2022年2022年初中几何辅助线大全-最全

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载三角形中作帮助线的常用方法举例一.延长已知边构造三角形：例如：如图7-1 ：已知 acbd, ad ac于 a , bc bd于 b,求证： ad bc分析：欲证ad bc,先证分别含有ad,bc 的三角形全等 ,有几种方案 ：adc 与bcd ,aod与boc ,abd与bac ,但依据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角；证明 ：分别延长da, cb,它们的延长交于e 点,e ad acbc bd（已知） cae dbe 90° （垂直的定义）在 dbe与 cae中abee公共角 odbecae

2、已证 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bdac已知 dc图71精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 dbe cae（ aas） ed ec eb ea （全等三角形对应边相等） ed ea ec eb即： ad bc；（当条件不足时,可通过添加帮助线得出新的条件,为证题制造条件；）二 .连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决；三.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长；例如：如图9-1 ：在 rt abc中, ab ac, bac 90°, 1 2, ce bd的延长于e ；求证： bd 2ce分析：要证 bd 2ce ,想到要构造线段2

3、ce ,同时 cefaed112bc图91精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与abc 的平分线垂直,想到要将其延长；证明：分别延长ba, ce交于点 f； be cf（已知） bef bec 90° （垂直的定义） 在 bef与 bec中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1be2已知 be公共边 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载befbec 已证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bef bec（ asa）1ce=fe=cf2（全等三角形对应边相等）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bac=90°be cf

4、（已知） bac caf90°1 bda 90° 1 bfc 90° bda bfc在 abd与 acf中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bac bdacaf 已证 bfc 已证 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab ac 已知 abd acf （ aas） bdcf （全等三角形对应边相等） bd 2ce四.取线段中点构造全等三有形；例如：如图11-1 ： ab dc, a d 求证： abc dcb；分析：由 ab dc ,ad,想到如取ad 的中点 n,连接 nb , nc ,再由 sas 公理有 abn dcn ,故 bn cn

5、 ,abn dcn ；下面只需证 nbc ncb ,再取bc 的中点 m ,连接 mn ,就由 sss 公理有nbm ncm ,所以nbc ncb ；问题得证；证明：取 ad, bc的中点 n.m,连接 nb, nm, nc；就 an=dn, bm=cm,在 abn和 dcn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载an中a abdn 帮助线的作法 d 已知dc 已知2andbmc图111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abn dcn （ sas） abn dcnnb nc （全等三角形对应边.角相等）在 nbm与 ncm中nbnc已证bmcm 帮助线的作法 nmnm 公共

6、边 nmb ncm , sss nbc ncb（全等三角形对应角相等）nbc abn ncb dcn即 abc dcb ；巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在 abc中, bd： dc 1： 3, ae：ed 2： 3,求af： fc；解：过点 d 作 dg/ac,交 bf于点 g所以 dg：fcbd：bc由于 bd：dc1：3所以 bd：bc1：4即 dg： fc1：4,fc 4dg由于 dg：afde：ae又由于 ae： ed2：3所以 dg：af3：2即所以 af： fc：4dg1：6例 2.如图 2,bc cd, af fc,求 ef： fd解：过点 c作 cg/de交 ab于点

7、 g,就有 ef： gcaf：ac由于 affc所以 af：ac 1： 2即 ef： gc1：2,由于 cg：debc：bd又由于 bccd所以 bc：bd1：2cg：de1：2即 de2gc由于 fdedef所以 ef： fd小结：以上两例中, 帮助线都作在了“已知”条件中显现的两条已知线段的交点处,且所作的帮助线与结论中显现的线段平行；请再看两例,让我们感受其中的奥妙！3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3.如图 3,bd： dc 1： 3,ae： eb 2： 3,求 af： fd；解：过点 b 作 bg/ad,交 ce延长线于点 g；所以 df：bgcd：cb由于 bd：

8、dc1：3所以 cd：cb 3： 4即 df： bg3：4,由于 af：bgae：eb又由于 ae：eb2：3所以 af：bg2：3即所以 af：df例 4.如图 4,bd： dc 1： 3,af fd,求 ef： fc；解：过点 d 作 dg/ce,交 ab于点 g所以 ef：dgaf：ad由于 affd所以 af：ad1：2图 4即 ef： dg1：2由于 dg：cebd：bc,又由于 bd： cd1：3,所以 bd： bc1：4即 dg： ce1：4,ce 4dg由于 fcceef所以 ef：fc 1： 7练习：1. 如图 5, bd dc, ae： ed 1： 5,求 af： fb；2

9、. 如图 6, ad： db 1： 3,ae： ec 3： 1,求 bf： fc；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答案： 1.1：10；2. 9：1二 由角平分线想到的帮助线图中有角平分线,可向两边作垂线；也可将图对折看,对称以后关系现；角平分线平行线,等腰三角形来添；角平分线加垂线,三线合一试试看；角平分线具有两条性质： a.对称性； b.角平分线上的点到角两边的距离相等；对于有角平分线的帮助线的作法,一般有两种；从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线,构造对称图形（如作法为在一侧的长边上截取短边）；通常情形下, 显现了直角或为垂直等条件时,一般考虑作垂线； 其它情形下考

10、虑构造对称图形；至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件；与角有关的帮助线（一）.截取构全等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例1如图 1-2 ,ab/cd, be平分 bcd,ace平分 bcd,点 e 在 ad上,求证：bc=ab+c；d分析：此题中就涉及到角平分线,可以利用角平分线来构造全等三角形,即利用解平分b线来构造轴对称图形,同时此题也为证明线段的和差倍分问题,在证明线段的和差倍分问题edfc图1-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中常用到的方法为延长法或截取法来证明,延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段； 但无论延长仍为截取都要证明线段

11、的相等,延长要证明延长后的线段与某条线段相等,截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等, 进而达到所证明的目的；例2已知：如图 1-3 ,ab=2ac, bad=cad,da=d,b 求证 dcac5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：此题仍为利用角平分线来构造全等三角形；构造的方法仍为截取线段相等；其它问题自已证明；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3已知：如图 1-4 ,在 abc中, c=2b、ad平分 bac,求证： ab-ac=cdb分析：此题的条件中仍有角的平分线,在证明中仍要用到构造全等三角形, 此题仍为证明线段的和差倍分问题； 用到的为截取法来证

12、明的,在长的线段上截取短的线段, 来证明；试试看可否把短的延长来证明呢？b（二）.角分线上点向角两边作垂线构全等ced图1-3aecd图1-4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题；a例1 如图 2-1 ,已知 ab>ad、 bac= fac、cd=b；c求证： adc+b=180d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：可由 c 向 bad的两边作垂线；近而证adcb与 b 之和为平角；efc图 2-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例2 如图 2-2 ,在 abc中, a

13、=90,ab=ac, abd= cbd；求证： bc=ab+ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b分析：过 d 作 debc于 e,就 ad=de=c,e就构造出全等三角形, 从而得证；此题为证明线段的和差倍分问题, 从中利用了相当于截取的方法；adce图2-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例3 已知如图 2-3 , abc的角平分线bm.cn相交于点 p；求证： bac的平分线也经过点p；a分析：连接 ap,证 ap平分 bac即可,也就为证 p 到 ab.ac的距离相等；ndmfpbc精品学习资料精选学习资料 -

14、 - - 欢迎下载（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形图2-3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,就截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质；（假如题目中有垂直于角平分线的线段,就延长该线段与角的另一边相交）；a例1 已知：如图 3-1 , bad=dac,ab>ac、cdad于 d,h 为 bc中点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1求证： dh=2（ab-ac）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：延长 cd交

15、 ab于点 e,就可得全等三角形；问题可证；b例2 已知：如图 3-2 , ab=ac, bac=90 ,ad为 abc的平分线, cebe.求证： bd=2c；e分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的b垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形；dceh图示 3-1f adec图3-2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3已知：如图 3-3 在 abc中, ad.ae分别 bac的内.外角平分线,过顶点 b 作 bfad,交 ad的延长线于 f,连结 fc并延长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交 ae于 m；求证： am=m；eb分析：由 a

16、d.ae 为 bac内外角平分线,可得ea af,从而有 bf/ae,所以想到利用比例线段证相等；amdcefn图3-3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例4 已知：如图3-4 ,在 abc中, ad 平分 bac, ad=ab,cm ad 交 ad精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载延长线于 m；求证：1 （ab+ac）am=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：题设中给出了角平分线ad,自然想到以 ad为轴作对称变换,作 ab1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d 关于 ad的对称 aed,然

17、后只需证dm=21ec,另外ae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由求证的结果am=2（ab+ac）,即 2am=ab+a,c也可f精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载尝试作 acm关于 cm的对称 fcm,然后只需证 df=cbf 即可；三 由线段和差想到的帮助线d ncm图3-4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线段和差及倍半,延长缩短可试验；线段和差不等式,移到同一三角去；遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法为截长补短法： 1.截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；2.补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条

18、短线段,然后证明新线段等于长线段；对于证明有关线段和差的不等式, 通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边.之差小于第三边,故可想方法放在一个三角形中证明；留意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明；例 1如图, ac平分 bad,ceab,且 b+d=180°,求证： ae=ad+b；eadec例 3 已知：如图,等腰三角形abc中, ab=ac,a=108°, bd平分abc；b求证： bc=ab+d；cad8bc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4 如图,已知 rta

19、bc中, acb=90°, ad为 cab的平分线, dmab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1于 m,且 am=m；b求证： cd=2adb；m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cdb1如图, abcd,ae.de分别平分 bad各 ade,求证： ad=ab+c；ddceab2. 如图, abc中, bac=90°, ab=ac,ae 为过 a 的一条直线,且b,c在 ae的异侧,bd ae于 d,ceae于 e；求证： bd=de+ce9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四 由中点想到的帮助线三角形中两中点,连接就成中位线；三角形

20、中有中线,延长中线等中线；（一）.由中点应想到利用三角形的中位线例 2如图 3,在四边形 abcd中,ab=cd,e.f 分别为 bc.ad的中点, ba.cd的延长线分别交ef的延长线 g.h；求证： bge= che；证明：连结 bd,并取 bd的中点为 m,连结 me.mf,me为 bcd的中位线,mecd, mef=che,mf为 abd的中位线,mfab, mfe=bge,ab=cd, me=m,f mef=mfe,从而 bge=che；10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（二）.由中线应想到延长中线例 3图 4,已知 abc中,ab=5,ac=3,连 bc上的中线 a

21、d=2,求 bc的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：延长 ad到 e,使 de=ad,就 ae=2ad=×2在 acd和 ebd中, ad=ed, adc=edb, cd=b,d acd ebd, ac=be,从而 be=ac=；32=4；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 abe中,因 ae2+be2=42+32=25=ab2,故 e=90°,bd=,故 bc=2bd=2；例 4如图 5,已知 abc中, ad为 bac的平分线, ad又为 bc边上的中线；求证： abc为等腰三角形；证明：延长 ad到 e,使 de=ad；仿例 3 可证

22、：bed cad,故 eb=ac, e=2,又 1=2, 1=e,ab=eb,从而 ab=ac,即 abc为等腰三角形；（三）.直角三角形斜边中线的性质例 5如图 6,已知梯形 abcd中,ab/dc,acbc,adbd,求证： ac=bd；证明：取 ab的中点 e,连结 de.ce,就 de.ce分别为 rtabd,rtabc斜边 ab上的中线,故 de=ce= ab,因此 cde= dce；ab/dc, cde= 1, dce= 2, 1=2,在 ade和 bce中,11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载de=ce, 1= 2, ae=be, ade bce, ad=bc,从而

23、梯形 abcd为等腰梯形,因此ac=bd；（四） .角平分线且垂直一线段,应想到等腰三角形的中线例 6如图 7, abc为等腰直角三角形, bac=9°0 , bd平分 abc交 ac于点 d,ce垂直于 bd,交 bd的延长线于点 e；求证： bd=2c；e证明：延长 ba,ce交于点 f,在 bef和 bec中, 1=2,be=be, bef=bec=9°0 , bef bec, ef=ec,从而 cf=2ce；又 1+f=3+f=90°,故 1=3；在 abd和 acf中, 1=3,ab=ac, bad=caf= 90°, abd acf, bd=

24、c,f bd=2c；e注：此例中 be为等腰 bcf的底边 cf的中线；（五）中线延长口诀：三角形中有中线,延长中线等中线；题目中假如显现了三角形的中线,常延长加倍此线段 ,再将端点连结, 便可得到全等三角形；1如图, ab=cd,e 为 bc的中点, bac=bca,求证： ad=2ae；abecd3如图, ab=ac,ad=ae,m为 be中点, bac=dae=90°；求证： am dc；a dbmce12dd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5已知：如图 ad为 abc的中线, ae=ef,求证： bf=acaefbdc五 全等三角形帮助线（一）.倍长中线（线段）

25、造全等1：（“期望杯”试题）已知,如图abc中, ab=5,ac=3,就中线 ad的取值范畴为 .abdc2：如图, abc中, e.f 分别在 ab.ac上, dedf,d 为中点,试比较be+cf与 ef的大小.aefbdc3：如图, abc中, bd=dc=a,ce 为 dc的中点,求证： ad平分 bae.abdec中考应用13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题：以abc 的两边 ab.ac为腰分别向外作等腰rtabd 和等腰 rtace ,badcae90 、 连接 de,m.n分别为 bc.de的中点探究： am与 de的位置关系及数量关系（1）如图 当abc 为直

26、角三角形时, am与 de的位置关系为,线段 am与 de的数量关系为；（2）将图中的等腰rtabd 绕点 a 沿逆时针方向旋转0<<90 后,如图所示,（1）问中得到的两个结论为否发生转变？并说明理由（二）.截长补短1. 如图,abc 中, ab=2ac, ad平分bac ,且 ad=bd,求证： cdacacbd2：如图, acbd,ea、eb分别平分 cab、dba,cd过点 e,求证;ab ac+adbdebc14精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3：如图,已知在vabc 内,bac060,c400 ,p,q 分别在

27、 bc,caa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上,并且 ap,bq分别为bac ,abc 的角平分线；求证： bq+aq=ab+bpbqp4：如图,在四边形 abcd中,bcba、ad cd,bd平分abc ,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证：aacdc180 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bc5（三）.借助角平分线造全等1：如图,已知在abc中, b=60°, abc的角平分线ad、ce相交于点 o,求证： oe=odaeo15bdc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2：（06 郑州市中考题）如图, abc中,ad平分

28、bac,dg bc且平分 bc,deab于 e,dfac于 f.（ 1）说明 be=cf的理由；（2）假如 ab=a ,ac=b ,求 ae.be的长.aebgc fd3. 如图, op为 mon的平分线,请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形；请你参考这个作全等三角形的方法,解答以下问题：（1）如图,在 abc中, acb为直角, b=60°,ad.ce分别为 bac. bca的平分线, ad.ce相交于点 f；请你判定并写出fe 与 fd之间的数量关系；（2）如图,在 abc中,假如 acb不为直角,而 1 中的其它条件不变,请问,你在 1 中所得结论为否仍旧成立

29、？如成立,请证明；如不成立,请说b 明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载理由；mopbe edf df精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a图ncac图图 第 23 题图 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（四）.旋转精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1：正方形 abcd中, e 为 bc上的一点, f 为 cd上的一点, be+df=e,fa求 eaf的度数 .d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fbec2：d 为等腰 rtabc 斜边 ab的中点,dm dn、dm、dn分别交 bc、ca

30、于点 e、f；16精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1） 当mdn 绕点 d转动时,求证 de=d；fb（2） 如 ab=2,求四边形 decf的面积；aemcfan3. 如图,abc 为边长为3的等边三角形,bdc 为等腰三角形,且精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bdc1200 ,以 d 为顶点做一个600 角,使其两边分别交ab 于点 m,交 ac于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 n,连接 mn,就amn 的周长为；amnbcdo4已知四边形 abcd 中, abad , bccd , abbc , abc120 ,精品学习资料精选学习资料 -

31、 - - 欢迎下载 mbn60o , mbn绕 b 点旋转,它的两边分别交ad,dc（或它们的延长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线）于 e, f 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 mbn绕 b 点旋转到 aecf 时（如图 1）,易证 aecfef 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 mbn绕 b 点旋转到 aecf 时,在图 2 和图 3 这两种情形下,上述结精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载论为否成立？如成立,请赐予证明；如不成立,线段ae, cf , ef 又有怎样的数量关系？请写出你

32、的猜想,不需证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab emc fdnab emc fdnabfcdnem精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（图 1）（图 2）17（图 3）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 已知:pa=2 、pb=4、 以 ab为一边作正方形abcd使、p.d 两点落在直线ab的两侧 .(1) 如图、 当 apb=45°时、 求 ab及 pd的长;(2) 当 apb变化、 且其它条件不变时 、 求 pd的最大值 、 及相应 apb的大小 .6. 在等边abc 的两边 ab.ac所在直线上分别有两点m.n,d 为vabc 外精

33、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一点,且mdn60 、bdc120、bd=dc. 探究：当 m.n 分别在直线 ab.ac精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上移动时, bm.nc.mn之间的数量关系及amn 的周长 q与等边abc 的周长 l的关系图 1图 2图 3（i ）如图 1,当点 m.n 边 ab.ac上,且 dm=dn时, bm.nc.mn之间的数量关系为； 此时 q；l（ii ）如图 2,点 m.n 边 ab.ac上,且当 dm dn时,猜想（ i ）问的两个结论仍成立吗？写出你的猜想并加以证明；（iii） 如图 3,当 m.n分别在边 ab.ca的延长线上

34、时,如 an=x ,就 q=（用 x .l 表示）18精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.平移一腰：梯形中的帮助线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1.如下列图,在直角梯形abcd中, a 90°, abdc,ad15,ab16,bc 17.求 cd的长.dc解： 过点 d作 de bc交 ab于点 e.又 abcd,所以四边形bcde为平行四边形 .ab所以 debc17, cdbe.dc在 rt dae中,由勾股定理,得ae2de2 ad2,即 ae217215264.ab所以 ae8.e所以 beaba

35、e 1688.即 cd8.例 2 如图,梯形 abcd的上底 ab=3,下底 cd=8,腰 ad=4,求另一腰 bc的取值范畴；解： 过点 b 作 bm/ad交 cd于点 m,19精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 bcm中, bm=ad=,4cm=cd dm=cd ab=83=5,所以 bc的取值范畴为： 54<bc<54,即 1<bc<9；2.平移两腰：例 3 如图,在梯形abcd中, ad/bc, b c=90°, ad=1,bc=3,e.f分别为 ad.bc的中点,连接 ef,求 ef的长；解： 过点 e 分别作 ab.cd的平行线,交

36、bc于点 g.h,可得egh ehg= b c=90°就 egh为直角三角形由于 e.f 分别为 ad.bc的中点,简单证得f 为 gh的中点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1所以 efgh 21 bc2bgch 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 bc2aede 1 bc2 aede 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 bc2ad 1 3112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.平移对角线：例 4.已知：梯形abcd中, ad/bc,ad=1,bc=4,bd=3,ac=4,求梯形

37、ab cd的面积解：如图,作 de ac,交 bc的延长线于 e点adbc四边形 aced为平行四边形adbe=bc+ce=bc+ad=4+,1=d5e=ac=4在 dbe中, bd=3,de=4,be=5 bde=90°精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载作 dhbc于 h,就 dhbded12bhce精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载be520精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s梯形 abcdadbcdh 251256 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 如图,在等腰梯形abcd中

38、, ad/bc,ad=3,bc=7,bd=5cbd；解： 过点 c作 bd的平行线交 ad的延长线于点 e, 易得四边形 bced为平行四边形,2 ,求证： a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 de=bc,ce=bd5=2 ,所以 ae=adde=adbc=37=10；在等腰梯形 abcd中, ac=bd5=2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以在 ace中,ac 2ce 252 252 2100ae 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载,从而 acce,于为 ac bd；例 6 如图,在梯形 abcd中, ad/bc,ac=15cm,bd=20c

39、m,高 dh=12cm,求梯形 abcd的面积；解： 过点 d作 de/ac,交 bc的延长线于点 e, 就四边形 aced为平行四边形,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即s abds acds dce ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 s梯形 abcdsdbe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由勾股定理得 ehde 2dh 2ac 2dh 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1521229 （ cm

40、）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bhbd 2dh 220 212 216（cm）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s dbe所以1bedh21916122150cm 2 ,即梯形 abcd的面积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2150cm；（二）.延长即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形；例 7 如图,在梯形 abcd中, ad/bc, b=50°, c=80°, ad=2, bc=5,求 cd的长；解： 延长 ba.cd交于点

41、e；在 bce中, b=50°, c=80°；所以 e=50°,从而 bc=ec=5同理可得 ad=ed=2所以 cd=ec ed=52=3例 8.如下列图,四边形abcd中, ad不平行于 bc,acbd,adbc. 判定四边形 abcd的外形,并证明你的结论.dc解： 四边形 abcd为等腰梯形 .证明：延长 ad.bc相交于点 e,如下列图 .abacbd, adbc, abba, dab cba. dab cba.eeaeb.又 adbc, de ce, edc ecd.dc而 e eab eba e edc ecd180°, edc eab,

42、dcab.ab又 ad不平行于 bc,四边形 abcd为等腰梯形 .22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）.作对角线即通过作对角线,使梯形转化为三角形；例 9 如图 6,在直角梯形 abcd中,ad/bc,abad,bc=c,d be cd于点 e,求证： ad=de；解： 连结 bd,由 ad/bc,得 adb=dbe；由 bc=c,d 得 dbc= bdc；所以 adb=bde；又 bad= deb=9°0 , bd=bd,所以 rtbad rtbed,得 ad=d；e（四）.作梯形的高1.作一条高例 10 如图,在直角梯形 abcd中, ab/dc, abc=

43、90°, ab=2d,c 对角线 a cbd,垂足为 f,过点 f 作 ef/ab,交 ad于点 e,求证：四边形 abfe为等腰梯形；证： 过点 d作 dg ab于点 g,就易知四边形 dgbc为矩形,所以 dc=bg；由于 ab=2dc,所以 ag=g；b从而 da=d,b 于为 dab=dba；23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 ef/ab,所以四边形abfe为等腰梯形；2.作两条高例 11.在等腰梯形 abcd中, ad/bc, ab=cd, abc=60°, ad=3cm,bc=5cm,求： 1 腰 ab的长； 2 梯形 abcd的面积解： 作

44、aebc于 e,df bc于 f,又 adbc,四边形 aefd为矩形,ef=ad=3cmab=dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载befc1bc2ef 1cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rtabe中, b=60°, be=1cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ab=2be=2c,m ae3 be3cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s梯形 abcd adbcae 243cm精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（五）.作中位线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.已知梯形一腰中点,作梯形的中位线；例 13 如图,在梯形 abcd中, ab/dc,o为 bc的中点, aod=9°0 abcd=a；d,求证：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ad1证：取 ad的中点 e,连接 oe,就易知 oe为梯形 abcd的中位线, 从而 oe=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ abcd）在 aod中, aod=9°0, ae=debefc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习