第三章随机变量的数字特征PPT课件

1、第三章第三章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的协方差和相关系数数学期望的定义数学期望的定义)( 576271596110029078015709606401分数学期望描述随机变量取值的平均特征3.1 数学期望数学期望例例1 1设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：则学生的平均成绩是总分总人数(分)即27159611009080706040人数分数定义定义若XPX=xk=pk，k=1，2，n，则称：1|kkkpxnkkkpxXE1)(定义定义若XPX=xk=pk，k=1，2，且 期望或均值，则称1)(kkkpxXEr.v.X的数学期望为

2、r.v.X的数学期望，简称例例2 2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望2761)(61kkXE为例例3 3若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为：试求E(X)xxfexp21)(解解dxxxXEexp2)(dtttxt|exp2令 dttexp0定义定义若Xf(x)，-x0)dyaeyYEaby12)(22dxebaxx222baeaby12122定理定理若Xf(x)， -x，则Y=g(X)的期望： .dx)x( f )x(g)X(gE)Y(E推论推论若(X，Y) f (x，y)，-x，-y，则Z=g(X，Y)的期望 .),(),(),()(dxdyyxfyxgYXgEZ

3、E例例7 7长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间解解设乘客于某时X分到达车站，候车时间为Y，则60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgY其他0600601)(xxfX600)(601)(dxxgYE秒分2510010305560例例8 8设X服从N(0，1)分布，求E(X2)，E(X3)，E(X4)2221)(xexfdxexXEx22222)(222xdexdxex22211解解dxexXEx23322)(0dxexXEx24422)(2322xdexdxexx222233E

4、(c)=c，c为常数；E(cX)=cE(X)，c为常数；数学期望的性质数学期望的性质证明设Xf(x)，则dxxcxfcXE)()()()(XcEdxxxfcE(X+Y)=E(X)+E(Y)；证明设(X，Y)f(x，y) dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxxf),( dxdyyxyf),(dxdyyxfx),( dydxyxfy),(dxxxfX)(dyyyfY)()()(YEXE若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)证明设(X，Y)f(x，y) dxdyyxxyfXYE),()( dxdyyfxxyfYX)()(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE例例9 9

5、设某种疾病的发病率为1%，在1000个人中普查这种疾病，为此要化验每个人的血方法是，每100个人一组，把从100个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样求平均化验次数解解设Xj为第j组的化验次数，10,.,1jX为1000人的化验次数，则100100%)99(1%)99(1011jjPX99. 010011 1000100)()()(101101jjjjXEXEXE)99. 01)(101(99. 010100100644)99. 01)(101(99. 0100100jEX例例1010若XB(n，p)，求E(X)（用期望的性质求）解解设01iX第i次试验事件A发生；第i次试验事件A不发生则niiXX1pXEi)(niiXEXE1)()(nppni1例例1111设随机变量XN(0，1)，YU(0，1)，ZB(5，0.5)，且X，Y，Z独立，求随机变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望例例1212设