2007年考研数学一试题及完全解析(Word版)

1、 2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当时，与等价的无穷小量是 ( )a. b. c. d.(2) 曲线y= ), 渐近线的条数为 ( )a.0 b.1 c.2 d.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)= .则下列结论正确的是 ( )a. f(3)= b. f(3)= c. f(3)= d. f(3)= (4)设函数f（x）在x=0处连续，下列

2、命题错误的是 ( )a. 若存在，则f（0）=0 b. 若 存在，则f（0）=0 c. 若 存在，则=0 d. 若 存在，则=0(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且, 令=f(n)=1,2,.n, 则下列结论正确的是 ( )a.若，则必收敛 b. 若，则必发散 c. 若，则必收敛 d. 若，则必发散(6)设曲线l：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第象限内的点m和第象限内的点n,t为l上从点m到n的一段弧，则下列小于零的是 ( )a. b. c. d. （7）设向量组，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（a） （b） （c） （d）（8）

3、设矩阵a=，b=，则a于b ( )(a) 合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似 (d)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( )（a）(b) (c) (d) (10) 设随即变量（x，y）服从二维正态分布，且x与y不相关，分别表示x，y的概率密度，则在yy的条件下，x的条件概率密度为 ( )（a） (b) (c) (d)二填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11） _.（12）设为二元可微函数，则_.(13)二阶常系数非齐次线性方程的通解为y_.

4、 (14)设曲面：，则_. (15)设矩阵a，则的秩为_.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_.三解答题：1724小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(22)设3阶对称矩阵a的特征向量值是a的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.(23)设二维变量的概率密度为 求；求的概率密度.(24)设总体的概率密度为 ,是来自总体的简单随机样本，是样本均值求参数的矩估计量；判断是否为的无偏估计量,并说明理由.一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分

5、40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）【答案】（b）【解析】方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，有：时，所以选（b）.方法2：当时，选（b）.方法3：，选（b）.（2）【答案】（d）【解析】所以是一条垂直渐近线；所以是沿方向的一条水平渐近线；又 所以也是一条渐近线，所以共有3条，选择（d）（3）【答案】（c ）【解析】由题给条件知，为的奇函数，故为的偶函数，所以而所以 ，选择c（4）【答案】 (d)【解析】方法1:论证法，由存在及在处连续，所以（a）正确；由于存在，所以存在.（c）也正确；由在处连续，所以在处连续，从而在处连续，将它看

6、成（a）中的，从而推知即有.所以（b）正确，此题选择（d）.方法2：举例法，举例说明（d）不正确.例如取，有而并不存在. （d）不正确，选（d）.（5）【答案】 (d)【解析】由拉格朗日中值定理，有由知严格单调增，故由于所以而是一个确定的正数.于是推知故发散.选（d）（6）【答案】 (b)【解析】记由条件并注意到在积分的弧段上于是所以选择(b)（7）【答案】(a)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数，使得成立.则称线性相关.因，故线性相关，所以选择（a）.（8）【答案】（b）【解析】因为的特征值是3，3，0，的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. 与有相同的正惯性指数2，秩都

7、等于2，所以与合同，应选（b）. （9）【答案】(c)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为再加上第4次是成功的，其概率为.根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为 所以应选（c）（10）【答案】(a)【解析】由于二维正态的中与不相关，故与独立，且.根据条件概率密度的定义，当在条件下，如果则.现显然不为0，因此 应选(a).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）【答案】【解析】令，有 （12）【答案】【解析】求复合函数的偏导数 （13）【答案】【解析】特征方程为特征根对应齐次方程的通解设该齐次方程的一个

8、特解为代入原方程，可求得故得原方程的通解为.（14）【答案】 【解析】曲面对称于平面，为的奇函数，所以又因关于轮换对称，所以 而为8块同样的等边三角形，每块等边三角形的边长为，所以所以（15）【答案】 1【解析】 显然 (16)【答案】 【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数，。在坐标轴上画出图形，所求概率为其中d是由，以及x、y轴围成的图形.三、解答题：1724小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）【解析】先求的内部驻点，由，解得函数在内的驻点为，相应的函数值为再考虑在的边界上的.由便知函数在上的最大值为4，最小值为.考

9、虑在的边界上的.记由得，函数在相应点的值为综上可知函数在d上的最大值为8，最小值为0（18）【解析】补充曲面，下侧为正，根据高斯公式，有其中 ， 再以与平行的平面截，得区域用先二后一法计算三重积分，为一椭圆，其面积可由熟知的椭圆公式算的，于是有又因为是的奇函数，关于轴对称，有从而（19）【解析】令在连续，在可导，在题设条件下，要证存在，.已知，只须由题设再证（）由题设若，取，.若，不妨设，则，（）由，对分别在用罗尔定理，使得再对用罗尔定理，使得即.（20）【解析】（）由于，根据泰勒级数的唯一性知在方程两端求阶导数，得令，得，即故 （）因为，所以，两边求导，得由于，所以，即函数满足方程令，则上述

10、方程变为，解得，从而，由得，所以.（21）【解析】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解，将方程组联立 并对联立方程组的增广矩阵作初等行变换 当时，联立方程组（3）的同解方程组为解得两方程组的公共解为，其中是任意常数.当时, 联立方程组（3）的同解方程组为解得两方程的公共解为.方法2：将方程组（1）的系数矩阵作初等行变换当时，方程组（1）的同解方程组为解得（1）的通解为，其中是任意常数.将通解代入方程（2）.对任意的成立，故当时，是（1）、（2）的公共解.当时，方程组（1）的同解方程组为解得（1）的通解为,其中是任意常数. 将通解代入方程（2）.得，故当时，（1）和（2）的公共解为.（22）【解析】（）可以很容易验证，于是 于是是矩阵的特征向量. 的特征值可以由的特征值以及与的关系得到，所以的全部特征值为2，1，1. 前面已经求得为的属于2的特征值，而为实对称矩阵，于是根据与的关系可以知道也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设