将点(m,m)的坐标代入直线I的方程得b 3、.k2 9 3 m(3 k) 3 因此xM 3) 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段 3(k2 9) AB与线段OP互相平分, 即xP 2xM 于是 km 3 k2 9 x 0处取得最小值所以对于任意 治兀 1,1, f(xj f(X2) e 1的充要条件是: f(1) f( ) e 1,即 m e m e 1 ，设 函数 f( 1 I) f(0) e 1, m e m e 1, g(t) et

24、 1 当 t 0 时， g(t) 0 ； 当t :0时，g(t) 0 . f 在(0, ）单调递增.又g （1 1) 0, g( 1) e1 2 e 0 ,故当 m 1,1时，g(m) 0 , g( m) 0, 即式成立.当 m g(m) 0 ,即 em m e 1 ；当 m 1时 寸，g( m) 0 ， 即e t 1,1时，g(t) 0 .当 1时, 取值范围是1,1. g（t）在（，0）单调递减, m m g(t) et t e 1，则 由g（t）的单调性, e 1 .综上，m的 ABC是等腰三角形, AC相切于 22.【解析】（I）由于 因为e O分别与AB、 EF/BC . （n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上连接OE , OM AD E、F两点， BC，所以AD是 所