轴对称证明题要点

1、轴对称专题 轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， ?这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，? 那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 两个图形关于直线对称也叫做轴对称 图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴

2、对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形， 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形， 这两个图形是全等形，并且成轴对称 线段的垂直平分线（ 1） 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线， ? 叫做这条线段的垂直平分线 （或线段的中垂线） （ 2） 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； 反过来，?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合轴对称变换 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 ?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到 轴对称变

3、换的性质（ 1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（ 3） ?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点（ 3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 作一个图形关于某条直线的轴对称图形（ 1）作出一些关键点或特殊点的对称点（ 2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形用坐标表示轴对称 关于坐标轴对称点P （x, y）关于x轴对称的点的坐标是（x, -y）点 P（ x ， y ）关于 y 轴对称的点的坐标是（ -x ， y ） 关于原点对称点P （x, y）关于原点对称的点的坐标是（-x, -y） 关于坐标轴夹角平分线对

4、称点P （x, y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y, x）点 P（ x ， y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= - x 对称的点的坐标是（ - y， - x ） 关于平行于坐标轴的直线对称点 P（ x ， y ）关于直线x=m 对称的点的坐标是（ 2m-x ， y ） ；点P （x, y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x, 2n-y）;等腰三角形 等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形 相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边 两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等

5、腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别的： （ 1）等腰三角形是轴对称图形.（ 2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等 （简写成 “等角对等边” ） 特别的：（ 1 ）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（ 2 ）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（ 3 ）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（ 4 ）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形 利用“三角形奠基法”作图 然后再以这个图形为基础， 作出所根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角

6、形， 求的三角形等边三角形等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，？并且每一个内角都等于 60。等边三角形的判定方法(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.角平分线的性质角平分线的作法见课本角平分线的性质在角平分线上的点到角的两边的距离相等 O叶分/AOB PML OAT M PNI± OB于 NI, PM=PN 角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上 PM/L OA于 M, PN OB于 N, PM=PN.O叶分/ A

7、OB三角形的角平分线的性质 三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连线段垂直平分线，常向两端来连线；线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。角平分线十平行线-等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形。如图1 (1)中，若AD平分N胡C , AD/EC,则是等腰三角形；如图1(2)中，若庆

8、口平分/员1(72£小。，则山42?宫是等腰三角形；如图1 (3)中，若AD平分/员4c , CE/AB,则LACE是等腰三角形；如图1中，若AD平分/a4c , EF/AD,则是等腰三角形。(2)(3)(4)图1例1.如图，在中，ab= ac,在ac上取点p,过点p作EE1SC ,交ba的延长线于点e,垂足为点F。求证：AE= APD F1 .已知，如图1 11,在直角坐标系中，点 A在y轴上，BC，x轴于点C,点A关于直线 OB的对称点 D恰好在BC上，点E与点。关于直线 BC对称，/ OBC=35° ,求/ OED 的度数.2 .已知：如图 23,线段 AB.求作：线

9、段AB的垂直平分线MN.作法：3 .已知：如图 2 4, / ABC及两点 M、N.求作：点P,使得PM = PN,且P点到/ ABC两边的距离相等. 作法：B图244 .已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B,当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等.如果存在，请作出定点B;若不存在，请说明理由.月，图255.如图26, AD为/ BAC的平分线，DE，AB于E, DF，AC于F ,那么点E、F是否 关于AD对称？若对称，请说明理由.图 3-11图26综合、运用、诊断6.已知：如图37, A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连

10、接A'B交l于P点，若A'B=a.(1)求 AP+PB;(2)若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证:AM + MB>AP+PB.7 .已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M.(1)如图38,在l上求作一点 M,使得| AM-BM |最小;(3)如图3-10,在l上求作一点 M,使得 AM + BM最小.图 3-108 . (1)如图311,点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P,使得四边形 APBC的周长最小；(2)如图312,已知线段a,点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点 P在点Q的左侧)且PQ=a,四边形APQB的周长最小.

11、P、Q (点图 3 129. (1)已知：如图 上求作一点313,点M在锐角/ AOB的内部，在 OA边上求彳一点 P, Q,使得APMQ的周长最小；在OB边图6-5使得点P(2)已知：如图3- 14,点M在锐角/ AOB的内部，在 OB边上求彳一点 P,到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小.图 3- 1410 .已知：如图 6 5, A ABC 中，BC 边上有 D、E 两点，/ 1 = /2, /3=/4.求证： ABC是等腰三角形.11 .已知：如图 5 2,求证：BD = CE.A ABC 中，AB=AC, D、E 在 BC 边上，且 AD = AE.12 .已知:如图5 3,D、

12、E 分别为 AB、AC 上的点，AC=BC=BD, AD=AE,DE=CE,求/ B的度数.图6-813 .已知：如图 5 4, A ABC中，AB=AC, D是AB上一点，延长 CA至E,使AE = AD. 试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论.图5-4拓展、探究、思考14 .已知：如图 5-5, RtAABC 中，/ BAC = 90° , AB = AC, D 是 BC 的中点，AE=BF.求证：(1) DE=DF; (2) A DEF为等腰直角三角形.EB15 .在平面直角坐标系中，点P (2, 3) , Q (3, 2),请在x轴和y轴上分别找到 M点和N点，使四边形

13、 PQMN周长最小.(1)作出M点和N点.(2)求出M点和N点的坐标.3取 3)2 53冉11 _ J U 1 1 .-2 -1 O L 2 31-1 -图5616 .已知：如图 6-6, AABC中，AB=AC, E在CA的延长线上，EDXBC. 求证：AE = AF.17.已知:如图6- 7,E图6-6AABC 中，/ACB=90° , CD± AB 于 D, BF 平分/ABC 交 CD 于E,交AC于F.求证：CE = CF.图6-718 .如图 6-8,在 AABC 中，/ BAC = 60 ° , / ACB = 40° , P、Q 分别在

14、BC、CA 上，并 且AP、BQ分别为/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ + AQ=AB+BP.Q19 .如图69,若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C,使AABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？并在图 69中画出C点的位置.An图6-920.如图610,对于顶角/ A为36°的等腰A ABC,请设计出三种不同的分法，将 A ABC 分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形.图8421.已知：求证:如图 7 8, AD 是/BAC 的平分线，/ B=/ EAC, EFAD 于 F. EF 平分/ AEB.22 .已知：如图 79,在A ABC中，CE是角

15、平分线，EG / BC,交 AC边于F,交/ ACB的外角 （/ACD）的平分线于 G,探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论.D23 .如图710,过线段AB的两个端点作射线 AM, BN,使AM / BN,请按以下步骤画图 并回答.(1)画/ MAB、/ NBA的平分线交于点 E, / AEB是什么角？(2)过点E任作一线段交 AM于点D,交BN于点C.观察线段DE、CE,有什么发 现？请证明你的猜想.(3)试猜想AD, BC与AB有什么数量关系？M图 7 1024 .已知：如图 711, AABC 中，AB=AC, /A=100° , BE 平分/ B 交 AC 于 E.(

16、1)求证：BC=AE+BE;(2)探究：若/ A=108° ,那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之.25 .已知：如图 8-4, AABC和ABDE都是等边三角形.(1)求证：AD = CE;(2)当ACLCE时，判断并证明 AB与BE的数量关系.26 .如图8 5,已知A ABC是等边三角形，D、E分别在边 BC、AC上，且CD = CE,连接DE并延长至点 F,使EF = AE,连接AF、BE和CF .(1)请在图中找出一对全等三角形，用符号“且”表示，并加以证明；(2)求证：AF=BD.图8-5图8-827 .已知：如图 8- 6,四边形 ABCD 中，AC 平分/ BAD

17、, CD / AB, BC=6cm, / BAD =30° , / B=90° .求 CD 的长.图8-628 . ( 1)如图87,点O是线段AD的中点，分别以 AO和DO为边在线段 AD的同侧作 等边三角形OAB和等边三角形 OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC,求 ZAEB的大小；图8-7(2)如图8 8, AOAB固定不动，保持 OCD的形状和大小不变， 将 OCD绕着点O 旋转( OAB和OCD不能重叠)，求/ AEB的大小.一 B29 .已知：如图 89, ABC为等边三角形，延长 BC至IJD,延长BA至ijE,使AE=BD, 连接CE、DE.求证：C

18、E = DE.£图8-930 .已知：如图 8-10,四边形 ABCD 中，/A=/B=90° , / C=60° , CD = 2AD, AB =4.(1)在AB边上求作点图 8-10(2)求出(1)中PC+PD的最小值.31 .如图， ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点 O,求证：PA=PB=PC.(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能彳fl32 、.如图： ABC和 ADE是等边三角形.证明：BD=CE.图芍133、如图， ABC中，D、E分别是 AC、AB上的点，BD与CE交于点。.给出下列 四个条件：/ EBD=/DCO;/ BEO=/

19、CDO; BE=CD ; OB = OC.（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定 ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明 ABC是等腰三角形.34 .如图，P在/AOB内；点M N分别是点 P关于AQ BO的对称点，且与 AO BO相 交点E F,若APEF的周长为15,求MN的长.35 .如图（5）所示，在 ABC中，/ C=90° , DE垂直平分 AB ,交AB于E,交 BC于D, /1=1/2,求/B的度数。236 .等腰 ABC的腰长AB=10cm , AB的垂直平分线交另一腰 AC于D, BCD的周长 为26cm,则底边BC的长是多少？37 .如图，AABC中，AB=AC BQ CO分别为N ABC N ACB的平分线，交点为 0,过O 作，E, F平行于BC交AB, AC于F, E,探索BF+CE与FE的关系，说明理由.38 .如图，在 AABC中，AD_LBC于D,点M, N分别在BC所在 的直线上，且 BM=CN(1) AB=AC试判断AAMN勺形状，并说明理由(2)若AM=AN则N ABC2 ACB成立吗？为什么？39 .如图， ABC中，/ BAC=110,