2022年2022年抽象函数解法综述解题技巧

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载抽象函数与解题策略（一）抽象函数的定义.特点和一般解题策略（1）什么为抽象函数？那些没有给出函数的详细解析式,只给出一些特殊条件或特点的函数称为抽象函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？抽象函数往往有它所对应的详细的函数模型；例如,f x1x 2 f x 1 f x 2 对应精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的 为 指 数 函 数a x1 x 2a x 1a x 2； f x1 x 2 f x 1f x 2 对 应 的 为 对 数 函 数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

2、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载log a x 1x 2 loga x1logax 2 等等；当然,也有的时候并没有我们比较熟识的函数模型,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载而为新定义的一种函数；抽象函数也可以与我们熟识的函数,如指数函数. 对数函数等一样,有自己的性质,如奇偶性.周期性.单调性等；有自己的特殊点,有自己的对称性,能画出大致图像；（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？面对抽象函数数学题,我们的解题思路一般不外乎合理赋值,化抽象为详细； 作恒等变形,找出该函数规律性.特点性特点；分类争论,归纳出抽象函数的实质问题；（二）高考中的抽象函数（1）抽象函数在高

3、考中的位置函数为高考数学中特别重要的一部分,依据上海卷命题的要求,每年函数部分的内容将 占到整个卷面分值的三分之一左右,20xx年高考上海卷中,函数相关的内容将近55 分；而抽象函数为函数中考核要求较高,难度较大的内容；2000 年开头,不论为全国卷仍为上海卷都对同学提出了考查抽象函数的要求；03 年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目, 03.04.05 年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目；（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视一般抽象函数数学题融函数单调性.周期性. 奇偶性. 定义域. 值域. 图像以及不等式.方程等学问于一体； 通过赋值整体摸索, 找出一个详细函数原型等

4、方法去探究该函数的性质, 能运用相关性质去解决有关问题；在高考中加大对同学理性思维才能的考查以及主体创新能力的考查为新时期的一个重要特点；（3）详细地来看,抽象函数在历届高考中在哪些题型中显现过？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载在最近五年的高考中,抽象函数可以显现在各种类型的题目中；例如, 可以考抽象函数的填空题.挑选题（20xx年北京卷第11.12 题, 20xx年上海卷第16 题, 20xx 年上海卷第5 题,等等）,仍可以考抽象函数的解答题（20xx 年全国卷最终一题,20xx 年北京卷最终一题, 20xx年上海卷最终一题,20xx年北京卷最终一题,20xx

5、年上海卷第21 题,等等）；（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区分吗？有肯定程度上的区分；全国卷中（特殊为北京卷）常常会在最终一个大题考抽象函数,为特别典型的抽象函数性质的争论.运算和证明, 对于解题技巧. 综合运用各类学问和技能 的要求特别高； 上海卷中的抽象函数,特殊为最近几年,以一种 “定义新函数” 的题型显现,突出考核同学的学习才能.应用才能和创新才能,不特殊强调解题的技巧；详细的差别,可以通过例题的练习和讲解来得以区分；总之,关于抽象函数题的难度都为相当高的；（三）典型例题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 1.设 fx为定义在实数集r 上的函数, 且满意以下

6、关系：f 10x f 10x ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 20x f 20x ；求证： fx为奇函数,又为周期函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 f 10x f 10x f 20x f 1010x f 1010x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 20x f x （ 1）又 f 20x f 20x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x f 20x （ 2）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资

7、料 - - - 欢迎下载f 40x f 2020x f 20x f x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 fx为以 40 为周期的周期函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（ 1）式f 20x f x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（ 2）式f x f 20x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x f x 即 fx为奇函数综上所述, fx为奇函数,又为周期函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 2.fx为定义在 r上的函数,且f x11f x 1f x ,（ fx 0

8、, 1）；如 f1=2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求f2005的值解：11f x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知f x2 1f x11f x11f x 1f x 11f x 1f x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x41f x2 11f xf x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx为以 4为周期的周函数,就f 2005f 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

9、载例题 3.已知函数 fx对于 x>0有意义,且满意条件f2=1、fxy=fx+fy、fx为非减函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数（定义：x 1x 2d , f x1 f x 2 ,就成f x为定义域在 d上的非减函数）；（1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证明 f1=0；（ 2）如 fx+fx 2 2成立,求 x 的取值范畴；解： 1令 x=2、y=1 ,就 f2 × 1=f2+f1f1=02 由已知fx+fx 2=fx2 2x2,又 2=1+1=f2 +f2=f4fx 2 2x f4又 fx 为非减的函数x2 2x 4 即 x2 2x 4 0

10、x 1+5 或 x 15已知 fx 对 x>0 有意义,且x 2>0x>2x15、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 4.设函数 fx的定义域为 r,对于任意实数m.n,总有f mnf m f n ,且 x0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时 0f x1 ；（ 1）证明： f0=1,且 x<0 时fx>1；（ 2）证明： fx在r 上单调递减；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）设 a x 、 y f x2 f y 2 f 1、 b x 、 y f axy21、ar ,如精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

11、ab,确定 a 的范畴；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）证明：f mn f m f n 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 m0、 n0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f m f m f 0,已知 x0 时, 0f x 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 01精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 mx0 , nx0 , f x 0、1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 0f mn f m f n 1

12、f m 1 ,即当 x<0时fx>1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）x1x 2r ,就 x 2x 10、0f x2x 1 1、f x 1 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 2 f x1 f x 2x 1x 1 f x 1 f x 2x1 f x1 f x1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1 f x 2x 1 10fx在r 上单调递减；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） f x 2 f y 2 f 1f x

13、2y 2 f 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2y2fx在r上单调递减1（单位圆内部分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f axy21f 0axy20 （一条直线）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab21a21a 23a3、3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 5.对每一实数对x.y ,函数 ft满意f xyf xf yxy1 ；如 f 22 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试求

14、满意f t t 的整数 t 的个数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：令 xy0 ,得f 01精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 xy1,得 f 22f 12 ,又 f 22f 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 x1、 y1,得f 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 x1,得f y1f yy2f y1f y y2 （）即当 y 为正整数时精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f y1f y ,由f 11yn , fy0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yn , f y1f y y2y1即对于一切大于1的正数

15、 t 恒有f t t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又由（）式f 31、 f 41精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下证明,当整数t4 时,恒有f t0 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载t4 ,就 t20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由（）式f tf t1 t20 即 f 5f 40精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理可得 f 6f 50、 f t1f t2 0、 ftf

16、 t10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相加f t f 410 ,即当整数t4 时,恒有f t0t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上所述,满意f tt 的整数只有t1、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 6.定义在 r上的单调函数 fx满意 f3=log 2 3 且对任意 x ,y r都有 fx+y=fx+fy；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 求证

17、 fx为奇函数； 2 如 f k3x f 3x9x20 对任意 xr恒成立,求实数k 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取值范畴；证明： 1已知 f x+y=fx+fyx, y r令 x=y=0 ,代入式f0+0=f0+f0 ,即f0=0 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 yx,代入式fx-x=fx+f-x,又 f0=0 ,就 0=fx+f-x ,即 f-x=-fx 对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载任意 x r 成立,就fx为奇函数；2 f3=log2 3 0,即 f3 f0,又 fx在 r 上为单调函数fx 在 r 上为增函数,又由1fx为奇函数

18、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f k3x f 3x9x2f 3x9 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k3x3x9 x2 对任意 x r 成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分别系数： k · 3 x -3 x +9 x +2k3x21 3x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 u3x21223x1 ,即 u 的最小值为221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 k221 时,不等式k3x21 对任意 x r 恒成立3x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k、

19、221 时,命题成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 7.已知f x 为定义在r 上的不恒为零的函数,且对于任意的a, b r 都满意关系式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f abaf bbf a ；（ 1）求f （ 0）, f （ 1）的值；（ 2）判定f x的奇偶性,并证精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明你的结论；（3）如 f22、 u nf 2nn nn ,求数列 u n 的前 n 项的和

20、sn ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）在f ab af bbf a 中、 令 ab0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 0f 0 00 f 00 f 00 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 f abaf bbf a 中、 令 ab1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 1f 1 11 f 11 f 1f 10精品学习资料精选学习资料 -

21、- - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）已知f 1f 1 2 f 1f 10、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 10f x f 1 x f x xf 1f x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x 为奇函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3） 由 f a2 f a3 af aa2 f aaf aaf a2 2af a、3a2f a 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推测f an nan1f a .精品学习资料精

22、选学习资料 - - - 欢迎下载下用数学归纳法证明；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1° 当 n=1 时,f a1 1 a0f a ,原命题成立；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2°假设当n=k 时,原命题成立,即f ak ka k1f a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么当 n=k+1 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f ak 1 ak f aaf ak ak f akak f a k1ak f a ,原命题成立.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精

23、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 1 、2可知,对任意nn 、 f an nan 1 f a 都成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uf 2 n nn 1 n 12f 1 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 f 22、 f 11f 2 212f 21 f 20、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 1 21 f 24u n121 1 n221 nn 、 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 1sn21 1 n

24、 212 1 n21 nn .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 8.设 yf x 为定义在区间1、1上的函数,且满意条件：if 1f 10 ；ii对精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载任意的u、 v1、1 ,都有f u f vuv ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）证明：对任意的x1、1 ,都有 x1f x 1 x ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）证明：对任意的u、 v1、1,都有f uf v1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）在区间 1、1 上为否存在满意题设条件的奇函数yf x ,且使得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f uf uf vf vuvu、 vuv 0、112 ；如存在,请举一例；如不存在,请说明理由；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载u、 v、12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）证明：精品学习资料精选学习资