2022年2022年教案解三角形知识点汇总和典型例题2

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家高一数学一对一教案讲义授课对象授课老师授课时间授课题目解三角形复习总结课型复习课使用教具人教版教材 教学目标娴熟把握三角形六元素之间的关系,会解三角形教学重点和难点敏捷解斜三角形参考教材人教版必修 5 第一章教学流程及授课详案解三角形的必备学问和典型例题及详解一.学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 abc中, c 90°, ab c, ac b, bc a；（ 1）三边之间的关系：a2 b2c2；（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系：a b90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）精

2、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin a cos ba , cos a sin bcb , tan a a ；cb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2斜三角形中各元素间的关系：在 abc中, a.b. c为其内角, a.b. c 分别表示a.b.c的对边；（ 1）三角形内角和：a bc ；（ 2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a sin ab sin bc sin c2r （ r 为外接圆半径）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和

3、减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 b2 c22bccos a；b2 c2a2 2cacos b；c2a2 b2 2abcosc；3三角形的面积公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） s1 aha21 bhb21 chc（ ha.hb.hc 分别表示a.b.c 上的高）；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2） s1 absin c21 bcsin a21 acsin b=2abc=2r 2sinasinbsinc4r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载龙文训练·训练为一项良心工程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳

4、训练中学校 1 对 1 课外辅导专家4解三角形： 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素 （其中至少有一个为边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元素仍可以包括三角形的高.中线.角平分线以及内切圆半径.外接圆半径.面积等等主要类型：（ 1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1.已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.第 2.已知两角和其中一边的对角,求其他边角.（ 2）两类余弦定懂得三角形的问题：第 1.已知三边求三角.第 2.已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.5三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点

5、；（ 1）角的变换由于在 abc 中, a+b+c=,所以sina+b=sinc； cosa+b= cosc； tana+b= tanc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin ab 2ccos2、cos ab 2sin c ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.6求解三角形应用题的一般步骤：（ 1）分析：分析题意,弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；（3）求解：正确运用正.余弦定理求解；（ 4）检验：检验上述所求为否符合实际意义；二.典

6、例解析精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 1：正.余弦定理例 1（ 1）在abc 中,已知a32.00 , b81.80 , a42.9 cm,解三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在abc 中,已知 a20 cm, b28 cm, a400 ,解三角形（角度精确到10 ,边长精确精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载到 1cm） ；解：（ 1）依据三角形内角和定理,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c1800 ab180032.0081.8066.20 ；精品学习资料精选学习资料 -

7、- - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据正弦定理,b asin b sin a042.9sin81.880.1cm ；sin32.00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据正弦定理,c asinc sin a42.9sin66.2 00sin32.074.1 cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）依据正弦定理,sin bbsin a0a28sin400 20

8、0.8999.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 00 b 1800 ,所以 b64 , 或 b1160.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 b640 时,c1800 ab180040 0640 760 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载casin c sin a20sin760sin40 030cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0当 b116 时,00000asinc20sin240精品学习资料

9、精选学习资料 - - - 欢迎下载c180 ab18040116 24 , csin asin40013cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点评：应用正弦定理时（1）应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；（2） 对于解三角形中的复杂运算可使用运算器精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 2：三角形面积例 2在abc 中, sin acos a22, ac2 , ab3 ,求tan a 的值和abc的面积；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：先解三角方程,求出角a 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin ac

10、os a2 cosa245 、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosa45 1 .ooo2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o又 0a180 、a4560 、 a105.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan atan4560 13o1323 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinasin105sin4560 sin45 cos60cos45 sin6026 .4精品学习资料精选学习资料 - - -

11、欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s abc1 acab sin a 212326243 26 ；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二：由 sin acos a 运算它的对偶关系式sin acos a 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin asin acos a22cos a212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2sinacos a12精品学习

12、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q 0oa180o、sin a0、cos a0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载另解sin 2 a12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinsin aa cos a 2cos a6212 sinacos a3 、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+得 sin a26 ；4得 cos a26 ；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而 tan asin a cos a26442623 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以下解法略去；点评：本小题主要考查三角恒等变形.三角形面积公式等基本学问,

13、着重数学考查运算才能,为一道三角的基础试题；两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3在 abc中, a.b.c 分别为 a. b. c 的对边长,已知a.b.c 成等比数列,且a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 c =ac bc,求 a 的大小及b sin b c的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：因给出的为a.b. c 之间的等量关系,要求a,需找 a 与三边的关系,故可用余弦定b22b sin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载理；由 b =ac 可变形为c=a,再用正弦定理可求c的值；精

14、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解法一： a.b.c 成等比数列,b =ac；又 a2 c2=acbc, b2+c2a2=bc；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 2在 abc中,由余弦定理得：cos a=c 22bca 2bc1=,2bc2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a=60°；在 abc中,由正弦定理得sin b= b sin aa, b2=ac,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

15、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a=60°,b sin bcb2 sin 60 ac3=sin60 °=；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法二：在 abc中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由面积公式得1 bcsin a= 21 acsin b ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22 b =ac, a=60°, bcsin a=b sin b；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b sin bc=sin a=3 ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评述：解三角形时, 找三边一角之间的

16、关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理；题型 4：正.余弦定理判定三角形外形例 4在 abc中,如 2cos bsin a sinc ,就 abc的外形肯定为（）a. 等腰直角三角形b. 直角三角形c. 等腰三角形d. 等边三角形答案： c解析： 2sin acos b sin c =sin （ a b） =sinacosb+cosasinb sin （ ab） 0, a b另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看.分析.判定明确解题思路和变形方向,通精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5abc 的三个内角为a.b

17、.c求出这个最大值；,求当 a 为何值时, cos a2cos bc 2取得最大值,并精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b+c ab+ca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：由a+b+c=,得2 = 2 2,所以有cos 2=sin 2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b+ccosa+2cos2=cosa+2sina2 =1 2sin2a2 + 2sina= 2sin 2a1 232 2 + 2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校

18、1 对 1 课外辅导专家精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a当 sin 2 =1,即 a=时、 cosa+2cosb+c3取得最大值为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2322点评： 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果；题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（ 2021 辽宁卷文,理）如图,a、b、c、d 都在同一个与水平面垂直的平面内,b, d 为两岛上的两00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载座灯塔的塔顶；测量船于水面a 处测得 b 点和 d 点的仰角分别为75, 30,于水面c处测精品学习资料精选

19、学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得 b 点和 d点的仰角均为600 , ac=0.1km；摸索究图中b, d间距离与另外哪两点间距离相等,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载然后求 b,d 的距离（运算结果精确到0.01km ,21.414 ,62.449 ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 在 abc中, dac=3°0、adc=6°0 dac=30、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 cd=ac=0.1 又 bcd=18°0 60° 60°=60

20、6;,故 cb为 cad底边 ad的中垂线,所以bd=ba,在 abc中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinabbcasinacabc、 即 ab=acsin60 sin 15326 、20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 26因此, bd=200.33km；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 b, d 的距离约为0.33km ；点评：解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题舒展,但也不行太难,只要把握基本学问.概念,深刻懂得其

21、中基本的数量关系即可过关；三.思维总结1解斜三角形的常规思维方法为：（ 1）已知两角和一边（如a.b.c）,由 a+b+c= 求 c,由正弦定理求a.b；（ 2）已知两边和夹角（如a.b.c）,应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用a+b+c=,求另一角；（ 3）已知两边和其中一边的对角（如a.b.a）,应用正弦定理求b,由 a+b+c = 求 c,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要留意解可能有多种情形；6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家（ 4）已知三边a.b.c,应余弦定理求a.b,再由 a+b+c =,求角 c

22、；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2三角学中的射影定理：在abc 中, bacoscccos a ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3两内角与其正弦值：在abc 中, absin asin b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4解三角形问题可能显现一解.两解或无解的情形,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮忙懂得” ；三.课后跟踪训练1. （ 2021 上海文数18. ）如 abc 的三个内角满意精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sina :sinb :sin c5:11:13,就

23、 abc（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a）肯定为锐角三角形.（ b）肯定为直角三角形.（ c）肯定为钝角三角形.d可能为锐角三角形,也可能为钝角三角形.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：由 sin a :sinb :sin5 2c1125:11:13132及正弦定理得a:b:c=5:11:13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由余弦定理得cos c25110 ,所以角c 为钝角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. （ 2021 天津理数7）在 abc 中,内角a、b、c的对边分别为a、b、c,如 a2b23bc ,sin c2

24、3 sin b ,就 a=精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（a） 300（ b） 600（c） 1200（ d） 1500精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 a【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题；由正弦定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c23bc2r2 r23b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 cosa=b2 +c2 -a23bcc2=3bc23bc3,所以0a=30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2bc2bc2bc2精品学习资料精选学

25、习资料 - - - 欢迎下载【温馨提示】解三角形的基本思路为利用正弦.余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算；3. （ 2021 湖北理数） 3. 在abc 中, a=15、b=10、a=60 °,就 cosb =精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 223【答案】 db 223c 6 d633精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家ab15103精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】依据正弦定理sin a可得sin bsin60 osin b解得 sin b,又

26、由于ba ,就3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba,故 b 为锐角,所以cos b1sin2 b6,故 d 正确 .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.（ 2021 广东理数） 11. 已知 a、b、c分别为 abc的三个内角a、b、c 所对的边,如 a=1、b=3 、 a+c=2b、就 sinc=.131精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：由 a+c=2b 及 a+ b+c=180°知,b =60°由正弦定理知,sin a,即 sinosin 60a由2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

27、 - - 欢迎下载,就aoab 知, ab6030o ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c180oab180o30o60o90o , sin csin90 o1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5（ 2021 湖南卷文） 在锐角abc 中, bc范畴为.1、 b2 a、 就accos a的值等于,ac 的取值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析设a、b2 . 由正弦定理得acbc 、ac1ac2.sin 2sin2coscos精品学习资料精选学习资料 - - -

28、欢迎下载由锐角abc 得 0o290o0o45o ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 0o180o390o30o60o,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故 30o45o2cos3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22ac2cos2、3.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.（ 2021 全国卷理） 在abc 中,内角 a.b.c 的对边长分别为a .b .c ,已知 a 2c22b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选

29、学习资料 - - - 欢迎下载且 sina cosc3cos a sin c、求 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：: 此题事实上比较简洁、 但考生反应不知从何入手. 对已知条件 1a2c22b 左侧为二次的右侧为一次的、 同学总感觉用余弦定理不好处理、 而对已知条件 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sina cosc3cos asin c、 过多的关注两角和与差的正弦公式、 甚至有的同学仍想用现在已精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家经不再考的积化和差、 导致

30、找不到突破口而失分.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解法：在abc 中就 qsina cosc3cosasin c、 由正弦定理及余弦定理精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2有 : agb2c22abb2c232bcagc、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（角化边）化简并整理得：2a2c2 b2 . 又由已知 a 2c 22b4bb2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 b4或b0舍）.精品学习资

31、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7在 abc中,已知 a.b. c成等差数列,求tan atan c3 tana tan c 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222解析：由于a.b.c成等差数列,又ab c 180°,所以a c 120°,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载acac从而 60°,故 tan223 . 由两角和的正切公式,得tan a2tan c23 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 tan a2tan c233 tan a 2tan c 、21t

32、ana tan c 22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan atan c3 tan a tan c3 ；2222点评：在三角函数求值问题中的解题思路,一般为运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同时结合三角变换公式的逆用；8. （ 2021 四川卷文）在abc 中, a.b 为锐角,角a.b.c所对的边分别为a.b.c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 sin a510、sin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载510（ i ）求 ab 的值；（ ii

33、 ）如 ab21 ,求 a.b.c 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载510精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解（ i ） a.b 为锐角,sin a、sin b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载510精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cos a1sin 2 a25、cos b1sin2 b3 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载510精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosabcos a cos bsinasin b253 105102 .5105102精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0ab、

34、ab4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ ii ）由（ i ）知 c3, sin c242精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载海纳训练中学校 1 对 1 课外辅导专家由abc得sin asin bsin c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5a10b2c ,即 a2b、 c5b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又ab212bb21b1a2、 c59. （ 2021 陕西文数17）（本小题满分12 分）在 abc中,已知b=45° 、d 为 bc边上的一点, ad=10、ac=14、dc=6

35、,求 ab 的长 .解在 adc中, ad=10、ac=14、dc=6、222由余弦定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosaddcac 2ad gdc=100361961 、21062精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载adc=120° 、adb=60°在 abd中, ad=10、b=45° 、adb=60°,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由正弦定理得abad、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab=sinadbsin b103精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ad gsinadb10sin 6025 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin bsin 4522精品学习资料精选学习资料 -