4.4电磁感应中的双杆问题分类例析

1、电磁感应中的双杆问题分类例析“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类 问题进行分类例析1、“双杆” 在等宽导轨上向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。2. “双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。 “双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同 样加速度做匀加速直线运动。4“双杆”在不等宽导轨上同向运动。“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向

2、，所以不能利用动量守 恒定律解题。【例 5】如图所示，间距为 l、电阻不计的两根平行金属导轨 MN 、PQ（足够长）被固定在同一水 平面内，质量均为 m、电阻均为 R 的两根相同导体棒 a、b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕 过定滑轮后沿两金属导轨的中线与 a棒连接，其下端悬挂一个质量为 M 的物体 C，整个装置放在 方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。开始时使 a、 b、C都处于静止状态，现释放 C，经过时间 t，C的速度为 1、b 的速度为 2 。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，重力加速度为 g，求：（1）t 时刻 C的加速度值；（ 2）t 时刻 a、b 与导轨所组成

3、的闭合回路消耗的 总电功率。解析：（ 1）根据法拉第电磁感应定律， t 时刻回路的感应电动势 E回路中感应电流以 a 为研究对象， 以 C 为研究对象，t Bl（ 1EI2R 根据牛顿第二定律 根据牛顿第二定律2) 联立以上各式解得 a 2MgRTMg22B2l 2( 1BIlTmaMa2)2R（M m）（ 2）解法一：单位时间内，通过a 棒克服安培力做功，把回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为 所以， t 时刻闭合回路的电功率等于 a 棒克服安培力做功的功率，即B2l 2（ 1 2） 12Rb 棒可等效为电动机Ea Blv1PP BIl解法二： a 棒可等

4、效为发电机， a 棒的感应电动势为 闭合回路消耗的总电功率为联立解得 P BIl 1IEa22B2l2( 12)2RC 物体的一部分重力势能转化为闭合b 棒的动能，解法三：闭合回路消耗的热功率为b 棒的机械功率为P机故闭合回路消耗的总电功率为BIl v2E2 B2l 2(v1 v2)22R 2R22B l (v1 v2)v22RB2l 2( 1 2)2R模型：a棒可等效为发电机，b棒可等效为电动机C物体克服细绳拉力做功C 物体动能的增加量细绳拉力对 a 棒做功a 棒克服安培力做功a 棒动能的增加量闭合回路消耗的总电能安培力对 b 棒做正功闭合回路产生的焦耳热b 棒动能的增加量C 物体重力做功说

5、明：在单位时间 t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：C物体重力势能的减少量【例 1】两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计导轨间 的距离 l 0.20 m 两根质量均为 m 0.10 kg 的平行金属杆甲、乙可在 导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻 为 R在 t 0 时刻，两杆都处于静止状态现有一与导轨平行、大 小为 N 的恒力 F作用于金属杆甲上， 使金属杆在导轨上滑动 经过 t， 金属杆甲的加速度为 a 1.37 m s，问此时两金属杆的速度各为多少 本题综合了法拉第电磁感应定律、安培

6、力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧 姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力解析： 设任一时刻 t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为 vl 和 v2，经过很短的时间 t，杆甲移动距离 v1t，杆乙移动距离 v2t ，回路面积改变S（x 一2t）+1tll （1-2） t 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势EB S/tB（ l一2）回路中的电流iE2 R杆甲的运动方程FBli ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量（t 0 时为0）等于外力 F 的冲量Ft m l m 2联立以上各式解得 1Ft/m2R（F一ma）B2l22

7、2Ftm一 2R（F一ma）B2l22代入数据得移 l 8.15 ms，v21.85 m sac【例 2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两 导轨间的距离为 L。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形 回路，如图所示两根导体棒的质量均为m，电阻均为 R，回路中其余部分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁 场，磁感应强度为 B设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始 时，棒 cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0 若两导体棒在运动 中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少（2）当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd棒的加

8、速度是多少 解析： ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生 感应电流 ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动， cd 棒则在安培力作用下作加速 运动在 ab 棒的速度大于 cd棒的速度时， 回路总有感应电流， ab 棒继续减速， cd棒继续加速 两 棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度 v 作匀速运动（ 1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0 2mv 根 据 能量守恒，整个过程中产生的总热量 Q 表示由杆 1 、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳定 mv02 1 （

9、2m）v2 1 mv022 2 4（2）设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd 棒的速度为 v1，则由动量守恒可知：3mv0 m v0 mv143E此时回路中的感应电动势和感应电流分别为： E （ v0 v1）BL ， I4 0 1 2R此时 cd棒所受的安培力： F IBL ，所以 cd 棒的加速度为 a Fm由以上各式，可得22B2L2v0 a4mR例 3 】两根相距 d=0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面vv内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的 电阻为 r=，回路中其余部分的电阻可不计 .已知

10、两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移， 速度大小都是 v=5.0m/s ，如图所示 .不计 导轨上的摩擦 .（ 1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.（ 2）求两金属细杆在间距增加 0.40m 的滑动过程中共产生的热量 .解析：（ 1）当两金属杆都以速度 v 匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为： E1=E2=Bdv由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：E1 E22r因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为F1=F2=IBd。由以上各式并代入数据得 F1 F222BI 2d 2v 3.2 10 r2）设两金属杆之间增加的距离为L，则两金属杆共

11、产生的热量为 Q I 2 2r L ，2v代入数据得 Q=× 10-2J.【例 4】如图，在水平面上有两条平行导电导轨 所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为MN 、PQ，导轨间距离为 l ，匀强磁场垂直于导轨B，两根金属杆 1、2 摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为 m1、m2 和R1、R2，两杆与导轨接触良好， 与导轨间的动摩擦因数为 ，已知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2 也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆 解法 1： 设杆 2 的运动速度为 v，2 克服摩擦力做功的功率。由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回

12、路中的磁通量发生变化，产生感应电动势 E Bl （v0 v）感应电流 IER1 R2杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力， BlIm2 g 导体杆 2 克服摩擦力做功的功率Pm2 gv解得 Pm2 gv0m2gB2l 2 (R1R2 )解法 2 ：以 F 表示拖动杆 1 时，对杆 1 有 F m1 g对杆 2 有 BIl m2 g的外力，以BIl 00以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有 P PF I a 棒进入磁场后做什么运动 b 棒做什么运动（2）a棒刚进入磁场时， a、b 两棒加速度之比 .（3）如果两棒始终没有相碰， a和 b的最大速度各多大 （4）在整个全过

13、程中，回路中消耗的电能是多大解析 1 a棒在下滑过程中只有重力做正功，动能增加，做加速运动.进入轨道的水平部分后在磁场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而在a、 b 棒与两滑轨组成的闭合回路中产生感应电流， a 棒由此而受到向左的安培力 Fa 作用，运动受阻而开始减速由于速度变小，感应电 动势、感应电流及安培力都在减小，所以a 棒的运动性质是加速度逐渐减小的减速运动与此同时， b 棒则受到向右的安培力 FB 作用自静止起做加速运动随上述感应电流的减小， 受到的 FB 也会相应减小，所以 b 棒的运动性质是加速度逐渐减小的加速运动当 a、b 两棒速度相等时，回路中磁通量不再变化，因而不再有

14、感应电流产生，a、 b 棒所受安培力都变为零， 自此以后， 两棒将以相等的速度 即 b 棒所能达到的最大速度向右做匀速运动 2从 a 棒进入磁场后直到做匀速运动以前， a、b 棒都做加速度不断在变化的变速运动 .由于是在 同一匀强磁场中，回路中的感应电流各处相等，a、b 两棒跨接在滑轨之间部分的长度也相等，所以各时刻 a、b 两棒分别所受的安培力总是等值反向的（Fa=|F B|=ilB ）因此，根据牛顿第二定律尽管加速度随时间都在逐渐减小 ,但对于同一时刻来说 , （R1 R2 ） m1gv0 由以上各式得 P m2gv0 m2g2g （R1 R2 ）B2l2vb300d300【例 5】如图所

15、示，在倾角为 300 的斜面上，固定两条无限长的平行 光滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度B，导轨间距L 0.5m 。两根金属棒 ab、 cd 平行地放在导轨上，金属棒质量 mab 0.1kg，mcd 0.2kg，两金属棒总电阻 r， 导轨电阻不计。 现使金属 棒 ab 以 v 1.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动，求 （ 1）金属棒 cd 的 最大速度；（2）在 cd 有最大速度时，作用在金属棒 ab上的外力做功的功率。说明：（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。在第（1）问的分析中，也可以对 cd 棒的运动方向进行判断， 因为不管 cd 的运动方向如何， 它速度

16、最大时 mcdgsin300=I'lB 式一定成立 。直接解 mcdgsin300=I'lB、 Blv Blvm、I' /r 式，若 vm 为正值则表示方向沿轨 道向下，若为负值则表示方向向上。 （ 2）对第（ 2）问的求解方法比较多。选研究对象时，可以用“整体法” ，也可以用隔离法。求功率时，可以根据定义PFv 计算，也可以根据能的转化和 守恒定律求解。【例 6】如图 4 所示，金属棒 a 跨接在两金属轨道间，从高 h 处以速度 v0沿光滑弧形平行金属轨 道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为 B.在轨道的水平部分另有一个跨

17、接在两轨道间的金属棒b，在 a棒从高处滑下前 b 棒处于静这一比值则总是确定的3 a棒进入磁场之初的速度最大，设为va根据动能定理，在水平轨道上运动过程， 由于在两棒与轨道组成的系统中， Fa与 FB 总是等值反向的， 即合外力始终为零，所以这个系统动量守恒设两棒最后共同运动速度为v '，则有v ' 也就是 b 棒的最大速度 vBE电4在整个相互作用过程中，回路中的电流总在变化，且回路电阻未知，所以其中消耗的电能 必须根据能量守恒计算，例 7】如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨，置于垂直于导轨平面向里的匀强磁场中，两根质量相同的导体棒 a 和 b，与导轨紧密接触且可自由滑动

18、。 先固定 a，释放 b，当 b 的速度达到 10m/s 时，再释放 a ，经过 1s 后， a 的速度达到 12m/s ，则A、当B、C、若导轨足够长，它们最终的速度必相同D、它们最终的速度不相同，但速度差恒定解析:当 b棒先向下运动时，在 a和b以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是 a棒受到向下的安培力， b 棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放 a 棒后，经过时间 t ，分别以 a 和 b 为研究对象，根据动量定理，则有：代入数据可解得：当 。在 a、b 棒向下运动的过程中， a棒产生的加速度 ，b 棒产生的加速度。当 a 棒的速度与 b 棒接近时，闭合回路中的逐渐减小，感应

19、电流也逐渐减小，则 安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做自由落体运动。正确答案选A 和 C。【例 8】如图，足够长的光滑平行导轨水平放置，电阻不计，MN 部分的宽度为 2l ，PQ 部分的 宽度为 l ，金属棒 a 和 b 的质量 ma 2mb 2m ，其电阻大小Ra 2Rb 2R，a和b分别在 MN 和PQ上，垂直导轨相距足够远， 整个装置处于竖直向下的匀强磁场中， 磁感强度为a 总在 MN 上运动， b 总在a、b 分别用动量定理。 a运.b 的运动产生了反电动势。B，开始 a 棒向右速度为 v0 ， b棒静止，两棒运动时始终保持平行且PQ 上运动，求 a、b 最终的速度。解析：

20、 本题由于两导轨的宽度不等， a、 b系统动量不守恒，可对 动产生感应电流， a、b 在安培力的作用下，分别作减速和加速运动回路的 E总Ea Eb 2Blva Blv b ，随着 va减小， vb增加， E总减小，安培力 F E总lB /(3R) 也随之减小，故 a棒的加速度 a Fa/(2m)减小， b棒的加速度 a/ Fb / m也减小。当 E总 0 ，即 2Blva Blvb时，两者加速度为零，两棒均匀速运动，且有vb 2va 对 a 、 b 分别用动量定理Fat 2m(va vb) Fbt mvb 而 Fa 2Fb 联立以上各式可得：3va2v03abcd和a/b/c/d/e/ 部分为

21、例 9 】如图所示，abcde和 a/b/c/d/e/ 为两平行的光滑轨道，其中处于水平面内的导轨， ab与a/b 的间距为 cd与c/ d间距的 2倍， de、d /e部分为与水平导轨部 分处于竖直向上的匀强磁场中， 弯轨部分处于匀强磁场外。 在靠近 aa和 cc处分别放着两根金 属棒 MN 、PQ，质量分别为 2m和 m。为使棒 PQ 沿导轨运动，且通过半圆轨道的最高点ee，在初始位置必须至少给棒 MN 以多大的冲量设两段水平面导轨均足够长， PQ 出磁场时 MN 仍在宽导轨道上运动。2 解析 ：若棒 PQ刚能通过半圆形轨道的最高点ee，则由 mg m ve ，R可得其在最高点时的速度 v

22、egR.棒 PQ 在半圆形轨道上运动时机械能守恒，设其在dd 的速度为 vd ，5gR1 2 1 2由 mvd2 mve2 mg 2R 可得： vd2 d 2 e dMN 速度减小，棒两棒在直轨上运动的开始阶段，由于回路中存在感应电流，受安培力作用，棒v2PQ 速度增大。 当棒 MN 的速度 v1和棒 PQ 的速度 v2 达到 v1 2 时，回路中磁通量不再变化而无1 2 1 2感应电流，两者便做匀速运动，因而v2vd5gR在有感应电流存在时的每一瞬时，由F IlB 及 MN 为 PQ长度的 2倍可知，棒 MN和 PQ所受安培力 F1 和 F2 有关系 F1 2F2 。从而，在回路中存在感应电

23、流的时间t 内，有 F1 2F2 。设棒 MN 的初速度为 v0 ，在时间 t 内分别对两棒应用动量定理，有：F1t2mv12mv0 ，F2tmv2将以上两式相除，考虑到F12F2并将 v1、 v 2的表达式代入，可得 v03 5gR2从而至少应给棒 MN 的冲量： I2mv0 3m 5gR练习:1如图所示，金属杆 a 在离地 h 高处从静止开始沿弧 形轨道下滑， 导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一金属杆b.已知杆的质量为 ma，且与 b 杆的质量比为 ma mb=3，水平导轨足够长，不 计摩擦，求：（1）a和b 的最终速度分别是多大（2）整个过程中回路释放的电

24、能是多少a、b 上产生的热（ 3）若已知 a、b 杆的电阻之比 RaRb=34，其余电阻不计，整个过程中 量分别是多少32312答案 :（ 1）va=vb=2gh （2） E= magh（ 3）Qa= E= magh ，7772如图所示， abcd 和 a/b/c/d/ 为水平放置的光滑平行导轨， 区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、 a/b/ 间的宽度是 cd、c/d/间宽度的 2 倍。设导轨足够长，导体棒 ef 的质量是棒 gh 的 质量的 2 倍。现给导体棒 ef 一个初速度 v0，沿导轨向左运动， 当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少49749aebdcg4 16 Q b= E

25、=maghd/a/b c hv2，则有2BLv1-BLv2=0，即 v2 =2v 1。对导体棒 ef 由动量定理得：2BL I t 2mv12mv0对导体棒 gh 由动量定理得：BLI t mv2由以上各式可得：v113v0,v223v0v03如图所示，在匀强磁场区域内与 中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放 两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L，质量为 m，与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止， 速 v0 ，试求两棒之间距离增长量解析：用而减速，B 垂直的平面电阻为R，回路部分导轨电阻可忽略，棒右侧导体棒具有向右的初共同速度为x 的最大值。当 ab 棒运动时，产生感应电动势， ab、 cd 棒中有感应电流通过， ab 棒受到安培力作 cd 棒受到安培力作用而加速。当它们的速度相等时，它们之间的距离最大。设它们的1v，则据动量守恒定律可得： mv0 2mv，即 vv0 。2解析： 当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设 导体棒 ef 的速度减小到 v1， 导体棒 gh 的速度增大到1对于 cd