2007年全国初中数学联赛_试题及答案

1、2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1. 已知满足，则的值为 （ ）（a）1

2、. （b）. （c）. （d）.【答】b.解 由得，所以，故选（b）.注：本题也可用特殊值法来判断.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）（a）1. （b）1. （c）0. （d）2007.【答】c.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共8页）解 因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选（c）.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是 （ ）（a）等腰三角形. （b）锐角三角形. （c）钝角三角形. （d）直角三角形.【答】d.解 由题意可得即

3、所以，因此，所以是直角三角形. 故选（d）.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）aecbdoh（a）30°. （b）45°. （c）60°. （d）75°.【答】c.解 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，为的中点，的延长线交于点，连、，则/，/，则，所以30°，60°，所以60°.故选（c）.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为 （ ）（a）. （b）. （c）. （d）.【答】a.解 分别延长、，与的三边、交于点、，由于、分别为、的重心，易知、分别为、的中点，所以.易证，且

4、相似比为，所以.所以.故选（a）.6袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）（a）. （b）. （c）. （d）.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共8页）【答】b.解 设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，有2种可能，或；当时，有3种可能，或或；当时，有4种可能，或或或.因此，共有123410种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选（b）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

5、1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_1_.解 ，而，.又，而，.，.2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=解 由根与系数的关系得，所以，则， 2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共8页）.3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_4_.abcdefgmn解 延长交于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.4 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_17_.解 设，则，两式相减得，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.

6、2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第二试 （a）一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.由题意，即，即.由题意知，且上式对一切实数恒成立，所以2007年全国初中数学联合竞赛

7、试题参考答案及评分标准 第4页（共8页） 所以或 abcdefmnp二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：=.证明 设与交于点，/，,. 又/，,.,故 又=，pnfpmc，pnfpmc，nf/mc anfedm.又me/bf，fanmed.anffanedmmed，afn=dme.三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.解 观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得 因为是正整数，所以关于的方程 （1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而原

8、方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设（其中为非负整数），则，即.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共8页）显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.第二试 （b）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.解 因为一元二次方程的两根分别为和，所以；一元二次方程

9、的两根分别为和，所以. 所以， （1）由题意知，且（1）式对一切实数恒成立，所以所以或二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共8页）三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1）显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数，所以关于的方程 （2）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是

10、一个完全平方数. 设（其中为非负整数），则，即.显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第7页（共8页）第二试 （c）一、（本题满分25分）题目和解答与（b）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目和解答与（a）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.解 联立方程组消去得，即，分解因式得 （1）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程 （2）必有整数根，所以一