重庆文科高考数学立体几何高考真题(含答案)

1、重庆市高考真题立体几何（文）一、选择题1、（2004.08文）不同直线 m,n和不同平面,给出下列命题：（m/m/nn/ m/3)m/A 0个；其中假命题有:2、（2004.12文）如图，棱长为 5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积 （含孔内各面）是：（A 258 B 234 C 222 D 210)3、（2005.07文理）对于不重合的两个平面与,给定下列条件:；存在直线l ,直则下列选择方案中，能够完成任务的为（)（A）模块，（B）模块，（C）模块，（D）模块，8、（2009.09文）在正四棱柱ABCDAB1C1D1中，顶点Bi到对角线BD

2、i和到平面ABCDi的距离分别为h和d ,则下列命题中正确的是（）A.若侧棱的长小于底面的变长，则 h的取值范围为（0,1） d存在平面，使得a、3都垂直于；存在平面，使得a、3都平行于线m ,使得l m ；存在异面直线1、m,使得l ,l / ,m/ , m/ .其中，可以判定a与3平行的条件有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、（2005文10）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39,则该塔形中正方体的个数至少是（）A. 4B.

3、5 C. 6 D. 75、（2006.04文）若P是平面 外一点，则下列命题正确的是（）（A）过P只能作一条直线与平面相交（B）过P可作无数条直线与平面垂直（C）过P只能作一条直线与平面平行（D）过P可作无数条直线与平面平行6、（2007.03文）垂直于同一平面的两条直线（）（A）平行（B）垂直（C）相交（D）异面7、（2008. 11文）如题（11）图，模块均由 4个棱长为1的小正方体构成，模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块-中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3的大正方体B.若侧棱的长小于底面的变长，则h的取值范围为（2,22） d23C.若侧棱的长大于底面的变长，则h的

4、取值范围为（手，万）D.若侧棱的长大于底面的变长，则h的取值范围为（2黄，）9、（2010.文09）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（）A、只有1个 B恰有3个（C）恰有4个 （D）有无穷多个10、（2011文10）高为J2的四棱锥S ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半彳仝为1的同一球面上，则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）11、（2012文9）设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1, 22 和 a且长为a的棱与长为 的棱异面，则aD.(1,3)的取值范围是A. (0, 2) B.(0,、3) C.(1, 2)12、（2013文8）某几何体的三

5、视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.A. 180 B .200 C . 220 D . 24013、（2014文7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）I*-，T r ?A. 12B. 18C. 24D. 30、填空题1、(2004.15文)毛泽东在送瘟神中写到：“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约 万里.三、解答题1、(04文19)如图，四棱锥 P-ABCD的底面是正方形，PA 底面 ABCD,AE PD,EF/CD,AM EF(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA 3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.2、(0

6、5文20)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形,一点，PELEC.已知 PD 寸万CD 2, AE L 求 2(I )异面直线 PD与EC的距离；PDL底面 ABCD , E是AB上(n )二面角 E-PC-D的大小.3、(06文20)如图，在正四棱柱 ABCD AB1C1D1中，AB1,BB1 J3 1 , E 为 BB上使 B1E 1 的点。平面 AEC1交DD1于F ,交A1D1的延长线于G ,求:(I)异面直线 AD与CiG所成角的大小；(n)二面角 A C1G A的正切值;4、（07 文 19）如图，在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，/ ABC= 90°

7、, AB=1,BC= 3 ,AA2=2;点 D 在棱 BBi 上,2BD=BBi; B1EXA1D,垂足为 E,求: 3(I )异面直线 AiD与BiCi的距离；(n)四棱锥C-ABDE的体积。5、（ 08 文 20）如图， 和为平面,l,AAA' =3, BB2=2.若二面角l 的大小为一3(I )点B到平面的距离；(n )异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示)6、(09文18)如图，在五面体ABCDEF中，AB / DC ,BADCD AD 2,四边形 ABFE7、(2010文20)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形,PA 底面 ABCD , PA AB 也，为平行

8、四边形，FA 平面ABCD, FC 3, ED J7 求:(I)直线 AB到平面EFCD的距离；(n)二面角F AD E的平面角的正切值.点E是棱PB的中点.(I)证明：AE 平面PBC ;(n)若 AD 1,求二面角B EC D的平面角的余弦值8、(2011文20)如图，在四面体ABCD中，平面ABC，平面ACD ,ABBC, AC AD 2, BC CD 1(I )求四面体 ABCD的体积；(n)求二面角 C-AB-D的平面角的正切值。9 （2012文科20）（本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分）如图（20）,在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=4 , AC=BC=3

9、 , D为AB的中点。（I ）求异面直线 CG和AB的距离；（口）右 AB _L AC，求一1面角 A1 CD B1的平面角的余弦值。第（20）题10、（2013重庆，文19）（本小题满分12分，（1）小问5分，（2）小问7分.）如图，四棱锥 P ABCDKPA1底面 ABCD PA 2察,BC= CD= 2, / ACB= Z ACID= - ./3J求证：BDL平面PAC（2）若侧棱PC上的点F满足PF= 7FC,求三棱锥 P- BDF的体积.411、（12分）（2014?重庆）如图，四棱锥P- ABCD中，底面是以。为中心的菱形，POL底面ABCD , AB=2 ,n/ BAD= -77

10、M为BC上一点，且BM=.2.（I ）证明：BCL平面POM ;（II）若MPLAP,求四棱锥 P-ABMO 的体积.立体几何（文）参考答案、选择题1、D 2、C 3、B 4、C 二、填空题5、D 6、A 7、A 8、C 9、D 10、A 11、A 12、D 13、C1、4三、解答题1、（I）证明：因PAL底面，有 故ABL面PAD,推得PAX AB ,又知 AB ±AD , BA ± AE ,又 AM / CD / EF,且 AM=EF , 证彳A AEFM是矩形，故AM IMF.又因 AE± PD, AE ±CD,故 AE PCD, 而 MF / A

11、E ,得 MF，面 PCD,故 MFXPC, 因此MF是AB与PC的公垂线.(II)解：因由(I)知 AE ±AB ,又 AD ±AB ,故/ EAD是二面角 E-AB-D的平面角. 设AB=a ,则PA=3a. 因 RtAADERt APDA 故 / EAD= ZAPDAD因此 sin EAD sin APD PDa,'a2 (3a)210102、解法一：（I）因PDL底面，故 PDXDE,又因ECXPE,且DE 是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC± DE,因此 DE是异面直线 PD与EC的公垂线.x CD -设DE=x,因DAE

12、sced,故 ，即x21,x1 （负根舍去）.AE x从而DE=1,即异面直线 PD与EC的距离为1.（II）过 E作EGXCD交CD于G,作GHXPC交PC于H ,连接EH.因PDL底面, 故 PDLEG,从而 EG上面 PCD.因GH LPC,且GH是EH在面PDC内的射影，由三垂线定理知 因此/ EHG为二面角的平面角.在面 PDC 中，PD= <2 , CD=2, GC=2 - 3,22EHL PC.B因 PDCs GHC,故 GHCG PD PC,3又 EG . DE2 DG221 21(2)故在 Rt EHG 中,GH EG,因此 EHG -, 4即二面角E-PC-D的大小为

13、一.4解法二：(I)以D为原点，DA、DC、DP分别为x、v、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 D (0, 0, 0), P (0, 0, J2),C (0, 2, 0)设 A(x,0,0)(x 0),则B(x,2,0),11： 一 3E(x,-,0), PE (x, , <2),CE (x, ,0).由 PE CE 得 PECE 0, 222即 x? 0,故x .由 DE CE (, ,0) (-, ,0) 0得DE CE ,422 222又PD, DE ,故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得| DE | 1 ,故异面直线 PD、CE的距离为1.(n)作 DG ± PC

14、,可设 G (0, v, z).由 DG PC 0 得(0, y,z) (0,2,0即 z V2y,故可取 DG(0,1,72),作EF，PC于F,设F(0, m, n),则 EF ( ,m 1 ,n). 22由 EF PC 0得(,m -,n) (0,2,拈 0,即 2m 172n 0, 22又由 F在 PC上得 nm ¥2,故m 1, n , EF( , , ).222 2 2因EF PC,DG PC,故平面EPCD的平面角 的大小为向量EF与DG的夹角.故cos -DG_EF2,即二面角E PCD的大小为一.| DG | EF |2443、解法一：(I)由AD/D1G知 C1G

15、D1为异面直线 AD与CG所成角.(如图1)连接CiF .因为AE和CiF分别是平行平面 ABB1A1和CCiDiD与平面AECG勺交线所以AE C1F ,由此得D1F BF 的再由FDG N FDA DG 亚在Rt C1D1G中，由JD1 = 1 得 C1GD 6(n)作D1H C1G于H,由三垂线定理知 FH GG,故 RHF为二面俗-CG-D即二面角A C1G A的平面角在Rt HDiG中，由DiG=/3, HGD 得DiH 立.从而 tanDiHF _DF £ 2.62DiH 虫T解法二：(I)由AD/D1G知 CGD为异面直线 AD与C1G所成角.(如图2)因为EC洵 AF

16、是平行平面BB1cle与平面AADD与平面AECG勺交线，所以 EC1AF,由此得 AGA1EC1B1 , AG AA J3 1 D1G J3.4在Rt C1D1G中，由 6口=1 得 GGD 6(n)在 AC1G中，由 GAG，A£C二一知 AC1G为钝角。46作AH GC1交GC1的延长线于H,连接AH,由三垂线定理知GH AH,故 A1HA为二面角A-GG-A的平面角.在Rt ahg中，由AG=/3 1, hga 得Ah Y3. 62从而 tan AHA Aa3 1 2.1AH3 12解法三:(I)以A1为原点，A1B1,A1D1, A1A所在直线分别为系，于是，A(0,0,

17、-3 1),C1(1,1,0), D(0,1,、3 1),E(1,0,1),AD (0,1,0), EC1 (0,1, 1).因为 EC1 和 AF 是平行平面(0,y,0),则(0,y, 1 ，3)由 EG A，11y 1 、 3x、v、z轴建立如图3所示的空间直角坐标BBC。口AADDf平面AECG勺交线，所以EC1 / AF ,设于是y 邪 1.故G(0,1 73,0), CG ( 1,J3,0).设异面直线AD与C£所成的角的大小为贝 U:cosaD CGADl C1g，从而一26(n)作 ahH (a,b,0),则：AHC1G H,由三垂线定理知 GH AH，故 AHA为二

18、面角A-C1G-A1的平面角.设(a,b,0),C1H(a 1,b 1,0).由 AHCiG 得:IICH C1g 0,由此得a-有b=0.C又由H,C1,G共线得C1H/C1G,享，于是73a 3b (J3 1)0.联立得：a 亘逢，b旦.故H(立，豆),4444由媪|(g2 3激1出得:tanA幽*2.V 442AH V3 124、解：(I)由直三棱柱的定义知 BiCiXBiD,又因为/ ABC = 90° ,因此 BiCiXAiBi,从而BiCi,平面 AiBiD,得 BiCiXBiEo 又 BiEXAiD,1 .4故BiE是异面直线 BiCi与AiD的公垂线，由BD BB1知

19、B1D -,33 2在 RtAAB1D 中，A2D = JA1 B12""B1D2 11 -5.33又因 SA A1B,D1-A1B1 B1D21-A1D - B1E.故 BiE= 2A1B1B1DA1D4 1 _353ABDE ,即BC为四棱锥c-abdeBiCi,平面 AiBiD,又 BC/B1C1,故 BCL平面的高。从而所求四棱锥的体积V为V = Vc-abde= BC,3其中S为四边形abde的面积。如答19)图1 ,过E作EFXBD,垂足为F。在 Rt4BED 中，ED=JBD2 B1E2224416,35151又因 &bied=B1E DE213一B1

20、D EF,故 2EF=B1E DEB1D1625因AiAE的边AiA上的高h A1B1ef169拓1 ,故25 25c1 “ “ ，SAaiae= - A1A , h2225925II又因为Sa A1BD= 1A1B1 B1D214 2-9 2 ,从而 S= Sa1ae-Saa1ae-Saa1b1d = 2所以V5、解：(1) 于D.由已知而BDL平面1 S BC3如答(20)1 73 33 75 2图，过点2337325150B' C/A' A 且使 B' C=A' A.过点 B 作 BDCB'2733 75，交CB'的延长线AA' &

21、#177; l,可得 DB' ±l,又已知BB' ±l,故"平面 BB' D,得BDl又因BDCB',从 a ,BD之长即为点B到平面a的距离.因B' CL 且BB' ±l,故/ BB' C为二面角a-l- §的平面角.由题意，/ BB' C=2一.，.彳.因此在 RtABB D 中，BB =2, / BB D=兀-/BB C=§,BD=BB sinBB D(n)连接 AC、BC.因 B' C/A' A, B' C=A ' A,AA 

22、9;，l,知 A' ACB'为矩形，故 AC/ l.所以/ BAC 或 其补角为异面直线l与AB所成白角.2 在ABB C中，B B=2, B C=3, Z BB C=,则由余弦定理，3BC= .BBB-C2B'C?cosBB'C,19.因BD 平面 ，且DC CA,由三策划线定理知 AC BC.,BC故在 ABC 中，/BCA=5，sinBAC= 195.因此，异面直线l与AB所成的角为19arcsin56、解(I) 'AB |dC,DC 平面EFCD, AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离，过点A作AGFD 于 G,因 BAD AB /

23、DC ,故 CD2AD ；又：FA 平面ABCD ,由三垂线定理可知，CD FD ,故CD 面FAD ,知CD AG ,所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离。在 RtAABC 中，FD JFC2 CD2由FA 平面ABCD ,得FA AD,从而在 RtA FAD,FA .FD2 AD2.54 1ABFEs FA AD 2AG _FD ,52 5。即直线AB到平面EFCD的距离为5(n)由己知， FA 平面ABCD,得FA AD,又由 BAD 2DA AE ,所以,FAE为二面角F ADE的平面角，记为在 RtAED 中，AEED2 AD2在 RtAEF 中，FE.AE2 AF2一 3一1所

24、以二面角F AD E的平面角的正切值为2.5o5，知 AD AB ,故 AD73,由ABCD 得，FE BA,从而 AFE,FEv2 ,故 tanFA2.平面7、（I）证明：，由 PA，底面 ABCD ,得 PAX AB ,由 PA=AB 知 PAB为等腰直角三角形，又点 E是棱PB的中点，故AEXPB由题意知 BCXAB ,又AB是PB在面ABCD内的射影，由垂线定理得 BCXPB,从而PC,平面PAB,因 AEBP, AE ±BC ,所以 AEL平面 PBC。（II）解：由（I）知 BCL平面 PAB,又 ADBC ,得 AD，平面 PAB,故 AD ± AE o1 1

25、 O O .在 Rt PAB 中，PA=AB= J2 , AE PB - <PA2 AB2 1.2 2从而在Rt CBE中,CE JBE2 BC2 V2.又CD J2 ,所以 CED为等边三角形,取CE的中点F,连接DF,则DF CE.因BE=BC=1 ,且BCLBE,则 EBC为等腰直角三角形，连接 BF,则BFXCE,所以 BFD为所求的二面角的平面角。连接BD,在 RFD中,DF八.61 -CD sin , BF CE3222 222,BDBC2 CD22.3.所以cosBFD222DF BF BD2 DF BF故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为,338、解法一：（I）如答（2

26、0）图1,过D作DFLAC垂足为F, 故由平面 ABC，平面 ACD ,知DFL平面 ABC ,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点,则由AC=AD，知AG，CD ,从而AG .AC2 CG2:22 （1）2 -15.由1 AC DF 1CD AG得DF AG CD22ACRt ABC中,AB VAC"BC" 33,11_3S ABC AB BC .ABC 221故四面体ABCD的体积V 1 SABC DF（II）如答（20）图1,过F作FEXAB ,垂足为E,连接DE。由（I）知DF,平面ABC。由三垂线定 理知DE XAB ,故/ DEF为二面角

27、C-AB-D的平面角。在 Rt AFD 中,AF AD2 DF2 J22 (f5)274,在 Rt ABC 中，EF/BC ,从而 EF:BC=AF : AC,所以EFAF BC 7AC 8DF在 RtADEF 中，tanDEF EF2、i57解法二：(I)如答(20)图2,设。是AC的中点，过。作OHLAC,交AB于H,过。作OMLAC设点2Xi2Xi即点0), C (0B的坐标为yi2 i, (yi i)2的坐标为又设点(y2(y2即点Di, 0)。B(x,yi,o),解得1,yi由AB BC,| bC| i,有3 iB(万 5。).2i 2,XiyiD 的坐标为 D(0, y2, Z2)

28、,由 | CD |i)2 z2i)2 z2的坐标为V24,34,i54V2Z21,1AD| 2,有34(舍去).i543 .i5 tD (0,).从而4 4ACDDM7bB32，(舍去). i2,i5边AC上的高为h | z2 |4交AD于M,由平面 ABC，平面ACD,知OHOM。因此以。为原点，以射线 OH, OC, OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系 Oxyz.已知AC=2 ,故点A, C的坐标分别为 A (0,224AB| 彘 |h -(I)2 g 1)2A|TC| 1.故四面体(II)由(I)知点 T2,0),w (0,4,45).设非零向量n (l,m,n)是平面

29、ABD的法向量，则由 n3.3l -m0.(1)i5 c n 0.(2) _i i ,ABCD的体积V - - |3 27 15由(1), (2),可得 l V3,n 二一15，即n 电,1,75).15显然向量k （0,0,1）是平面ABC的法向量，从而cos n, k7.15_757.109 切 ,15，故 tan n, k49109151 49_1092157.109即二面角CAB D的平面角的正切值为2 1579、（ I ）如答（20）图1,因AC=BC D为AB的中点，故CD AB又直三棱柱 中，CCi 面ABC ,故CCi CD ,所以异面直线CCi和 AB的距离为 CD=.BC2

30、 BD2.5（H ）：由 CD AB,CD BB1,故 CD 面 A1ABB1, 从而 CD DA1, CD DB1 故ADBi为所求的二面角 A cd Bi的平面角。因AD是AC在面A1ABB1上的射影，又已知 ABi AC,由三垂线定理的逆定理得 AB1 A1D,从而 A1AB1, ADA 者B 与 B1AB 互余，因止匕 A1AB1 ADA,所以 RtAAD 二Rt|B1AA,因此丛 人且得AA2 AD ABi 8.AD AA1从而 AD=.AA2 AD2 2%3,BD AiD 2 3222,所以在MdBi中，由余弦定理得COSA1DB1 AdDB胆 -12AD DBi310、（1）证明：因BG= CD,即BCM等腰三角形，又/AC氏 /AGD