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文档简介
1、重庆市高考真题立体几何(文)一、选择题1、(2004.08文)不同直线 m,n和不同平面,给出下列命题:(m/m/nn/ m/3)m/A 0个;其中假命题有:2、(2004.12文)如图,棱长为 5的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的边长为1的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积 (含孔内各面)是:(A 258 B 234 C 222 D 210)3、(2005.07文理)对于不重合的两个平面与,给定下列条件:;存在直线l ,直则下列选择方案中,能够完成任务的为()(A)模块,(B)模块,(C)模块,(D)模块,8、(2009.09文)在正四棱柱ABCDAB1C1D1中,顶点Bi到对角线BD
2、i和到平面ABCDi的距离分别为h和d ,则下列命题中正确的是()A.若侧棱的长小于底面的变长,则 h的取值范围为(0,1) d存在平面,使得a、3都垂直于;存在平面,使得a、3都平行于线m ,使得l m ;存在异面直线1、m,使得l ,l / ,m/ , m/ .其中,可以判定a与3平行的条件有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、(2005文10)有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各连接中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是()A. 4B.
3、5 C. 6 D. 75、(2006.04文)若P是平面 外一点,则下列命题正确的是()(A)过P只能作一条直线与平面相交(B)过P可作无数条直线与平面垂直(C)过P只能作一条直线与平面平行(D)过P可作无数条直线与平面平行6、(2007.03文)垂直于同一平面的两条直线()(A)平行(B)垂直(C)相交(D)异面7、(2008. 11文)如题(11)图,模块均由 4个棱长为1的小正方体构成,模块由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块-中选出三个放到模块上,使得模块成为一个棱长为3的大正方体B.若侧棱的长小于底面的变长,则h的取值范围为(2,22) d23C.若侧棱的长大于底面的变长,则h的
4、取值范围为(手,万)D.若侧棱的长大于底面的变长,则h的取值范围为(2黄,)9、(2010.文09)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A、只有1个 B恰有3个(C)恰有4个 (D)有无穷多个10、(2011文10)高为J2的四棱锥S ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半彳仝为1的同一球面上,则底面 ABCD的中心与顶点S之间的距离为()11、(2012文9)设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1, 22 和 a且长为a的棱与长为 的棱异面,则aD.(1,3)的取值范围是A. (0, 2) B.(0,、3) C.(1, 2)12、(2013文8)某几何体的三
5、视图如图所示,则该几何体的表面积为().A. 180 B .200 C . 220 D . 24013、(2014文7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()I*-,T r ?A. 12B. 18C. 24D. 30、填空题1、(2004.15文)毛泽东在送瘟神中写到:“坐地日行八万里”.又知地球的体积大约是火星的8倍,则火星的大圆周长约 万里.三、解答题1、(04文19)如图,四棱锥 P-ABCD的底面是正方形,PA 底面 ABCD,AE PD,EF/CD,AM EF(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;(2) 若PA 3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.2、(0
6、5文20)如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为矩形,一点,PELEC.已知 PD 寸万CD 2, AE L 求 2(I )异面直线 PD与EC的距离;PDL底面 ABCD , E是AB上(n )二面角 E-PC-D的大小.3、(06文20)如图,在正四棱柱 ABCD AB1C1D1中,AB1,BB1 J3 1 , E 为 BB上使 B1E 1 的点。平面 AEC1交DD1于F ,交A1D1的延长线于G ,求:(I)异面直线 AD与CiG所成角的大小;(n)二面角 A C1G A的正切值;4、(07 文 19)如图,在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中,/ ABC= 90°
7、, AB=1,BC= 3 ,AA2=2;点 D 在棱 BBi 上,2BD=BBi; B1EXA1D,垂足为 E,求: 3(I )异面直线 AiD与BiCi的距离;(n)四棱锥C-ABDE的体积。5、( 08 文 20)如图, 和为平面,l,AAA' =3, BB2=2.若二面角l 的大小为一3(I )点B到平面的距离;(n )异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示)6、(09文18)如图,在五面体ABCDEF中,AB / DC ,BADCD AD 2,四边形 ABFE7、(2010文20)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA 底面 ABCD , PA AB 也,为平行
8、四边形,FA 平面ABCD, FC 3, ED J7 求:(I)直线 AB到平面EFCD的距离;(n)二面角F AD E的平面角的正切值.点E是棱PB的中点.(I)证明:AE 平面PBC ;(n)若 AD 1,求二面角B EC D的平面角的余弦值8、(2011文20)如图,在四面体ABCD中,平面ABC,平面ACD ,ABBC, AC AD 2, BC CD 1(I )求四面体 ABCD的体积;(n)求二面角 C-AB-D的平面角的正切值。9 (2012文科20)(本小题满分12分,(I)小问4分,(II)小问8分)如图(20),在直三棱柱 ABC A1B1C1中,AB=4 , AC=BC=3
9、 , D为AB的中点。(I )求异面直线 CG和AB的距离;(口)右 AB _L AC,求一1面角 A1 CD B1的平面角的余弦值。第(20)题10、(2013重庆,文19)(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分.)如图,四棱锥 P ABCDKPA1底面 ABCD PA 2察,BC= CD= 2, / ACB= Z ACID= - ./3J求证:BDL平面PAC(2)若侧棱PC上的点F满足PF= 7FC,求三棱锥 P- BDF的体积.411、(12分)(2014?重庆)如图,四棱锥P- ABCD中,底面是以。为中心的菱形,POL底面ABCD , AB=2 ,n/ BAD= -77
10、M为BC上一点,且BM=.2.(I )证明:BCL平面POM ;(II)若MPLAP,求四棱锥 P-ABMO 的体积.立体几何(文)参考答案、选择题1、D 2、C 3、B 4、C 二、填空题5、D 6、A 7、A 8、C 9、D 10、A 11、A 12、D 13、C1、4三、解答题1、(I)证明:因PAL底面,有 故ABL面PAD,推得PAX AB ,又知 AB ±AD , BA ± AE ,又 AM / CD / EF,且 AM=EF , 证彳A AEFM是矩形,故AM IMF.又因 AE± PD, AE ±CD,故 AE PCD, 而 MF / A
11、E ,得 MF,面 PCD,故 MFXPC, 因此MF是AB与PC的公垂线.(II)解:因由(I)知 AE ±AB ,又 AD ±AB ,故/ EAD是二面角 E-AB-D的平面角. 设AB=a ,则PA=3a. 因 RtAADERt APDA 故 / EAD= ZAPDAD因此 sin EAD sin APD PDa,'a2 (3a)210102、解法一:(I)因PDL底面,故 PDXDE,又因ECXPE,且DE 是PE在面ABCD内的射影,由三垂直线定理的逆定理知 EC± DE,因此 DE是异面直线 PD与EC的公垂线.x CD -设DE=x,因DAE
12、sced,故 ,即x21,x1 (负根舍去).AE x从而DE=1,即异面直线 PD与EC的距离为1.(II)过 E作EGXCD交CD于G,作GHXPC交PC于H ,连接EH.因PDL底面, 故 PDLEG,从而 EG上面 PCD.因GH LPC,且GH是EH在面PDC内的射影,由三垂线定理知 因此/ EHG为二面角的平面角.在面 PDC 中,PD= <2 , CD=2, GC=2 - 3,22EHL PC.B因 PDCs GHC,故 GHCG PD PC,3又 EG . DE2 DG221 21(2)故在 Rt EHG 中,GH EG,因此 EHG -, 4即二面角E-PC-D的大小为
13、一.4解法二:(I)以D为原点,DA、DC、DP分别为x、v、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 D (0, 0, 0), P (0, 0, J2),C (0, 2, 0)设 A(x,0,0)(x 0),则B(x,2,0),11: 一 3E(x,-,0), PE (x, , <2),CE (x, ,0).由 PE CE 得 PECE 0, 222即 x? 0,故x .由 DE CE (, ,0) (-, ,0) 0得DE CE ,422 222又PD, DE ,故DE是异面直线PD与CE的公垂线,易得| DE | 1 ,故异面直线 PD、CE的距离为1.(n)作 DG ± PC
14、,可设 G (0, v, z).由 DG PC 0 得(0, y,z) (0,2,0即 z V2y,故可取 DG(0,1,72),作EF,PC于F,设F(0, m, n),则 EF ( ,m 1 ,n). 22由 EF PC 0得(,m -,n) (0,2,拈 0,即 2m 172n 0, 22又由 F在 PC上得 nm ¥2,故m 1, n , EF( , , ).222 2 2因EF PC,DG PC,故平面EPCD的平面角 的大小为向量EF与DG的夹角.故cos -DG_EF2,即二面角E PCD的大小为一.| DG | EF |2443、解法一:(I)由AD/D1G知 C1G
15、D1为异面直线 AD与CG所成角.(如图1)连接CiF .因为AE和CiF分别是平行平面 ABB1A1和CCiDiD与平面AECG勺交线所以AE C1F ,由此得D1F BF 的再由FDG N FDA DG 亚在Rt C1D1G中,由JD1 = 1 得 C1GD 6(n)作D1H C1G于H,由三垂线定理知 FH GG,故 RHF为二面俗-CG-D即二面角A C1G A的平面角在Rt HDiG中,由DiG=/3, HGD 得DiH 立.从而 tanDiHF _DF £ 2.62DiH 虫T解法二:(I)由AD/D1G知 CGD为异面直线 AD与C1G所成角.(如图2)因为EC洵 AF
16、是平行平面BB1cle与平面AADD与平面AECG勺交线,所以 EC1AF,由此得 AGA1EC1B1 , AG AA J3 1 D1G J3.4在Rt C1D1G中,由 6口=1 得 GGD 6(n)在 AC1G中,由 GAG,A£C二一知 AC1G为钝角。46作AH GC1交GC1的延长线于H,连接AH,由三垂线定理知GH AH,故 A1HA为二面角A-GG-A的平面角.在Rt ahg中,由AG=/3 1, hga 得Ah Y3. 62从而 tan AHA Aa3 1 2.1AH3 12解法三:(I)以A1为原点,A1B1,A1D1, A1A所在直线分别为系,于是,A(0,0,
17、-3 1),C1(1,1,0), D(0,1,、3 1),E(1,0,1),AD (0,1,0), EC1 (0,1, 1).因为 EC1 和 AF 是平行平面(0,y,0),则(0,y, 1 ,3)由 EG A,11y 1 、 3x、v、z轴建立如图3所示的空间直角坐标BBC。口AADDf平面AECG勺交线,所以EC1 / AF ,设于是y 邪 1.故G(0,1 73,0), CG ( 1,J3,0).设异面直线AD与C£所成的角的大小为贝 U:cosaD CGADl C1g,从而一26(n)作 ahH (a,b,0),则:AHC1G H,由三垂线定理知 GH AH,故 AHA为二
18、面角A-C1G-A1的平面角.设(a,b,0),C1H(a 1,b 1,0).由 AHCiG 得:IICH C1g 0,由此得a-有b=0.C又由H,C1,G共线得C1H/C1G,享,于是73a 3b (J3 1)0.联立得:a 亘逢,b旦.故H(立,豆),4444由媪|(g2 3激1出得:tanA幽*2.V 442AH V3 124、解:(I)由直三棱柱的定义知 BiCiXBiD,又因为/ ABC = 90° ,因此 BiCiXAiBi,从而BiCi,平面 AiBiD,得 BiCiXBiEo 又 BiEXAiD,1 .4故BiE是异面直线 BiCi与AiD的公垂线,由BD BB1知
19、B1D -,33 2在 RtAAB1D 中,A2D = JA1 B12""B1D2 11 -5.33又因 SA A1B,D1-A1B1 B1D21-A1D - B1E.故 BiE= 2A1B1B1DA1D4 1 _353ABDE ,即BC为四棱锥c-abdeBiCi,平面 AiBiD,又 BC/B1C1,故 BCL平面的高。从而所求四棱锥的体积V为V = Vc-abde= BC,3其中S为四边形abde的面积。如答19)图1 ,过E作EFXBD,垂足为F。在 Rt4BED 中,ED=JBD2 B1E2224416,35151又因 &bied=B1E DE213一B1
20、D EF,故 2EF=B1E DEB1D1625因AiAE的边AiA上的高h A1B1ef169拓1 ,故25 25c1 “ “ ,SAaiae= - A1A , h2225925II又因为Sa A1BD= 1A1B1 B1D214 2-9 2 ,从而 S= Sa1ae-Saa1ae-Saa1b1d = 2所以V5、解:(1) 于D.由已知而BDL平面1 S BC3如答(20)1 73 33 75 2图,过点2337325150B' C/A' A 且使 B' C=A' A.过点 B 作 BDCB'2733 75,交CB'的延长线AA' &
21、#177; l,可得 DB' ±l,又已知BB' ±l,故"平面 BB' D,得BDl又因BDCB',从 a ,BD之长即为点B到平面a的距离.因B' CL 且BB' ±l,故/ BB' C为二面角a-l- §的平面角.由题意,/ BB' C=2一.,.彳.因此在 RtABB D 中,BB =2, / BB D=兀-/BB C=§,BD=BB sinBB D(n)连接 AC、BC.因 B' C/A' A, B' C=A ' A,AA
22、9;,l,知 A' ACB'为矩形,故 AC/ l.所以/ BAC 或 其补角为异面直线l与AB所成白角.2 在ABB C中,B B=2, B C=3, Z BB C=,则由余弦定理,3BC= .BBB-C2B'C?cosBB'C,19.因BD 平面 ,且DC CA,由三策划线定理知 AC BC.,BC故在 ABC 中,/BCA=5,sinBAC= 195.因此,异面直线l与AB所成的角为19arcsin56、解(I) 'AB |dC,DC 平面EFCD, AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离,过点A作AGFD 于 G,因 BAD AB /
23、DC ,故 CD2AD ;又:FA 平面ABCD ,由三垂线定理可知,CD FD ,故CD 面FAD ,知CD AG ,所以AG为所求直线AB到面EFCD的距离。在 RtAABC 中,FD JFC2 CD2由FA 平面ABCD ,得FA AD,从而在 RtA FAD,FA .FD2 AD2.54 1ABFEs FA AD 2AG _FD ,52 5。即直线AB到平面EFCD的距离为5(n)由己知, FA 平面ABCD,得FA AD,又由 BAD 2DA AE ,所以,FAE为二面角F ADE的平面角,记为在 RtAED 中,AEED2 AD2在 RtAEF 中,FE.AE2 AF2一 3一1所
24、以二面角F AD E的平面角的正切值为2.5o5,知 AD AB ,故 AD73,由ABCD 得,FE BA,从而 AFE,FEv2 ,故 tanFA2.平面7、(I)证明:,由 PA,底面 ABCD ,得 PAX AB ,由 PA=AB 知 PAB为等腰直角三角形,又点 E是棱PB的中点,故AEXPB由题意知 BCXAB ,又AB是PB在面ABCD内的射影,由垂线定理得 BCXPB,从而PC,平面PAB,因 AEBP, AE ±BC ,所以 AEL平面 PBC。(II)解:由(I)知 BCL平面 PAB,又 ADBC ,得 AD,平面 PAB,故 AD ± AE o1 1
25、 O O .在 Rt PAB 中,PA=AB= J2 , AE PB - <PA2 AB2 1.2 2从而在Rt CBE中,CE JBE2 BC2 V2.又CD J2 ,所以 CED为等边三角形,取CE的中点F,连接DF,则DF CE.因BE=BC=1 ,且BCLBE,则 EBC为等腰直角三角形,连接 BF,则BFXCE,所以 BFD为所求的二面角的平面角。连接BD,在 RFD中,DF八.61 -CD sin , BF CE3222 222,BDBC2 CD22.3.所以cosBFD222DF BF BD2 DF BF故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为,338、解法一:(I)如答(2
26、0)图1,过D作DFLAC垂足为F, 故由平面 ABC,平面 ACD ,知DFL平面 ABC ,即DF是四面体ABCD的面ABC上的高,设G为边CD的中点,则由AC=AD,知AG,CD ,从而AG .AC2 CG2:22 (1)2 -15.由1 AC DF 1CD AG得DF AG CD22ACRt ABC中,AB VAC"BC" 33,11_3S ABC AB BC .ABC 221故四面体ABCD的体积V 1 SABC DF(II)如答(20)图1,过F作FEXAB ,垂足为E,连接DE。由(I)知DF,平面ABC。由三垂线定 理知DE XAB ,故/ DEF为二面角
27、C-AB-D的平面角。在 Rt AFD 中,AF AD2 DF2 J22 (f5)274,在 Rt ABC 中,EF/BC ,从而 EF:BC=AF : AC,所以EFAF BC 7AC 8DF在 RtADEF 中,tanDEF EF2、i57解法二:(I)如答(20)图2,设。是AC的中点,过。作OHLAC,交AB于H,过。作OMLAC设点2Xi2Xi即点0), C (0B的坐标为yi2 i, (yi i)2的坐标为又设点(y2(y2即点Di, 0)。B(x,yi,o),解得1,yi由AB BC,| bC| i,有3 iB(万 5。).2i 2,XiyiD 的坐标为 D(0, y2, Z2)
28、,由 | CD |i)2 z2i)2 z2的坐标为V24,34,i54V2Z21,1AD| 2,有34(舍去).i543 .i5 tD (0,).从而4 4ACDDM7bB32,(舍去). i2,i5边AC上的高为h | z2 |4交AD于M,由平面 ABC,平面ACD,知OHOM。因此以。为原点,以射线 OH, OC, OM分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,可建立空间坐标系 Oxyz.已知AC=2 ,故点A, C的坐标分别为 A (0,224AB| 彘 |h -(I)2 g 1)2A|TC| 1.故四面体(II)由(I)知点 T2,0),w (0,4,45).设非零向量n (l,m,n)是平面
29、ABD的法向量,则由 n3.3l -m0.(1)i5 c n 0.(2) _i i ,ABCD的体积V - - |3 27 15由(1), (2),可得 l V3,n 二一15,即n 电,1,75).15显然向量k (0,0,1)是平面ABC的法向量,从而cos n, k7.15_757.109 切 ,15,故 tan n, k49109151 49_1092157.109即二面角CAB D的平面角的正切值为2 1579、( I )如答(20)图1,因AC=BC D为AB的中点,故CD AB又直三棱柱 中,CCi 面ABC ,故CCi CD ,所以异面直线CCi和 AB的距离为 CD=.BC2
30、 BD2.5(H ):由 CD AB,CD BB1,故 CD 面 A1ABB1, 从而 CD DA1, CD DB1 故ADBi为所求的二面角 A cd Bi的平面角。因AD是AC在面A1ABB1上的射影,又已知 ABi AC,由三垂线定理的逆定理得 AB1 A1D,从而 A1AB1, ADA 者B 与 B1AB 互余,因止匕 A1AB1 ADA,所以 RtAAD 二Rt|B1AA,因此丛 人且得AA2 AD ABi 8.AD AA1从而 AD=.AA2 AD2 2%3,BD AiD 2 3222,所以在MdBi中,由余弦定理得COSA1DB1 AdDB胆 -12AD DBi310、(1)证明:因BG= CD,即BCM等腰三角形,又/AC氏 /AGD
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