日常生活中的变化率PPT课件

1、思考:导数的概念物理学中的速度、 xyx0limxxfxxfx)()(lim000000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx导数是一特殊的极限 )()(lim000 xfxf几何学中的切线斜率、日常生活中的变化率。 求点的导数一般用定义。0 yCy 经济学中的边际函数、函数的变化率、 用导数定义求极限：用导数定义求极限：axafxfax)()(limaxaxaxtantanlim11lim1xxnxxxx)1ln(lim0用导数定义求极限：用导数定义求极限：axafxfax)()(limaxaxaxtantanlimaxxf)()(af 11lim1xxnxxxx)1ln(lim0axa

2、xaxtantan1tantan)tan(1)(xnxnnn11二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算

3、求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)

4、()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)(-)(分母分母分子分母分子 此法则可推广到任意有限项的情形.vuvu )() 1 (wvuwvu)( ,例如例如,练习1、求下列函数的导数: 4sin4cos33xxyxxxxy11此法则可推广到任意有限项的情形.vuvu )() 1 (wvuwvu)( ,例如例如,练习1、求下列函数的导数: 4sin4cos33xxyxxxxy114cos4sin332xxy232212111xxxy此法则可推广到任意有限项的情形.vuvu )() 1 (wvuwvu)( ,例如例如,练习1、

5、求下列函数的导数: 4sin4cos33xxyxxxxy114cos4sin332xxy232212111xxxy(2)vuvuvu )(推论推论: )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )wuvwuvuvw)()()( 可推广到有限项的积 )yxyxy 1例例1. , )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx

6、23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)2vvuvuvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)(-)(分母分母分子分母分子 (3)2vvuvuvu推论推论:2vvCvC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )21vvv2)(-)(分母分母分子分母分子 (3)2vvuvuvu推论推论:2vvCvC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )21vvv思考思考:211xx211vv21)1(vvv2)(-)(分母分母分子分母分子 (3)2vvuvuv

7、u推论推论:2vvCvC机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 )21vvv思考思考:211xx211vv21)1(vvv2)(-)(分母分母分子分母分子 例例2. 求证,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxx类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxx

8、cotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf1 )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1 )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1xydxdyx0limyxdydxy0lim导数的定义反函数导数的定义1lim0 xyxyxy0lim )( xf ddxy或yxdd1 )(1yf1公式才成立？猜想：是否只有反函数xydxdyx0l

9、imyxdydxy0lim导数的定义解决：0 x0y?0y反函数导数的定义1lim0 xyxyxy0lim1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设,arcsin xy 则,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsi

10、n(x )arccos(x )arctan(x )cotarc(x )(xa )e(x特别当ea时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设aaxln, )1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x )(xa )e(x特别当ea时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xe在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数

11、fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xydduyddxudd在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xydduyddxuddxydxdyx0lim导数的定义uydudyu0limxudxdux0lim在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x

12、 可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束 xydduyddxuddxydxdyx0lim导数的定义uydudyu0limxudxdux0lim解决：0 x0u?0u例如,)(, )(, )(xvvuufyxyddyuv推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuv

13、xuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxxysinsin例：xylnln例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnxxysinsin例：)(cos)()(cos)(sin11nnnxnxxxnyxylnln)(lnln1xxyxx1ln1思考)ln() 1 (xy下列函数的导数：；xey)2(

14、思考)ln() 1 (xy下列函数的导数：；xey)2(背。当公式使用。)()(1)ln(xxxxx1)ln()(xeexxxxee )(ueeuu )(ln yy1y机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ln( xx1xexe211x)1ln(2xx奇函数的导数是偶函数。偶函数的导数是奇函数。函数相等，导数必相等。导数相等，函数至多相差一个常数。导数是奇函数，其原函数是偶函数。导数是偶函数，其原函数是奇函数。例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxx

15、x解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2

16、xexexch说明说明: 类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee

17、思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思

18、考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习: 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 xylnlnln.,y求例例6. 设, )1(ln2xxy.y求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x记, )1(lnarsh2xxx则 )(a

19、rsh x112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P93例例16. 2shxxeex的反函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 )(C )(x )(sin x )(cosx )(tan x )(cot x )(secx )(cscx )(xa )(xe )(log xa )(lnx )(arcsin x )(arccos x )(arctan x )cot(arcx机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(x1x )(sin

20、xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccos x211x )(arctan x211x )cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vu )( uC )( vuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数

21、仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数 )0( v3. 复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1由定义证 ,说明说明: 最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求,1111xxxxy.y例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa求.y机动 目录 上页 下页

22、返回 结束 例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求,1arctan2sin2xeyx.y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin x

23、e2cosxx221x1212xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动

24、目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习1.可导；且)(, 0)(,)(1) 1 (xfx

25、fxfy求下列函数的导数：练习1.可导；且)(, 0)(,)(1) 1 (xfxfxfy求下列函数的导数：解.)()()(1) 1 (2xfxfxf);0()2(bcaddcxbaxy.)(2dcxbcad2)()()()()2(dcxdcxbaxdcxbaxdcxbaxdcxBAdcxbax)2(解可简化再导的导数。求练习153:2224xxxy，13222xxy假分式与真分式22224224) 1() 1)(53() 1()53(xxxxxxxy22) 1(232xxxy练习练习3.3. .0)()(ln,)(处的导数处的导数在在求求可导可导设设 xfxfyxf练习练习3.3. .0)()

26、(ln,)(处的导数处的导数在在求求可导可导设设 xfxfyxf解解)()(ln)(xfuxfu ,0)(时时当当 xf) )(ln xfy.)()(xfxf )(1)(xfuxfu 练习练习3.3. .0)()(ln,)(处的导数处的导数在在求求可导可导设设 xfxfyxf解解)()(ln)(xfuxfu ,0)(时时当当 xf) )(ln xfy.)()(xfxf )(1)(xfuxfu 上式可推得公式上式可推得公式)()(ln()(xfxfxf 取对数求导法取对数求导法练习4.).(,21)(22xfxxxxf求设练习4.).(,21)(22xfxxxxf求设解: 由公式可得.)2(12

27、412223xxxxx221 1111112212121xxxxxxx 12lnln1ln211ln2121)(22xxxxxxxxf12lnln1ln211ln2121ln22xxxxxxx2也可也可, )4)(3()2)(1(xxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可也可, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可也可, )4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1l

28、nxx4ln3lnxx11x21x31x41x机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习5.5.)(, )(,0)(,)()(可导可导其中其中求求设设xvxuxuyxuyxv 练习练习5.5.)(, )(,0)(,)()(可导可导其中其中求求设设xvxuxuyxuyxv 解解) )(ln)()()( xuxvxuxv.)()()()(ln)()()( xuxvxuxuxvxuxv由取对数求导法得由取对数求导法得)(ln)()()( xvxvxuxuy也可作公式。也可作公式。练习2、.)11()(dd,)1 , 1(2ee)(处的切线方程处的切线方程，在在及及求求处所确定的隐函数处所确定的隐函

29、数在在是由函数方程是由函数方程设设xyyxyyxxyyxy 练习2、.)11()(dd,)1 , 1(2ee)(处的切线方程处的切线方程，在在及及求求处所确定的隐函数处所确定的隐函数在在是由函数方程是由函数方程设设xyyxyyxxyyxy 解yxyxy 1函数相等，导数必相等。导数相等， 函数至多相差一个常数。 uuee( )u 练习2、.)11()(dd,)1 , 1(2ee)(处的切线方程处的切线方程，在在及及求求处所确定的隐函数处所确定的隐函数在在是由函数方程是由函数方程设设xyyxyyxxyyxy 解yxyxy 1)(eyyxyxy 1)(e即即yxyxy 1yxe)2(eyx函数相等，导数必相等。导数相等， 函数至多相差一个常数。, 1)1 , 1( y由此可得由此可得. 2 yx uuee( )u 内容小结内容小结求导公式及求导法则 注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗