导数运算常见类型

1、导数运算常见类型卢玉才江苏太仓高级中学 215400 在讨论函数的性质时，导数是不可或缺的重要工具，求导运算已经成为解决函数问题过程中的基本运算。1 熟记导数公式表，运算法则少不了基本初等函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，它们通过加、减、乘、除四种运算可以产生较为复杂的函数，其导数可以通过基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则求出例 1已知函数( )(1)(2)(),*fxx xxxnnn=+，求(0)f 的值解 ：( )( )(1)(2)()(1)(2)() fxxxxxnxxxxn=+， 令， 则 有0 x =(0)12fn= l评注 ：( )f x是个因式的乘积，由

2、函数积的求导法则，可以得到1n+( )fx的形式因为是求，所以(0)f (1)(2)() xxx+n具体的结果无需求出。例 2已知( )sin2()2xf xexfx=+，求( )f x解：( )(sin )2()2xfxexf=+，而，从而有(sin )cossinxxxexexe=+x( )(sincos )2()2xfxexxf=+分别令2x=，可以得到2()2()22fef=+，即2()2fe= -，2( )sinxf xexe=-x评注：分析( )f x的解析式可知，()2f的大小是关键，必须构造一个关于()2f的方程，这可以从( )fx入手。( )f x是由 3 个基本初等函数构成

3、，由它们的导数公式可以到( )fx，代入2就能求出()2f的大小了。2复合函数须分解，导数结果自然来复合函数的求导，关键是将函数合理地看成若干个基本初等函数复合，再利用复合函数的求导法则求出其导数例 5已知( )f x为定义在r上的奇函数且其导数存在，为定义在( )g xr的偶函数且其导数存在求证：( )fx为偶函数，为奇函数( )gx解：因为( )f x为定义在r上的奇函数， 所以有()( )fxf x-= - 两边同时求关于x的导数，有() ( )fxf-= -xx-令，则( ),yf tt=() ( )( 1)()fxftfx-=-= -，也就是()( )fxfx-=，即( )fx为偶函

4、数同理可证，为奇函数( )g x评注 ：对于形如()f axb+的复合函数， 我们可以通过( ),yf u uaxb=+这样的分解来求()f axb+的 导 数 ， 其 导 数 为， 因 为ua( )afuxb=+， 从 而()f axb+的 导 数 就 是()afaxb+3函数形式巧变形，导数运算便利多求给定函数的导数，可以先分析函数的具体形式。有时，函数解析式中有乘积或者是商的形式，我们可以采取合适的代数变形手段，将乘积化成和（如展开等） 、除化成积（如除看成乘以倒数等） 、除化成差（如利用对数的运算法则等），合理地求函数的导数例 3求下列函数的导数（1）2311( )()f xx xxx

5、=+（2）1( )lnxf xx+=，解： （1）32( )1f xxx-=+ +，( )( )()3( )1 2fxxx-=+，利用基本初等函数的导数公式可以得到23( )32fxxx-=-(（2）( )ln(1)lnf xxx)( )ln(1) lnf=+-，xxx=+-，利用复合函数求导法则和基本初等函数的求导法则有111( )1(fxxxx x=-= -+1)评注 ： （1）中是函数乘积的形式，如果利用函数积的求导法则会比较繁琐，我们通过代数变形，将乘积化成和，将商化成负指数幂，求导就很简单了；（2）中是复合函数的形式，直接利用复合函数的求导法则也比较困难，可先利用对数的运算法则将原函

6、数转化为两个函数的差，再利用复合函数求导得最后结果。例 4已知22( )xxaxaf xe+=，对0,1x?，均有，求实数a的取值范围( )0fx 解：2( )(2 )xf xxaxa e-=+，利用积函数的求导法则有2( )(2)xfxxa xa e-?= -+-? 由0,1x?， 均 有， 有( )0fx 0,1x?， 此等价于2(2)0 xa xa-+-0,1x?，3(1)1ax4x-+-+3(1)1x4x-+-+的最小值为，从而00a 评注 ：由于所给函数是商的形式，先将它转化为乘积的形式，这样求函数乘积的导数就比较方便实数a的取值范围采用了参变分离的方法，将参数的取值范围问题转化为易

7、求的函数最值问题4切线斜率要利用，数形结合最重要导数的几何意义是表示曲线上在该点的切线的斜率，所以导数、 斜率之间是一种数和形的相互转换例 7已知函数，过原点作曲线yexey =x的切线，求切线的方程.解 ：设 切 点 为(00,x)x e， 因xye=， 所 以00|xx xy=e=。 由 点 斜 式 得 切 线 方 程 为00()0 xxyexxe=-+，由切线过原点，0000(0)xxexe=-+，解得01x =，代入切线方程即有：.exy =评注 ：确定切线方程需要切点坐标和斜率，斜率是可以由函数在该点的导数得到，因此切点坐标是求切线方程的关键。利用切线过原点可得到切点满足的方程，从而求得切点进而求得切线方程。例 8对于正整数，设曲线n(1)nyxx=-在2x =处的切线与y轴交点的纵坐标为，求数列na1nan?+?的前n项和解 ：由(1)nyx=- x可以得到1nnyxx+=-，从而1(nn1)ynxnx-=-+，当时，。切线方程为2x =1(2)2nyn-= -+1(2)2(2)2nnynx-= -+-0y，令=得，这样na = (1)2nn