2022年2022年复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载复变函数复习重点 一 复数的概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 复数的概念：zxiy , x、 y 为实数 、xre z 、 yimz .i 21 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：一般两个复数不比较大小,但其模（为实数）有大小.2. 复数的表示精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）模：zx2y2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）幅角 ：在 z0 时,矢量与 x 轴正向的夹角,记为argz （多值函数） ；主值 argz 为位于、 中的幅角；3） argz 与 arctan

2、y 之间的关系如下：x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x0、arg zarctan y ；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y当 x0、y0、arg z 0、arg zarctan yx；arctan yx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4） 三角表示 ： zzcosi sin,其中arg z ；注：中间肯定为“+”号；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5） 指数表示 ： zz ei,其中arg z；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

3、 二 复数的运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 加减法 ：如 z1x1iy1、 z2x2iy 2 ,就 z1z2x1x2iy1y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 乘除法 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）如 z1x1iy1、 z2x2iy 2 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载z1z2x1 x2y1 y2ix2 y1x1 y2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1 y2i y

4、1 x2y2 x1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zxiyxiyxiyx2y2x2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22222222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11222）如zz ei 1 、 zzei2 、就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载z zzzei12 ； z1z1 ei12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 212z2z2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3. 乘幂与方根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1） 如

5、zz cosi sinz ei,就 znnzcosnisin nninze；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2） 如zz cosi sinz ei ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n12k2k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zz ncosi sinknn0、1、2n1 （有 n 个相异的值）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（三）复变函数1复变函数： wfz,在几何上可以看作把z 平面上的一个点集d 变到 w 平面上的一个点集 g 的映射 .2复初等函数精品学习资料精选学习资料 - - -

6、欢迎下载1） 指数函数 ： ezexcos yi sin y ,在 z 平面到处可导,到处解析；且ezez ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： e z 为以 2i 为周期的周期函数； （留意与实函数不同）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3） 对数函数 ：lnzln ziarg z2kk0、1、2 （多值函数） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载主值 ： ln zln zi arg z ；（单值函数）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且lnz1 ； z精品学习资料精

7、选学习资料 - - - 欢迎下载注：负复数也有对数存在； （与实函数不同）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3）乘幂与幂函数：abeblnaa0 ； zbeblnzz0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：在除去原点及负实轴的z 平面内到处解析,且zbbzb 1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4）三角函数 ： sin zeize iz、cos zeize iz、 t gzsinz 、 ctgzcos z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2i2cos zsin z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinz、cos z 在 z 平面

8、内解析,且sin zcos z、 cos zsin z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：有界性sin z1、 cosz1不再成立；（与实函数不同）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载eze zeze z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4） 双曲函数shz、 chz；22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载shz奇函数, chz为偶函数；shz、chz 在 z 平面内解析,且shzchz、chzshz；精品学习资料精选学习资料 - - -

9、欢迎下载（四）解析函数的概念1复变函数的导数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1） 点可导 ：fz= limfz0zfz0；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0z0z2） 区域可导 ：fz在区域内点点可导；2解析函数的概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）点解析：fz 在z0 及其z0 的邻域内可导,称fz在z0 点解析；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）区域解析：fz在区域内每一点解析,称fz 在区域内解析；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3）如f z 在 z0 点不解析,称z0 为 fz的奇点 ；精品学习资料精选学习资料

10、 - - - 欢迎下载3解析函数的运算法就：解析函数的和.差.积.商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 函数可导 的充要条件 ：fzux、 yivx、 y 在 zxiy 可导精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载u x、 y和 vx、 y 在x、 y可微,且在x、 y处满意 cd 条件：uv 、uvxyyx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时,有 fzuiv ；精品学习资料精

11、选学习资料 - - - 欢迎下载xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 函数解析的充要条件：fzux、 yivx、 y 在区域内解析精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ux、 y和 v x、 y在x、 y 在 d 内可微,且满意cd 条件：uv 、uv ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载此时 fzuiv ；xyyx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意： 如 u x、 y、 vx、 y 在区域 d 具有一阶连续偏导数,就ux、 y、vx、 y在区域

12、d 内为可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载微的；因此在使用充要条件证明时,只要能说明u、 v 具有一阶连续偏导且满意cr 条件时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数 fzuiv 肯定为可导或解析的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载3函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义,如其次章习题1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）利用充要条件（函数以fzux、 yivx、 y形式给出,如其次章习题2）精品学习资料精选学习资料

13、 - - - 欢迎下载3）利用可导或解析函数的四就运算定理；（函数 fz为以 z 的形式给出,如其次章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 复变函数积分的概念：nfz dzlimfkzk , c 为光滑曲线；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cnk 1注：复变函数的积分实际为复平面上的线积分；2 复变函数积分的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）fz dzc1 fz dz（ cc1 与 c 的方向相反） ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）cfzgzdz

14、f z dzcg z dz、c为常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3） 如曲线 c 由 c1 与 c2 连接而成,就fz dzcfz dzc1fz dz ；c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3复变函数积分的一般运算法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）化为线积分：cfz dzudxvdyicvdxudy ；（常用于理论证明）c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）参数方法：设曲线c ：zz tt ,其中对应曲线 c 的起点,对应曲线 c 的终精

15、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点,就fz dzf ztcz t dt ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1 柯西古萨基本定理： 设 fz 在单连域 b 内解析, c 为 b 内任一闭曲线,就fz dz0c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2复合闭路定理 ：设 fz在多连域 d 内解析, c 为 d 内任意一条简洁闭曲线,c1、 c2 、cn 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 内的简洁闭曲线,它们互不包含互不相

16、交,并且以c1 、c2 、cn 为边界的区域全含于d 内,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fz dzcnk 1 ckfz dz、其中 c 与 ck 均取正向；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fz dz0 ,其中由 c 及 c1 k1、2、n 所组成的复合闭路；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3闭路变形原理：一个在区域 d 内的解析函数fz沿闭曲线 c 的积分, 不因 c 在 d 内作连续变形而转变它

17、的值,只要在变形过程中c 不经过使fz不解析的奇点；4解析函数沿非闭曲线的积分： 设 fz在单连域 b 内解析, gz 为 fz 在 b 内的一个原精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载函数,就z2fz dzgz2z1gz1z1、 z2b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关,运算时只要求出原函数即可；5； 柯西积分公式 ： 设 fz在区域 d 内解析, c 为 d 内任一正向简洁闭曲线,c 的内部完全精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载属于 d ,z0 为 c 内任意一点,就fzdzc zz02ifz0精品学习资料精选

18、学习资料 - - - 欢迎下载6 高阶导数公式 ： 解析函数fz 的导数仍为解析函数,它的n 阶导数为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1fzdz2if nzn1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0c zz0 n.其中 c 为 fz 的解析区域 d 内环绕 z0 的任何一条正向简洁闭曲线,而且它的内部完全属于d ；7 重要结论 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1nc za1 dz2i 、0、n0 ； （ c 为包含 a 的任意正向简洁闭曲线）n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8复变函数积分的运算方法精品学习资料精选学习资料 - -

19、- 欢迎下载1）如fz在区域 d 内到处不解析,用一般积分法2）设fz在区域 d 内解析,fz dzf z tc zt dt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 为 d 内一条正向简洁闭曲线,就由柯西古萨定理,fz dz0c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c 为 d 内的一条非闭曲线,z1、 z2 对应曲线 c 的起点和终点,就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载z2fz dzfz dzfz2cz13）设 fz 在区域 d 内不解析fz1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料

20、精选学习资料 - - - 欢迎下载曲线 c 内仅有一个奇点 ：fz dzc zz02i fz0（ f z 在 c 内解析）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1fzdz2i f nz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0c zz0 n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载曲线 c 内有多于一个奇点：fz dzcnk 1 ckfz dz （ ci内只有一个奇点zk ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载或：fz dzcn2ire s fk 1z、 zk （留数基本定理）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

21、迎下载fz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n如被积函数不能表示成 zzo ,就须改用第五章留数定理来运算；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（八）解析函数与调和函数的关系22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 调和函数 的概念： 如二元实函数x、 y 在 d 内有二阶连续偏导数且满意0 ,x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x、 y 为 d 内的调和函数；2解析函数与调和函数的关系解析函数fzuiv 的实部 u 与虚部 v 都为调和函数, 并称虚部 v 为实部 u 的共轭调和函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个调

22、和函数u 与 v 构成的函数f zuiv 不肯定为解析函数；但为如u、 v 假如满意柯西精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载黎曼方程,就uiv 肯定为解析函数；3已知解析函数fz 的实部或虚部,求解析函数fzuiv 的方法；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1） 偏微分法 ：如已知实部u ux、 y ,利用 cr 条件,得v 、v ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对vuyx两边积分,得 vudygx xxy（* ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载再对（ * ）式两边对 x 求偏导,得vu dygx

23、xxx由 cr 条件,uv ,得uu dygx（ * ）,可求出gx ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yxyxx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入（ * ）式,可求得虚部 v学习必备欢迎下载udygx；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 ）线积分法：如已知实部uux、 y,利用cr条件可得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载vvdvdxdyuudxdy ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyyx精品学习资料精选学习资料 - - -

24、欢迎下载故虚部为 vx 、 yu dxu dyc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 、 y0yx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于该积分与路径无关,可选取简洁路径（如折线）运算它,其中x0 、 y0与x、 y为解析区精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载域中的两点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3） 不定积分法 ：如已知实部uux、 y ,依据解析函数的导数公式和cr 条件得知,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fzuivuiu精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy

25、xy将此式右端表示成z 的函数 uz ,由于 fz 仍为解析函数,故fzuz dzc（ c 为实常数）注：如已知虚部v 也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1复数列的极限精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）复数列 n anibn （ n1、2）收敛于复数abi 的充要条件为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载lim ana、lim bnb（同时成立）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）复数列 n 收敛实数列 an、bn 同时收敛；精品学习资料精选学习资料

26、- - - 欢迎下载2复数项级数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）复数项级数n 0n nanibn 收敛的充要条件为级数an 与n 0nbn 同时收敛；0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）级数收敛的必要条件为limn0 ；n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的争论；（十）幂级数的敛散性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 幂级数的概念 ：表达式2幂级数的敛散性cn zz0n 0n 或nc znn0为幂级数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精

27、选学习资料 - - - 欢迎下载1）幂级数的收敛定理阿贝尔定理 abel： 假如幂级数c zn 在 zn0n 00 处收敛,那么对满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zz0的一切 z ,该级数肯定收敛；假如在z0 处发散,那么对满意zz0的一切 z ,级数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载必发散；2） 幂级数的收敛域 圆域幂级数在收敛圆域内,肯定收敛；在圆域外,发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散 ； 3） 收敛半径的求法 ： 收敛圆的半径称收敛半径；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载比值法假如limnc

28、n 1cn0 ,就收敛半径r1 ；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载根值法limcnn0 ,就收敛半径r；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如0 ,就 r；说明在整个复平面上到处收敛；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假如,就 r0 ；说明仅在zz0 或 z0 点收敛；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：如幂级数有缺项时,不能直接套用公式求收敛半径；（如nc z2 n ）n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 幂级数 的性质精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1） 代数性

29、质 ：设a zn 、b zn的收敛半径分别为r 与 r ,记 rminr 、 r,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn1212n 0n 0就当 zr 时,有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abzna znb zn（线性运算）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnnnn 0n 0n 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a zn b zn a baba bzn（乘积运算）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nnn 0n 1 10 nn 0n 0n 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2） 复合性质 ：设当r 时,fann ,

30、当 zr 时,gz 解析且 gzr ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就当 zr 时,f gz an gzn 0n ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3） 分析运算性质 ：设幂级数an znn 0的收敛半径为r0 ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其和函数fzan z为收敛圆内的解析函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn 0精品学

31、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在收敛圆内可逐项求导,收敛半径不变；且fznan zzr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在收敛圆内可逐项求积,收敛半径不变；z fzdzanzn 1zr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0n 0 n1（十一） 幂函数的泰勒绽开精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.泰勒绽开： 设函数fz 在圆域zz0r 内解析,就在此圆域内fz 可以绽开成幂级数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fzfzzzn00n ；并且此绽开式为唯独的；n 0n.精品学习资料精选学

32、习资料 - - - 欢迎下载注：如 fz 在 z0 解析,就fz在z0 的泰勒绽开式成立的圆域的收敛半径rz0a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 r 为从z0 到 fz 的距z0 最近一个奇点a 之间的距离；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 常用函数在z00 的泰勒绽开式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1） ez1 zn1zzzzz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23nn 0 n .2.3.n

33、 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）11zzn1n 0zz2znz1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1nz3z51 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3） sinzz2 n 1zz2n 1z精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 0 2n1.3.5.2 n1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1n2 nz2z44） cos zz11nz2 nz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 0 2 n.2.4.2 n.3 解析函数绽开

34、成泰勒级数的方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1）直接法：直接求出c1 f nz,于为nn0fzczz；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0n.n 02）间接法：利用已知函数的泰勒绽开式及幂级数的代数运算.复合运算和逐项求导.逐项求积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载等方法将函数绽开；（十二）幂函数的洛朗绽开精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 洛朗级数 的概念：nncnzz0, 含正幂项和负幂项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 洛朗绽开定理：设函数fz 在圆

35、环域 r1zz0r2 内到处解析,c 为圆环域内绕z0 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载任意一条正向简洁闭曲线,就在此在圆环域内,有fzcnnnzz0,且绽开式唯精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一；3解析函数的洛朗绽开法：洛朗级数一般只能用间接法绽开；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载*4 利用洛朗级数求围线积分：设fz 在 rzz0r 内解析, c 为 rzz0r 内的任何精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一条正向简洁闭曲线,就fz dzc2ic1

36、 ；其中c 1 为f z 在 rzz0r 内洛朗绽开式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中1zz0的系数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗绽开式中 zz0 1 的系数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（十三）孤立奇点的概念与分类精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1； 孤立奇点的定义： fz 在z0 点不解析 、 但在z0 的 0zz0内解析；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

37、 - - 欢迎下载2；孤立奇点的类型：1） 可去奇点 ：绽开式中不含zz0 的负幂项；fzc0c1zz02c2zz0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2） 极点 ：绽开式中含有限项zz0 的负幂项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fzc mc m 1c 1cc zz c zz 2gz、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 zz m zz m 1 zz 01020 zz m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0000精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中 gzcczz c zzm 1c zz m在 z 解析,精品学习资料精选学习资料 -

38、- - 欢迎下载m m1010000精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 gz00、m1、 c m0 ；3） 本性奇点 ：绽开式中含无穷多项zz0 的负幂项；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fzc mc 1cc zz c zz m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载zz m zz 010m0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（十四） 孤立奇点的判别方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1可去奇点：limzz0fzc0 常数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

39、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2极点：limfzzz0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3本性奇点：limzz0fz 不存在且不为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m4零点与极点的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）零点的概念：不恒为零的解析函数fz ,假如能表示成fzzz0 z ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其中z 在z0 解析,z00、m 为正整数,称z0 为 fz 的 m 级零点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

40、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2）零点级数判别的充要条件z0 为 fz 的 m 级零点fz0nmfz00、n01、2、m1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3）零点与极点的关系：z0 为 fz的 m 级零点z 为1的 m 级极点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0fz4） 重要结论如 za 分别为z 与z 的 m 级与 n 级零点,就za 为zz的 mn 级零点；当 mn 时,za 为当 mn 时,za 为当 mn 时,za 为z的 mn 级零点；zz的 nm 级极点；zz的可去奇点；z精品学习资料精

41、选学习资料 - - - 欢迎下载当 mn 时, za 为zz 的 l 级零点, lmin m、 n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 mn 时, za 为zz 的 l 级零点,其中 lmn（十五）留数的概念精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 留数 的定义： 设z0 为 fz 的孤立奇点,fz在 z0 的去心邻域0zz0内解析, c 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载该域内包含 z 的任一正向简洁闭曲线,就称积分1fz dz 为 fz 在 z 的留数（或残留）,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0记作re s fz、 z 01fz dz2ic02ic精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2留数的运算方法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 z0 为 fz 的孤立奇点,就res fz、 z c 1 ,其中c 1 为 fz 在 z0 的去心邻域内精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载洛朗绽开式中 zz0 01的系数；精品学习资料精