新试卷2019年中考数学真题分类训练——专题二十：几何探究型问题

1、2019年中考数学真题分类训练专题二十：几何探究型问题1（2019重庆a卷）如图，在平行四边形abcd中，点e在边bc上，连结ae，emae，垂足为e，交cd于点m，afbc，垂足为f，bhae，垂足为h，交af于点n，点p是ad上一点，连接cp（1）若dp=2ap=4，cp，cd=5，求acd的面积（2）若ae=bn，an=ce，求证：adcm+2ce解：（1）作cgad于g，如图1所示：设pg=x，则dg=4-x，在rtpgc中，gc2=cp2-pg2=17-x2，在rtdgc中，gc2=cd2-gd2=52-（4-x）2=9+8x-x2，17-x2=9+8x-x2，解得：x=1，即pg=

2、1，gc=4，dp=2ap=4，ad=6，sacdad×cg6×4=12（2）证明：连接ne，如图2所示：ahae，afbc，aeem，aeb+nbf=aeb+eaf=aeb+mec=90°，nbf=eaf=mec，在nbf和eaf中，nbfeaf，bf=af，nf=ef，abc=45°，enf=45°，fc=af=bf，ane=bcd=135°，ad=bc=2af，在ane和ecm中，aneecm，cm=ne，又nfnemc，afmc+ec，admc+2ec2（2019广州）如图，等边abc中，ab=6，点d在bc上，bd=4，点e

3、为边ac上一动点（不与点c重合），cde关于de的轴对称图形为fde（1）当点f在ac上时，求证：dfab；（2）设acd的面积为s1，abf的面积为s2，记s=s1-s2，s是否存在最大值？若存在，求出s的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当b，f，e三点共线时求ae的长解：（1）证明：abc是等边三角形，a=b=c=60°，由折叠可知：df=dc，且点f在ac上，dfc=c=60°，dfc=a，dfab（2）存在，如图，过点d作dmab交ab于点m，ab=bc=6，bd=4，cd=2df=2，点f在以d为圆心，df为半径的圆上，当点f在dm上时，sabf最小，bd=4

4、，dmab，abc=60°，md=2，sabf的最小值6×（22）=66，s最大值2×3（66）=-36（3）如图，过点d作dgef于点g，过点e作ehcd于点h，cde关于de的轴对称图形为fde，df=dc=2，efd=c=60°，gdef，efd=60°，fg=1，dgfg，bd2=bg2+dg2，16=3+（bf+1）2，bf1，bg，ehbc，c=60°，ch，ehhcec，gbd=ebh，bgd=bhe=90°，bgdbhe，ec1，ae=ac-ec=73（2019安徽）如图，rtabc中，acb=90°

5、;，ac=bc，p为abc内部一点，且apb=bpc=135°（1）求证：pabpbc；（2）求证：pa=2pc；（3）若点p到三角形的边ab，bc，ca的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3证明：（1）acb=90°，ab=bc，abc=45°=pba+pbc，又apb=135°，pab+pba=45°，pbc=pab，又apb=bpc=135°，pabpbc（2）pabpbc，在rtabc中，ab=ac，pa=2pc（3）如图，过点p作pdbc，peac交bc、ac于点d，e，pf=h1，pd=h2，pe=

6、h3，cpb+apb=135°+135°=270°，apc=90°，eap+acp=90°，又acb=acp+pcd=90°，eap=pcd，rtaeprtcdp，即，h3=2h2，pabpbc，即：h12=h2·h34（2019深圳）已知在平面直角坐标系中，点a（3，0），b（-3，0），c（-3，8），以线段bc为直径作圆，圆心为e，直线ac交e于点d，连接od（1）求证：直线od是e的切线；（2）点f为x轴上任意一动点，连接cf交e于点g，连接bg当tanacf时，求所有f点的坐标_（直接写出）；求的最大值解：（1）证

7、明：如图1，连接de，bc为圆的直径，bdc=90°，bda=90°，oa=ob，od=ob=oa，obd=odb，eb=ed，ebd=edb，ebd+obd=edb+odb，即ebo=edo，cbx轴，ebo=90°，edo=90°，点d在e上，直线od为e的切线（2）如图2，当f位于ab上时，过f作f1nac于n，f1nac，anf1=abc=90°，anfabc，ab=6，bc=8，ac10，即abbcac=6810=345，设an=3k，则nf1=4k，af1=5k，cn=ca-an=10-3k，tanacf，解得：k，即f1（，0）如

8、图3，当f位于ba的延长线上时，过f2作f2mca于m，amf2abc，设am=3k，则mf2=4k，af2=5k，cm=ca+am=10+3k，tanacf，解得：，af2=5k=2，of2=3+2=5，即f2（5，0），故答案为：f1（，0），f2（5，0）方法1：如图4，cb为直径，cgb=cbf=90°，cbgcfb，bc2=cg·cf，cf，cg2+bg2=bc2，bg2=bc2-cg2，令y=cg2（64-cg2）=-cg4+64cg2=-（cg2-32）2-322=-（cg2-32）2+322，当cg2=32时，此时cg=4，方法2：设bcg=，则sin，co

9、s，sincos，（sin-cos）20，即：sin2+cos22sincos，sin2+cos2=1，sincos，即，的最大值5（2019宁夏）如图，在abc中，a=90°，ab=3，ac=4，点m，q分别是边ab，bc上的动点（点m不与a，b重合），且mqbc，过点m作bc的平行线mn，交ac于点n，连接nq，设bq为x（1）试说明不论x为何值时，总有qbmabc；（2）是否存在一点q，使得四边形bmnq为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形bmnq的面积最大，并求出最大值解：（1）mqbc，mqb=90°，mqb=cab，又qbm=abc，qbmabc

10、（2）当bq=mn时，四边形bmnq为平行四边形，mnbq，bq=mn，四边形bmnq为平行四边形（3）a=90°，ab=3，ac=4，bc5，qbmabc，即，解得，qmx，bmx，mnbc，即，解得，mn=5x，则四边形bmnq的面积（5x+x）x（x）2，当x时，四边形bmnq的面积最大，最大值为6（2019江西）在图1，2，3中，已知abcd，abc=120°，点e为线段bc上的动点，连接ae，以ae为边向上作菱形aefg，且eag=120°（1）如图1，当点e与点b重合时，cef=_°；（2）如图2，连接af填空：fad_eab（填“>”

11、“<”“=”）；求证：点f在abc的平分线上（3）如图3，连接eg，dg，并延长dg交ba的延长线于点h，当四边形aegh是平行四边形时，求的值解：（1）四边形aefg是菱形，aef=180°-eag=60°，cef=aec-aef=60°，故答案为：60°（2）四边形abcd是平行四边形，dab=180°-abc=60°，四边形aefg是菱形，eag=120°，fae=60°，fad=eab，故答案为：=证明：如图，作fmbc于m，fnba交ba的延长线于n，则fnb=fmb=90°，nfm=60

12、°，又afe=60°，afn=efm，ef=ea，fae=60°，aef为等边三角形，fa=fe，在afn和efm中，afnefm（aas）fn=fm，又fmbc，fnba，点f在abc的平分线上（3）如图，四边形aefg是菱形，eag=120°，agf=60°，fge=age=30°，四边形aegh为平行四边形，geah，gah=age=30°，h=fge=30°，gan=90°，又age=30°，gn=2an，dab=60°，h=30°，adh=30°，ad=a

13、h=ge，四边形abcd为平行四边形，bc=ad，bc=ge，四边形abeh为平行四边形，hae=eab=30°，平行四边形aben为菱形，ab=an=ne，ge=3ab，37（2019海南）如图，在边长为1的正方形abcd中，e是边cd的中点，点p是边ad上一点（与点a、d不重合），射线pe与bc的延长线交于点q（1）求证：pdeqce；（2）过点e作efbc交pb于点f，连结af，当pb=pq时，求证：四边形afep是平行四边形；请判断四边形afep是否为菱形，并说明理由解：（1）证明：四边形abcd是正方形，d=ecq=90°，e是cd的中点，de=ce，又dep=c

14、eq，pdeqce（2）证明：pb=pq，pbq=q，adbc，apb=pbq=q=epd，pdeqce，pe=qe，efbq，pf=bf，在rtpab中，af=pf=bf，apf=paf，paf=epd，peaf，efbqad，四边形afep是平行四边形；四边形afep不是菱形，理由如下：设pd=x，则ap=1-x，由（1）可得pdeqce，cq=pd=x，bq=bc+cq=1+x，点e、f分别是pq、pb的中点，ef是pbq的中位线，efbq，由知ap=ef，即1-x，解得x，pd，ap，在rtpde中，de，pe，appe，四边形afep不是菱形8（2019陕西）问题提出：（1）如图1，

15、已知abc，试确定一点d，使得以a，b，c，d为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形abcd中，ab=4，bc=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的bpc，且使bpc=90°，求满足条件的点p到点a的距离；问题解决：（3）如图3，有一座塔a，按规定，要以塔a为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区bcde根据实际情况，要求顶点b是定点，点b到塔a的距离为50米，cbe=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区bcde？若可以，求出满足要求的平行四边形bcde的最大面积；若不可以，请说明理由（塔

16、a的占地面积忽略不计）解：（1）如图记为点d所在的位置（2）如图，ab=4，bc=10，取bc的中点o，则ob>ab以点o为圆心，ob长为半径作o，o一定于ad相交于p1，p2两点，连接bp1，p1c，p1o，bpc=90°，点p不能再矩形外，bpc的顶点p1或p2位置时，bpc的面积最大，作p1ebc，垂足为e，则oe=3，ap1=be=ob-oe=5-3=2，由对称性得ap2=8（3）可以，如图所示，连接bd，a为bcde的对称中心，ba=50，cbe=120°，bd=100，bed=60°，作bde的外接圆o，则点e在优弧上，取的中点e，连接eb，ed

17、，则eb=ed，且bed=60°，bed为正三角形连接eo并延长，经过点a至c，使ea=ac，连接bc，dc，eabd，四边形ed为菱形，且cbe=120°，作efbd，垂足为f，连接eo，则efeo+oa-eo+oa=ea，sbde·bd·ef·bd·ea=sebd，s平行四边形bcdes平行四边形bcde=2sebd=1002·sin60°=5000（m2），所以符合要求的bcde的最大面积为5000m29（2019天津）在平面直角坐标系中，o为原点，点a（6，0），点b在y轴的正半轴上，abo=30°

18、;矩形code的顶点d，e，c分别在oa，ab，ob上，od=2（）如图，求点e的坐标；（）将矩形code沿x轴向右平移，得到矩形code，点c，o，d，e的对应点分别为c，o，d，e设oo=t，矩形code与abo重叠部分的面积为s如图，当矩形code与abo重叠部分为五边形时，ce，ed分别与ab相交于点m，f，试用含有t的式子表示s，并直接写出t的取值范围；当s5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）解：（）点a（6，0），oa=6，od=2，ad=oa-od=6-2=4，四边形code是矩形，deoc，aed=abo=30°，在rtaed中，ae=2ad=8，ed4，od=2

19、，点e的坐标为（2，4）（）由平移的性质得：od=2，ed=4，me=oo=t，deocob，efm=abo=30°，在rtmfe中，mf=2me=2t，fet，smfeme·fett，s矩形code=od·ed=2×48，s=s矩形code-smfe=8，st2+8，其中t的取值范围是：0<t<2；当s时，如图所示：o'a=oa-oo'=6-t，ao'f=90°，afo'=abo=30°，o'fo'a（6-t），s（6-t）（6-t），解得：t=6，或t=6（舍去），t=6；当s=5时，如图所示：o'a=6-t，d'a=6-t-2=4-t，o'g（6-t），d'f（4-t），s（6-t）（4-t）×2=5，解得：t，当s5时，t的取值范围为t610（2019北京）在abc中，d，e分别是abc两边的中点，如果上的所有点都在abc的内部或边上，则称为abc的中内弧例如，图1中是abc的一条中内弧（1）如图2，在rtabc中，ab=ac，d，e分别是ab，ac的中点，画出abc的最长的中内