2019年北京市高考数学试卷(理科)

1、2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 共8小题，每小题5分, 一项。1 .已知复数2 i，则Z_z =（A. 3B.52 .执行如图所示的程序框图，输出的共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的C. 3s值为（）A. 13 .已知直线B . 2X =13t ,l的参数方程为(t为参数)，y =2 +4tB .-5C.C.4 .已知椭圆则点（1,0）到直线l的距离是（）2 2x2 2 =1(a b 0)的离心率为1，则()a b22 2 2 2a =2bB . 3a =4bC . a = 2b2 2B . 3a =4b3a = 4b5若两颗星的星等与亮度满足6 .在天文学

2、中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.5 E1m2 -m1lg -，其中星等为 mk的星的亮度为Ek =1,2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的2E2星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）10.1 A . 1010 1C . Ig10.1D . 10 7 .设点A , B , C不共线，则“ AB与AC的夹角为锐角”是“ |AB'AC|BC|”的（）A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件B. 10.1x , y满足| x|, 1 -y，且yT ,则3x y的最大值为（7C. 5C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件8 .数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线

3、，曲线C:x2 y2 =1 |x|y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2 ; 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3 .其中，所有正确结论的序号是 （）C.D .二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。29 .函数f(x)=sin 2x的最小正周期是 .10 .设等差数列 佝的前n项和为Sn，若比二：，S =-10，则a5二，Sn的最小值为11 .某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为I，那么该几何体的体积为以其中的两个论断作为条件，余下的一个

4、论断作为结论，写出一个正确的命题：.13 .设函数f(x)=ex ae'(a为常数).若f(x)为奇函数，则a= ;若f(x)是R上的增函数, 则a的取值范围是14 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依 次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% . 当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，贝Ux的最大值

5、为.三、解答题 共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。115 . (13 分)在 ABC 中，a =3 , b -c =2 , cosB =2(I)求b , c的值；(n)求 sin(B -C)的值.16 . ( 14 分)如图，在四棱锥 P -ABCD 中，PA平面 ABCD , AD CD , AD / /BC ,PA =AD =CD =2 , BC =3 . E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且一PC 3(n)求二面角 F -AE -P的余弦值;AG是否在平面 AEF内，说明理由.(I)求证：CD _平面 PAD ；17 . ( 13分)改革开放以来，人们

6、的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月 A , B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中 A , B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元) 支付方式(0 , 1000(1000, 2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(I)从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A , B两种支付方式都使用的概率；(n)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，求X的分布列和

7、数学期望；A的学生中，随机抽查 3(川)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.218 . (14分)已知抛物线 C:x =-2py经过点(2,-1).(I)求抛物线 C的方程及其准线方程；(n)设0为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0的直线I交抛物线C于两点M , N，直线y - -1 分别交直线OM , ON于点A和点B .求证：以 AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点.119 . (13 分)已知函数 f(x)x3 - x2 x .4(I

8、)求曲线y二f (x)的斜率为I的切线方程；(n)当 x，-2 , 4时，求证：x-6剟f (x) x ；(川)设 F(x)=|f (x) -(xa)|( R)，记 F(x)在区间-2 ,4上的最大值为M(a)当 M(a)最小时，求a的值.20 . ( 13分)已知数列an,从中选取第h项、第i2项、第im项莒：i2二：-)，若<% G- <aim，则称新数列耳1 , ai2 ,，为的长度为m的递增子列.规定：数列的任意一项都是an的长度为1的递增子列.(I)写出数列1 , 8, 3, 7, 5, 6 , 9的一个长度为4的递增子列;（n）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最

9、小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a% .若p : q，求证：am0 : a% ;（川）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若 an的长度为s的递增子列末 项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2s -个（s =1，2，），求数列a.的 通项公式.2019年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。1 已知复数2 i，则Z_z =（）A. 3B. 5C. 3D. 5【思路分析】直接由 z_z -| z |2求解.【解析】：'z =2 i ,

10、 zLz =|z|2=C2212）2 =5 .故选:D .【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题.2 .执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解析】：模拟程序的运行，可得k =1 , s =1s =2不满足条件，执行循环体，k = 2 , s =2不满足条件k-3，执行循环体，k=3 , s=2此时，满足条件k-3，退出循环，输出s的值为2.故选：B .以便得出正）【归纳与总结】 本题考查了程

11、序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程, 确的结论，是基础题.x =1 3t ,3 .已知直线I的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线I的距离是（y =2 十4t【思路分析】消参数t化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.x =1 3t【解析】：由（t为参数），消去t，可得4x-3y '2=0.y =2 十4t则点（1,0）到直线1的距离是=42（；）2蔦故选：D .【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题.y212 =1（a b 0）的离心率为，则（）b2C . a 二 2bb2 c2得答案.a2 -b212 =匚，a

12、 42xa2 2 2 2A. a =2bB. 3a=4b【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件a2c 1c2 1【解析】：由题意，-，得与=丄，则a 2a4.4a -4b =a，即 3a =4b .故选：B .【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题.5 .若x , y满足| x|, 1 y，且y1，则3x y的最大值为（）C . 54 .已知椭圆D. 3a = 4bA. 7【思路分析】由约束条件作出可行域，令 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.4|x |, 1 -y【解析】：由作出可行域如图,y1z=3x y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优y - -1联立“

13、 C，解得A(2,-1),K +y 1 =0令 z =3x y，化为 y - -3x z ,z有最大值为3 2 T = 5 .由图可知，当直线 y =-3x - z过点A时, 故选：C .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.6 .在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足5 E1m2 -m1lg 1，其中星等为 mk的星的亮度为E/k =1,2）.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的2 E2星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）10 1_10 1A . 10 .B . 10.1C . lg10.1D . 10 .

14、亠5E1【思路分析】把已知熟记代入m2 -m1lg 1 ,化简后利用对数的运算性质求解.2 E2【解析】：设太阳的星等是 m! = -26.7，天狼星的星等是 m2二-1.45 ,5E1由题意可得：T.45-（_26.7）lg -,2 E2,Ei 50.5Ei10.1.lg -10.1，则一=10E25E2故选：A 【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.7 .设点A，B，C不共线，则“ AB与AC的夹角为锐角”是“ |AB，AC|的（）A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件与AC的夹角为锐角”，由此能求出结果.【解析】：点A , B

15、, C不共线，“ AB与AC的夹角为锐角”“ |AB AC | | BC |” 二.设点A , B , C不共线，故选：C .【思路分析】“ AB与AC的夹角为锐角” ="|AB AC|BC| AB AC | | BC | = “ AB一 “ |AB AC | |BC I”，“ AB与AC的夹角为锐角”，则“ AB与AC的夹角为锐角”是“|"AB ,1|”的充分必要条件.【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.8 .数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C:x2 y2 =1 |x|y就是其中之一（

16、如图）.给出下列三个结论：2 ；3. 曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于其中，所有正确结论的序号是 （）C.D .【思路分析】将x换成-x方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论 y轴右边的图形可得.【解析】：将x换成-x方程不变，所以图形关于 y轴对称,2当x=0时，代入得y =1, y='1，即曲线经过(0,1) , (0, -1);2 2 2 2当x 0时，方程变为 y -xy x -1 =0，所以 = x - 4(x -1)0，解得x (0 ,9所以x只能取整数1，当x =1时，y

17、 -y=0,解得y =0或y =1，即曲线经过（1,0） , （1,1）,根据对称性可得曲线还经过（-1,0） , （-1,1）,故曲线一共经过 6个整点，故正确.x2 y2当x 0时，由x y 1 xy得x，y-1二xy,，（当x = y时取等），2x2 y2, 2 , , x2 y2, .2 ,即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过2，根据对称性可得：曲线c上任意一点到原点的距离都不超过2 ；故正确.在x轴上图形面积大于矩形面积=1 2=2，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积1二丄2 1 =1，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2 3，故错误.2的边长为I，那么该几何体的体积为

18、40【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。2-TT9 .函数f(x)=sin 2x的最小正周期是2 1 1【思路分析】用二倍角公式可得f (x)=-丄cos(4x)-，然后用周期公式求出周期即可.2 22【解析】：.f (x) =sin (2 x),.f (x cos(4x) 1 , f (x)的周期 T，故答案为：一.2 2 2 2【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属基础题.10 .设等差数列an的前n项和为Sn，若a? = -3 , = -10 ,则a = 0 , 的最小值为 【思路分析】利用

19、等差数列 an的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a-4 , d =1 ,由此能求出as的Sn的最小值.【解析】：设等差数列an的前n项和为问 d = -3 二彳 5汉4，解得a =-4, d5a1d = 102小丄n(n 一1),丄 n(n 一1) 1 , 一、Sn =natd = 4n(n )2 2 2 2 8 n =4或n = 5时，S取最小值为S4二S5 = -10 .故答案为：0 , T0 .【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题.11 .某几何体是由一个正方体去掉一个

20、四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形Sn , a2 = 3 , S5 = -10 ,=1 , . a5 = q 4d = -4 4 1=0 ,9 281王怪侧左匿俯视【思路分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方体与一个棱柱的体积作和求解.该几何体是把棱长为 4的正方体去掉一个四棱柱，1则该几何体的体积 V =4 2 2 (2 4) 2 40 .故答案为：40 .【归纳与总结】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.12 .已知I , m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：I m :mil】:I ：.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作

21、为结论，写出一个正确的命题： _若I - - ,1 _m二则mil】_.【思路分析】由I , m是平面外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若I _，I - m ,则 mil：.【解析】：由I , m是平面：外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若I，Im，贝U mi i-.故答案为：若I，Im，则m/>.【归纳与总结】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.13 .设函数f(x)=ex ae"(a为常数).若f(x)为奇函数，则-1_;若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是.Xxxx

22、【思路分析】 对于第一空：由奇函数的定义可得 f(x)=-f(x),即ea = -(e ae ),变形可得分析可得a的值，即可得答案；对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f(x)的导数 f (x)=ex -ae0在 R上恒成立，变形可得：a, e2x恒成立，据此分析可得答案.【解析】：根据题意，函数f(x)=ex ae-,若 f (x)为奇函数，则 f(-x)二-f(x)，即 e_ ae -(ex ae_)，变形可得 a = _1 ,函数 f (x) =ex ae_，导数 f (x) =ex ae'若f (x)是R上的增函数，贝U f (x)的导数f (x)

23、=ex -ae丛0在R上恒成立，变形可得：a, e2x恒成立，分析可得 a 0，即a的取值范围为(亠,0; 故答案为：-1 , (-： ：，0 【归纳与总结】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是理解函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题.14 .李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依 次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一 次购买水果的总价达到 120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80% . 当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130 元；

24、 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，贝Ux的最大值为.【思路分析】由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；在促销活动中，设订单总金额为 m元，可得(m-x) 80%-m 70%，解不等式，结合恒成立思想， 可得x的最大值.1 盒，可得 60 80 =140 （元）,【解析】：当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 即有顾客需要支付 140 -10 =130 (元)；在促销活动中，设订单总金额为m元,可得(m -x) 80% m 70% , 即有x, 由题意可得m-120,120可得x,15 ,8则x的最大值为15元.故答案为：130 , 15【归

25、纳与总结】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。115 . (13 分)在 ABC 中，a =3 , b -c =2 , cosB 二2(I)求b , c的值；(n)求 sin(B -C)的值.2 2 2【思路分析】(I)利用余弦定理可得b二a c -2accosB，代入已知条件即可得到关于 b的方程, 解方程即可；(n) sin(B -C) =sin BcosC -cosBsinC，根据正弦定理可求出 sinC，然后求出cosC，代入即可 得解.【解析】：(I) ： a =3 , b -c =2 ,

26、 cosB 二-一.2由余弦定理，得 宀2 4AE =(1 , 0 , 1) , AF =(,), c2-2accos9 (b-2)2-2 3 3 (b-平面AEP的法向量n=(1, 0 , 0),(冷)，=5 ;(n)在厶ABC中,FSB 一2，sin#5 32_7-5.3，由正弦定理有:i_3AEF内，说明理由.CD _ 平面 PAD .b一 csinBsin C si nC si nBb11 7b c , B C , . C 为锐角，.cosC14.sin(B -C) =sin BcosC -cosBsinC- 11 -(一1) 设平面 AEF的法向量 常=(x , y , z), 3

27、=土 .2142147【归纳与总结】本题考查了正弦定理余弦定理和两角差的正弦公式，属基础题.16 . ( 14 分)如图，在四棱锥 P -ABCD 中，PA_ 平面 ABCD , AD _ CD , AD / /BC ,PF PA=AD=CD=2 , BC =3 . E为PD的中点，点 F在PC上，且PC(I)求证：CD _平面PAD ;(n)求二面角 F -AE -P的余弦值;(n)以A为原点，在平面 ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F -AE-P的余弦值.(川)求出 AG =(4 , 0, 2)，平面 AEF 的法向量

28、忌=(1 , 1 , -1) , mAG-2 二2 = 0，从而3 3333直线AG不在平面 AEF内.【解答】证明：(I)；PA平面ABCD , - PACD ,:'AD _CD , PAA AD = A,.CD 平面 PAD .解：(n)以A为原点，在平面 ABCD内过A作CD的平行线为x轴,AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，224A(0 , 0, 0) , E(1 , 0, 1) , F (- , - , -) , P(0, 0 , 2), 333I1丄m|_AE =x - z =0 则 moF 224 ，取 x=1，得 H =(1 , 1 ,-X y z =033设二

29、面角F-AE -P的平面角为"则沁獄_AE _P的余弦值为(川)直线 AG不在平面AEF内，理由如下：点 G 在 PB 上，且 PG =- . . G(4 , 0 ,-), PB 33342AG =( , 0 ,),33平面AEF的法向量 用=(1, 1, -1),m辰一2 J。，333故直线AG不在平面 AEF内.【归纳与总结】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查直线是否在已知平面 内的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能 力，属于中档题.17 . （ 13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支

30、付已成为主要支付 方式之一.为了解某校学生上个月 A , B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中 A , B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元） 支付方式(0 , 1000(1000, 2000大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月 A , B两种支付方式都使用的概率；（H）从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（川）已知上个月样本学生的支

31、付方式在本月没有变化现从样本仅使用A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【思路分析】(I)从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A , B两种支付方式都不 使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，从而A , B两种支付方式都使用的人 数有40人，由此能求出从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A , B两种支付方式都使 用的概率.(n)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则

32、X的可能取值为0, 1 , 2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E(X).(川)从样本仅使用 A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于 2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p = C!,C304060不能认为认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.【解析】：(I)由题意得：从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中，A , B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，.A , B两种支付方式都使用的人数有：100 -5 -30 -25 =40,4

33、0-从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A , B两种支付方式都使用的概率p = 0.4 .100(n)从样本仅使用 A和仅使用B的学生中各随机抽取 1人，以X表示这2人中上个月支付金额 大于1000元的人数，则X的可能取值为0,1 , 2 ,样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在 (0 , 1000的有18人，超过1000元的有12人， 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在 (0 , 1000的有10人，超过1000元的有15人，18 10 180 P(X =0)：30257502513251815 ±1210390P(X =1)=30 2530 25750P(

34、X=2)止兰二型,302575025.X的分布列为:X012P6136252525数学期望 E(X) =0 1 132 =1 .252525(川)不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用 A的学生有30人，其中27人月支付金额不大于 2000元，有3人月支付金额大于2000 元，c31随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p 3,C304060虽然概率较小，但发生的可能性为4060故不能认为认为样本仅使用 A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.【归纳与总结】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，

35、考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题.218 . (14分)已知抛物线 C:x - -2py经过点(2, 1).(I)求抛物线 C的方程及其准线方程；(H)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0的直线I交抛物线C于两点M , N，直线y = -1 分别交直线OM , ON于点A和点B .求证：以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点.【思路分析】(I)代入点(2,-1)，解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；(H)抛物线x2二/y的焦点为F(0, _1)，设直线方程为y二kx-1，联立抛物线方程，运用韦达定 理，以及直线的斜率和方程，求得A

36、, B的坐标，可得 AB为直径的圆方程，可令 x=0，解方程，即可得到所求定点.【解析】：(I)抛物线C : x2 - -2py经过点(2, -1).可得4=2p，即p=2 ,2可得抛物线C的方程为x= 4y，准线方程为y =1 ;2(H)证明：抛物线 x - -4y的焦点为F(0, -1),设直线方程为y =kx T，联立抛物线方程，可得 x亠4kx -4 = 0,设 M(x , y), Ng , y2),可得洛 x2 = -4k,MX?-4 ,直线OM的方程为y1 y x，即y =X1 x ,X14直线ON的方程为y2 yx，即y =X2 x,x244可得 A(- ,-1),4B(，-1)

37、,xX2可得AB的中点的横坐标为1 12(-4k-)=22k,X1x2-4即有AB为直径的圆心为(2k, -1),半径为1=2 .1 k2 ,22 x,%42 22可得圆的方程为(x-2k)(y 1) 4(1 k ),2 2化为 x 4kx (y 1) =4,由x =0，可得y =1或-3 .则以AB为直径的圆经过 y轴上的两个定点(0,1) , (0, -3).【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程 联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题.1 19 . (13 分)已知函数 f (x)x3 x2 x .4(I)求曲线y = f(

38、x)的斜率为I的切线方程；(H)当 x -2 , 4时，求证：x - 6剟f (x) x ;(川)设 F(x)=| f (x) -(xa)|(R)，记 F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当 M(a)最小时，求a的值.【思路分析】(I)求导数f(X)，由f(X)=1求得切点，即可得点斜式方程；(H)把所证不等式转化为 -6剟f (x) -x 0 ,再令g(x)二f(x) -x ,利用导数研究g(x)在-2 , 4的 单调性和极值点即可得证；h(t)斗t 一 a |，结合绝对值函数的(川)先把F(x)化为|g(x) -a|，再利用(n)的结论，引进函数 对称性，单调性，通过对称轴 t =

39、a与-3的关系分析即可.3 2【解析】：(I) f (x)x2 -2x 1 ,48由 f (x) =1 得 x(x _)=0,3/曰c8得 xi =0,X2 ：827，83，3又 f(0) =0 ,f(3)3.y=x禾口27 L64即 y =x 和 y=x-27(n)证明：欲证 x - 6剟f (x) x ,只需证-6剟f (x) - x 0 ,132令 g(x)二 f(x)_xx -x , x -2 , 4,4贝y g (x)二？X22xx(x,4 43可知g (x)在-2 , 0为正，在(0,-)为负，在-,4为正，3388g(x)在-2 , 0递增，在0 , -递减，在-,4递增，33又 g(-2) = -6 , g(0) =0 , g(8) - -64 七，g (4) = 0 ,327.-6剟g(x) 0 ,.x -6剟f (x) x ;(川)由(n)可得，F(x) H f(x) -(x a)|斗 f (x) -x -a|斗g(x) -a|在-2 , 4上，七剟g(x) 0 ,令t 二g(x) , h(t) =|t -a| ,则问题转化为当r -6 , 0时，h(t)的最大值M (a)的问题了,当时，M (a) =h(-6) =|