2004年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

1、2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一选择题1已知abc0，且abc0, 则代数式 的值是（ ）(a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) 0 2已知p,q均为质数，且满足5p23q59，则以p3,1pq,2pq4为边长的三角形是（ ）(a) 锐角三角形 (b) 直角三角形 (c) 钝角三角形 (d) 等腰三角形3 一个三角形的边长分别为a,a,b，另一个三角形的边长分别为b,b,a，其中ab，若两个三角形的最小内角相等，则的值等于（ ）(a) (b) (c) (d) 4过点p(-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ）(a) 4条 (b) 3条 (c

2、) 2条 (d) 1条5已知b24ac是一元二次方程ax2bxc0(a0)的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）(a) ab (b) ab (c) ab (d) ab6如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(a) 24 (b) 38 (c) 46 (d) 50二填空题1计算 .nabcdp2如图abcd是边长为a的正方形，以d为圆心，da为半径的圆弧与以bc为直径的半圆交于另一点p，延长ap交bc于点n，则 .3实数a,b满足a3b33ab1，则ab . 4设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m .第二试一、 已知方

3、程x26x4n232n0的根都是整数，求整数n的值。二、已知如图，梯形abcd中，adbc, 以两腰ab,cd为一边分别向两边作正方形abge和dchf，设线段ad的垂直平分线l交线段ef于点m，epl于p，fql于qlgbchfaepqmd求证：epfq三、 已知点a(0,3)，b(2,1)，c(2,1) p(t,t2)为抛物线yx2上位于三角形abc内（包括边界）的一动点，bp所在的直线交ac于e， cp所在的直线交ab于f。将 表示为自变量t的函数。参 考 答 案一、1. a 原式()()()3 2. b因为5p23q为奇数，故p、q必为一奇一偶，而p、q均为质数，故p、q中有一个为2.

4、若q2，则p，不合题意，舍去若p2，则q13，此时p35，1pq12，2pq413因为52122132，所以，以5、12、13为边长的三角形为直角三角形abcd3. b如图，设abc中，abaca，bcb，d是ab上的一点，有adb，因为ab，故a是abc的最小角，记a，则以b、b、a为三边的三角形的最小角也为，从而此三角形与adc全等.所以dcb，acd，又abccbd，于是 ，即 令x，得方程x2x10. 解得x4. c设满足条件的直线l：ykxb，因为p (1,3)在直线l上，所以3kb，故bk3，因此l为：ykxk3. l与两坐标轴的交点分别为a ( ,0)，b (0, k3)，故l与

5、两坐标轴围成的三角形面积为saob k35 ，即 (k3)210k当k0时，方程即k24k90，此时方程无实数解；当k0时，方程即k216k90，此时方程有两个实数解k8±，因此，过点p（1,3）且与坐标轴围成面积为5的三角形的直线有2条5. b因为方程有实数解，所以，b24ac0，由题意，有或令u， 得方程2au2ub0或2au2ub0因为u，是其解，所以方程判别式非负，即18ab0 ，故ab6. d以格点为顶点的线段长度可取8个数值：1，2，2，3，.以这些线段组成的等腰直角三角形按三边长来考虑可以分为以下4种情况：（1，1，）；（，2）；（2，2，2）；（，），下面按斜边长分类

6、进行记数：（1）当斜边长为时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12条，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有2×1224个（2）当斜边长为2时，图形中长为2的线段有10条，其中有6条在2×3矩形的四周上，每条这样的线段对应着1个等腰直角三角形；另外有4条在2×3矩形的内部，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有62×414个（3）当斜边长为2时，斜边一定是边长为2的正方形的对角线，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着2个等腰直角三角形，共有2×48个（4）当斜边长为时，这样的线段有4条，每条这样的线段对应着1个等腰直角三角

7、形，共有4个因此，以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为24148450二、1. 21原式(1)()(2)()1212. 1或2设abx，由a3b33ab1易得x33abx3ab10，分解因式得：(x1) (x2x13ab) 0，所以x10或者x2x13ab0若(x2x13ab) 0，即a2b2abab10，配方得：(ab) 2(a1) 2(b1) 20，所以ab-1，此时xab-2；因此x1或-23. 17 最小的3个合数为4,6,8,46818，故17不能表示为三个互不相等的合数之和，当m18时，若m2k18，则m462(k5)；若m2k118，m492(k7)；因此，任意大于18的整数均可

8、表示为三个互不相同的整数之和 故m17pmnabcdef4. 如图，连接bp并延长交ad于e，连接cp并延长交ab于m，交da的延长线于f，显然becf，因为ma 2mpmc，mb 2mpmc，所以mamb.又abebcm，则rteabrtmbc ，故aemb，由rtmafrtcdf，知afa.因为efpbcp，所以rtfpertcpb，fpacpn从而，有 .于是ncaf，bn 所以第二试一、解得x3±. 因为方程的根都是整数，所以4n232n9是平方数，设4n232n9m2 （m0）则有(2n8m) (2n8m) 55，因为551×555×11(-1)

9、5;(-55)(-5)×(-11)分别解得n10，n0，n-18，n-8. 所以整数n的值为 -18，-8，0，10二、如图，n是ad中点，过n作nqdf交qf于q，作npae交ep于p，作nsdc交bc于s，作nrab交bc于r， 在rtppn和rtlnr中，易知ppnlnr，又由rnabaepn，知rtppn rtlnr，从而ppnl，同理可证ppqq，显然ep an，fq nd，又annd，所以 ep fq，从而epepppfqqqfq三、设ab所在直线是一次函数yaxb的图像，将a(0,3)，b(2,1)代入解得a2,b3,所以ab所在直线是一次函数y2x3的图像.该直线与抛物线yx2相交，交点横坐标解得x-1，