余弦定理及其应用（精编版）

1、.余弦定理与其应用 教学目标 知识与技能目标 (1) 了解并掌握余弦定理与其推导过程(2) 会利用余弦定理来求解简单的斜三角形中有关边、角方面的问题(3) 能利用计算器进行简单的计算（反三角） 过程与能力目标 (1) 用向量的方法证明余弦定理，不仅可以表达向量的工具性，更能加深对向量知识应用的认识(2) 通过引导、启发、诱导学生发现并且顺利推导出余弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力 情感与态度目标 通过三角函数、 余弦定理、 向量数量积等知识间的联系，来表达事物之间的普遍联系与辩证统一 教学重点 余弦定理的证明与应用 教学难点 (1) 用向量知识证明余弦定理

2、时的思路分析与探索(2) 余弦定理在解三角形时的应用思路 教学过程 一、引入问：在 rt abc中，若 c=90 0 ，三边之间满足什么关系？cba4 / 5答： c2a 2b 2acb问：若 c 90 0 ，三边之间是否还满足上述关系？答：应该不会有了！ 问：何以见得？答：假如a, b 不变，将 a、b 往里压缩，则 c 90 0 ，且 c 2a 2b 2 ；同理，假如a, b 不变，将 a、b 往外拉伸，则 c 900 ，且 c 2a 2b 2 师：非常正确！那么，这样的变化有没有什么规律呢？c 答：规律肯定会有，否则，您就不会拿它来说事了ba 问：仔细观察，然后想想，到底会有什么规律呢？

3、答：有点象向量的加法或减法，bca 或 aacbbc 探求设 abc的三边长分别为ca,b,c ，ba由于 acabbcacbac? ac2( abbc) ?( abbc)即acab? ab2 ab? bcbc? bc2b2ab2 ab2bc cos(1800b)bcc22accosba 2即b2a2c22accosb问：仔细观察这个式子，你能否找出它的在特点？答：能！式子中有三边一角，具体包括如下三个方面： 第一、左边是什么边，右边就是什么角；第二、左边有什么边，右边就没有什么边； 第三、边是 平方和，乘积那里是“ 减号”师：很好！那么，你能否仿照这个形式写出类似的另外两个？答：可以！它们是

4、： a 2b2c 22bc cos a 和c2a 2b 22abc cos c 总结 这就是我们今天要讲的余弦定理，现在，让我们来继续研究它的结构特点以与其应用问题 板书课题余弦定理与其应用二、新课（一）余弦定理的文字表述：三角形的任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 .（二）余弦定理的另一种表述形式：b 2c 2a 2a 2c2b2a 2b2c2cos a2bc（三）归纳； cosb2ac； cosc2ab1. 熟悉定理的结构，注意“平方” “夹角”“余弦”等；2. 每个式子中都有四个量，知道其中的三个就可以求另外的一个；3. 当夹角为090（即三角形为直角

5、三角形）时即为勾股定理( 特例) （四）余弦定理的适用围1. 已知三边求角；2. 已知两边与其夹角求第三边三、应用例 1在 abc中，已知 a7, b5, c3 ，求这个三角形的最大角 分析 根据大边对大角 的原则，知： a 为最大解： 由abcabc ，b 2c2a 2259491cos a， a=120 0 ，2bc25320即该三角形的最大角等于120练习 1已知 abc的三边长分别是a3,b4,c37 ，求三角形的最大角答案：120 0 思考： 已知abc的三边长为a， b，c，如何判断该三角形的形状 ？提示：求出与最大边相对应的角的余弦值，再与0 进行比较，判定标准如下：若 0，则为

6、锐角三角形；若=0，则为直角三角形；若 0，则为钝角三角形例 2在 abc中， a23 , c62 , b,求b 与 a4 分析 已知两边夹角，可以用公式b 2a 2c22ac cos b 直接求出 b ；然后用2公式 cos ab2c 22bca即可求出角 a解： 由b 2a 2c22ac cos b 得：22b(23 )(622 )223(62 ) cos48, 解得 b22 ；又 cos ab 2c2a 22bc(22) 22(622(2) 26(23) 21，2)2a=3 例 3已知 abc中，a : b : c2 :6 : (31) ，解此三角形 分析 知道边的比值，可以设其公约数为

7、k, 因为，在后面的运算中又可以同时约分将其约掉，原则上一般先求最小的角；当然，也可以先求最大的角解法一： 设其三边的公约数为k，则 a2k,b6k, c(31)k ，b 2c 2a 2(6k) 2(31) k2(2k)22由 cos a2bc得cos a26k(31) k2 a450 ；a 2c2b 2( 2k) 2(31)k 2(6k) 21由 cos b得cos b，2ac22k(31) k2b= 600 ；因此 c=1800( ab)1800(450600 )750 解法二： 设其三边的公约数为k，则 a2k,b6k, c(31)k ，2由cosca 2b 22abc得 cosc(2k

8、) 2(6k) 222k(36k1)k 2即 cosc624，（此时可用计算器的第二功能求62 的反余弦）4又因为624232122220000cos45cos30sin 45sin 30 c=750 ；cos(450300 )cos 750a 2c2b 2( 2k) 2(31)k 2(6k) 21由 cos b00002ac得cos b22k(31) k2 ，00b= 60； a=180( bc)180(6075 )45 例 4已知 abc中， a1200 , a7,bc8, 求b, c及b 分析 这种题型一般都要归结为解方程组22解： 由a 2b 2c 22bc cos a 得 72b 2

9、c22bc cos120 0 ，即b 2c2bc49(bc)bc49bc84915 ，bc8b5b3由或，分类讨论如下：bc15c3c5.当 b5 时， a7,c3 ，由 cosba 2c 22acb 2得：cos b7232522731114b38.2 0当 b3 时， a7,c5 ，由 cosba 2c 22acb 2得：cos b7252322751314b21.80即 b5, c3, b38.20 或 b3, c5, b21.80练习 2在 abc中， ac2b, ac8, ac15 ，求 b 提示 ： b60 0 , b 2a 2c 22accos b(ac) 23ac19 , b19 练习 3在棱长为 1 的正方体 abcda1b1c1 d1 中， m、n分别为 a1b1 与 bb1 的中点，那么直线am与 cn所成角的余弦值是 ()(a)