《高中试卷》2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）

1、2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线的焦距是（）a2b4c4d82（5分）命题“若x2+y20，则x0且y0”的否命题是（）a若x2+y20，则x0且y0b若x2+y20，则x0或y0c若x2+y20，则x0且y0d若x2+y20，则x0或y03（5分）已知直线l、m，平面、，l，m，则是lm的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件4（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对a、b两班的学生进行了阶段测试，并将所

2、得成绩统计如图所示；记本次测试中，a、b两班学生的平均成绩分别为，a、b两班学生成绩的方差分别为sa2，sb2，则观察茎叶图可知（）aab，sa2sb2bab，sa2sb2cab，sa2sb2dab，sa2sb25（5分）已知向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（）a，b，c，d，6（5分）某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a：b：c2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程

3、度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）a6人b12人c18人d24人7（5分）已知点p（1，2，3），q（1，0，1），则p点关于x轴对称的点r与点q的距离为（）a2b2c2d28（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（）abcd9（5分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）aa1000和nn+1ba1000和nn+2ca1000和nn+1da1000和nn+210（5分）已知椭圆的左右焦点分别为f1，f2，过f2且垂直于长轴的直线交椭圆于

4、a，b两点，则abf1内切圆的半径为（）ab1cd11（5分）正四棱锥sabcd中，o为顶点s在底面abcd内的正投影，p为侧棱sd的中点，且sood，则异面直线pc与bd的距离为（）abcd12（5分）f1、f2为双曲线的左、右焦点，过f1作x轴的垂线与双曲线交于m，n两点，则c的离心率为（）abcd2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：x0，sinxx，那么命题p是 14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出s的值是 15（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差小于2秒，手机就会受到干扰，

5、则手机受到干扰的概率为 16（5分）点p（x，y）满足等式2，过点（2，0）的直线l交动点p的轨迹曲线e于a，b两点，若曲线e上存在点c，使四边形aobc（o为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为 三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）$beginarrayl17（10分）已知抛物线c：y22px经过点m（1，2）（1）求c的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线c的焦点，且与抛物线相交于a、b两点，求线段ab的长18（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至

6、6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（0c）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验若选取的是用1月与6月的两组数据检验（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程ybx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？（参考公式：线性回归方程x其

7、中）19（12分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abcd，abad，adcd2，aa1ab4，e为棱aa1的中点（1）求证：b1c1ce；（2）若点m为线段c1e的中点，求直线a1m与平面b1ce所成角的正弦值20（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率

8、分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率21（12分）如图在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，bad60°，平面pad平面abcd，papd4，ad2，q为ad的中点，m是棱pc上的一点，且pmpc（1）求证：pa平面bmq；（2）求二面角mbqp的余弦值22（12分）已知f1、f2分别为椭圆c：1（ab0）的上、下焦点，a为左顶点，过点f1、a的直线与椭圆的另一个交点为b，baf290°，|f2b|（1）求椭圆c的方程；（2）已知直线l：ykx+m

9、与椭圆交于e、f两点，且线段ef的中点在直线y1上，求|ef|的最大值2018-2019学年广东省广州市荔湾区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）双曲线的焦距是（）a2b4c4d8【解答】解：双曲线可得，a2，b2，c2，所以双曲线的焦距是：4故选：c2（5分）命题“若x2+y20，则x0且y0”的否命题是（）a若x2+y20，则x0且y0b若x2+y20，则x0或y0c若x2+y20，则x0且y0d若x2+y20，则x0或y0【解答】解：命题“x2+y20，则xy0”的

10、否定命题为：若x2+y20，则x0或y0故选：d3（5分）已知直线l、m，平面、，l，m，则是lm的（）a充要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，分两步来判断：当时，l，且，l，又m，lm，则是lm的充分条件，若lm，不一定，当l时，又由l，则lm，但此时不成立，即是lm的不必要条件，则是lm的充分不必要条件，故选：b4（5分）为了测试小班教学的实践效果，王老师对a、b两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，a、b两班学生的平均成绩分别为，a、b两班学生成绩的方差分别为sa2，sb2，则观察茎叶图可知（）aab，sa2sb2

11、bab，sa2sb2cab，sa2sb2dab，sa2sb2【解答】解：a班学生的分数多集中在70，80之间，b班学生的分数集中在50，70之间，故ab；相对两个班级的成绩分布来说，a班学生的分数更加集中，b班学生的分数更加离散，故sa2sb2，故选：b5（5分）已知向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2）则它们的位置关系是（）a，b，c，d，【解答】解：向量（1，2，2），（3，6，6），（2，1，2），由题知：3，0，故选：d6（5分）某高中在校学生2000人为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表：

12、高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a：b：c2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，现用分层抽样方式从中抽取一个100个人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）a6人b12人c18人d24人【解答】解：根据题意可知样本中参与跑步的人数为10040人，所以高二级参与跑步的学生中应抽取的人数为4012人故选：b7（5分）已知点p（1，2，3），q（1，0，1），则p点关于x轴对称的点r与点q的距离为（）a2b2c2d2【解答】解：点p（1，2，3），q（1，0，1），由题意得点p关于x轴对称的点坐标为r（1，2，3），故利用空间两点的距

13、离公式的点r与点q两点距离为：|rq|故选：d8（5分）从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为（）abcd【解答】解：从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，基本事件总数n20，所选3人中恰有1名女生包含的基本事件个数m12，则所选3人中恰有1名女生的概率为p故选：c9（5分）如图程序框图是为了求出满足3n2n1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）aa1000和nn+1ba1000和nn+2ca1000和nn+1da1000和nn+2【解答】解：因为要求a1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“a1000”，又要求

14、n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以d选项满足要求，故选：d10（5分）已知椭圆的左右焦点分别为f1，f2，过f2且垂直于长轴的直线交椭圆于a，b两点，则abf1内切圆的半径为（）ab1cd【解答】解：根据题意，设abf1内切圆的半径为r；椭圆的方程为，其中a2，b，c1，则|f1f2|2c2，ab与x轴垂直，则有|af1|2|af2|24，|af1|+|af2|2a4，解可得：|af1|，|af2|，abf1的周长l|af1|+|bf1|+|ab|4+2c8，其面积s|ab|×|f1f2|3，由内切圆的性质可知，有r×ls，解可得r故选：d

15、11（5分）正四棱锥sabcd中，o为顶点s在底面abcd内的正投影，p为侧棱sd的中点，且sood，则异面直线pc与bd的距离为（）abcd【解答】解：sabcd为正四棱锥且o是s在底面abcd内的正投影，so面abcd，连接ac、bd，则acbd且交于o，oc、bd面abcd，sooc、sood，以oc、od、os为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设异面直线bd与pc的公垂线向量为，则有即，得不妨令x1，则，又，异面直线bd与pc的距离，异面直线bd与pc的距离为故选：b12（5分）f1、f2为双曲线的左、右焦点，过f1作x轴的垂线与双曲线交于m，n两点，则c的离心率为（）abc

16、d2【解答】解：由题意可知：|mf2|2a，cos，可得：，可得：8e，解得e或e（舍去）故选：a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题p：x0，sinxx，那么命题p是x0，sinxx【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题p：x0，sinxx，其否定为：x0，sinxx故答案为：x0，sinxx14（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出s的值是【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：s1，k1，满足条件k5，执行循环体，s，k2满足条件k5，执行循环体，s2，k3满足条件k5，执行循环体，s1，k4满足条件k5，执行循环体，s，k5此时，不

17、满足条件k5，退出循环输出s的值为故答案为：15（5分）假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为【解答】解：分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y，则所有事件集可表示为0x5，0y5；由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|xy|2；三个不等式联立，则该事件即为xy2和yx2在的正方形中围起来的图形，即图中阴影区域；而所有事件的集合即为正方形面积是5225，阴影部分的面积为252（52）216，所以阴影区域面积和正方形面积比值，即为手机受到干扰的概率p16（5分）点p（x，y）满足

18、等式2，过点（2，0）的直线l交动点p的轨迹曲线e于a，b两点，若曲线e上存在点c，使四边形aobc（o为坐标原点）恰为平行四边形，则直线l的斜率为±1【解答】解：设f1（2，0），f2（2，0），则由2等价为|pf1|+|pf2|2由椭圆定义知动点p的轨迹为椭圆，椭圆方程为1，其中a，c2，则b2a2c21046，所以动点p的轨迹方程为：1若直线l垂直x轴，则平行四边形aobc中，点c与点o关于直线l对称，此时点c坐标为（4，0）因为4，所以点c在椭圆e外，所以直线与x轴不垂直，故可设直线的方程为yk（x2），设点a（x1，y1），b（x2，y2），则联立，整理得（3+5k2）x2

19、20k2x+20k2300，则由题知x1+x2，y1+y2，因为四边形aobc为平行四边形，所以，所以点c的坐标为（，），代入椭圆方程得1，解得k21，所以k±1故答案为：±1三、解答题：（共70分其中17题10分，其余每小题10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）$beginarrayl17（10分）已知抛物线c：y22px经过点m（1，2）（1）求c的标准方程和焦点坐标；（2）斜率为1的直线l经过抛物线c的焦点，且与抛物线相交于a、b两点，求线段ab的长【解答】解：（1）由已知抛物线经过点m（1，2），代入y22px得222p，解得p2，所以，抛物线c的标准方程为

20、 y24x，所以，抛物线的焦点为（1，0），（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），由已知得直线l的方程为 yx1，联立方程消去y得 x26x+10，解得，所以 x1+x26（也可以由韦达定理直接得到x1+x26），于是|ab|x1+x2+2818（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x（0c）1011131286就诊人数y（个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组

21、数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验若选取的是用1月与6月的两组数据检验（1）请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程ybx+a；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认线性回归方程是理想的，请判断（1）所求出的线性回归方程是否理想的？（参考公式：线性回归方程x其中）【解答】解：（1）由数据求得由公式求得再由求得所以y关于x的线性回归方程为（2）当10，得y，|22|2令x6，得y，|12|2，所以，该小组所得线性回归方程是理想的19（12分）如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，

22、abcd，abad，adcd2，aa1ab4，e为棱aa1的中点（1）求证：b1c1ce；（2）若点m为线段c1e的中点，求直线a1m与平面b1ce所成角的正弦值【解答】证明：（1）如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱aa1底面abcd，abcd，abad，ad，aa1，ab两两垂直以a为原点，以ad，aa1，ab所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）则a（0，0，0），b（0，0，4），c（2，0，2），b1（0，4，4），c1（2，4，2），e（0，2，0）（2，0，2），（2，2，2）（3分）4+0+40，b1c1ce（4分）解：（2）（2，4，2），设平面b1c

23、e的一个法向量为（x，y，z），令x3，得（3，2，1），m为c1e的中点，m（1，3，1），（1，1，1），设直线a1m与平面b1ce所成的角为，则sin|cos，|0，直线a1m与平面b1ce平行直线a1m与平面b1ce所成的角的正弦值为020（12分）某电视台为了宣传本区，随机对本区内1565岁的人群抽取了n人，回答问题“本区内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组15，25）a0.5第2组25，35）18x第3组35，45）b0.9第4组45，55）90.36第5组55，653y（1）分别求出n，a，b，x，y的值（2）根据频率

24、分布直方图估计这组数据的中位数（保留小数点后两位）和平均数（3）若第1组回答正确的人员中，有2名为女性，其余为男性，现从中随机抽取2人，求至少抽中一名女性的概率【解答】解：（1）由频率表中第4组数据可知，第4组的人数为25，再结合频率分布直方图可知n100，（1分）a100×（0.010×10）×0.55，b100×（0.030×10）×927，（2分）x0.9，（3分）y0.2（4分）（2）设中位数为x，由频率分布直方图可知x35，45），且有0.010×10+0.020×10+（x35）×0.0300

25、5，解得x41.67，（6分）故估计这组数据的中位数为41.67，估计这组数据的平均数为：20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×10+50×0.025×10+60×0.030×1041.5（8分）（3）由（1）知a5，则第一组中回答正确的人员中有3名男性，2名女性，男性分别记为a，b，c，女性分别记为1，2，先从5人中随机抽取2人，共有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），（b，c）10个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件a，共有（a，1），（a，2），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2）7个基本事件，至少抽中一名女性的概率p21（12分）如图在四棱锥pabcd中，底面abcd是菱形，bad60°，平面pad平面abcd，pap