必修五-解三角形-讲义

1、人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析 【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的

2、综合运用。3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；

3、2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:2、余弦定理余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍即： 若用三边表示角，余弦定理可以写为余弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边注意：在（0，）范围内余弦值和角的一一对应性若cosA0则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA0，则A为钝角3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在A

4、BC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab·0=a2+b2说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广这与RtABC中，C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例4、三角形的有关定理：内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos=sin, sin=cos面积公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r为内切圆半径)射影定理：a = bcosC + ccosB；b

5、= acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形应用题的一般步骤：（1）、分析题意，弄清已知和所求；（2）、根据提意，画出示意图；（3）、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；（4）、正确运用正、余弦定理。【典型例题】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故

6、可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180°sinADBsin（180°BDC）sinBDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用.例5在ABC中，已知a=,b=,B=45°，求A,C及边c解：由正弦定理得：sinA=,因为B=45°<90°且b<a,所以有两解A=60°或A

7、=120°(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=,(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的讨论例6ABC中，若，判断ABC的形状。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180° - 2B 即：A= B 或 A + B = 90°ABC为等腰或直角三角形解二： 由题设：化简：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 +

8、 b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC为等腰或直角三角形思维点拨：判断三角形的形状从角或边入手例7在ABC中，已知，成等差数列，b=1, 求证：1<a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120°A)=2sin(A+30°)，因为0°<A<120°，所以30°<A+30°<150°,故1<2sin(A+30°)2.法二B=60°,b=1，a2+c2-b2=2accos60&

9、#176;, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c<1 03(a-c)2<3, 4-3(a-c) 24,即(a+c) 24, a+c2a+c>1, 1<a+c2思维点拨：边角互化是解三角形问题常用的手段例8已知O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有成立，求ABC面积S的最大值解：由已知条件得即有 ，又 所以当A = B时，思维点拨：三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理在求值时，要利用三角函数的有关性质例9AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种

10、测量建筑物高度AB的方法。分析：求AB长的关键是先求AE，在ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得AC = AB = AE + h = AC+ h = + h例10如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50。已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=

11、- ,BAD =.根据正弦定理, = 所以 AB =解RtABD中,得 BD =ABsinBAD=将测量数据代入上式,得 BD = = 177 (m)CD =BD -BC177-27.3=150(m)答:山的高度约为150米.例11如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = , BC = 7.4524(km)CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答:山的高度约为1047米例12如

12、图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= = 113.15根据正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CA

13、B =56.0答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例13在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+

14、x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m例14某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14

15、海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为sinBAC =BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.评注

16、：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解【经典考题】1设分别是的三个内角所对的边，则是的（ A ）（A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件2在中，已知，给出以下四个论断： 其中正确的是（ B ） （A） （B） （C） （D）3在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_.4如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）A和都是锐角三角形B和都是钝角三角形C是钝角三角形，是锐角三角形D是锐角三角形，是钝角三角形5己知A、C是锐角AB

17、C的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-px+1-p0(p0，且pR)，的两个实根，则tan(A+C)=_，tanA,tanC的取值范围分别是_ _和_ _，p的取值范围是_；(0，)；(0，)；，1) 6在ABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA.【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE/AB，且，设BE=x 在BDE中可得，解得，（舍去）故BC=2，从而，即 又，故，高考要考什么【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：

18、(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 突破重难点【范例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。（1） 判断ABC的形状；（2） 求ABC的面积。解析（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，cosAsinC=0

19、,又A，CcosA=0，A=，ABC是直角三角形。（2）ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又ABC最小角的正弦值为，RtABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为SABC=16【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出ABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.【文】在ABC中，若tanAtanB，试判断ABC的形状解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得A、B为三角形的内角，sinA0，sinB02A2B或2A2B，AB或AB所以ABC为等腰三角形或直角三角形【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要

20、把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2b2c2，a2b2>c2（锐角三角形），a2b2c2（钝角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索【范例2】中，内角.的对边分别为.，已知.成等比数列，且（1）求的值；（2）若，求的值解析（1）由得，由得，（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是： 故【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.【文】在ABC

21、中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.(1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.解析 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.【范例3】已知ABC的周长为6，成等比数列，求（1）ABC的面积S的最大值；（2）的取值范围解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b²=ac 在ABC中得,故有又从而（），即（） 【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的 【变式】在ABC中，

22、角A、B、C的对边分别为a、b、c, ABC的外接圆半径R=，且满足.(1) 求角B和边b的大小；(2) 求ABC的面积的最大值。解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2)= 当A=时, 的最大值是【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用自我提升1在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值2已知非零向量与

23、满足且则为（ D ）（A）等边三角形（B）直角三角形（C）等腰非等边三角形（D）三边均不相等的三角形3ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C的大小是 （ A ）（A） （B） （C）或 （D）或4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）6已知定义在R上的偶函数在区间上单调递增,若的内角A满足,则A的取值范围是 _7数列a n中，首项a12，前n项和为Sn，且.（1）判断数列a

24、n是否为等比数列，并证明你的结论？（2）若对每个正整数n，以a n，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t的取值范围。解析 (1)略（2）【文】在中，.的对边分别为.。（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。解析 (1) , 当且仅当时取等号, f(B)=sinB+cosB= 的值域为(2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展开,化简,得 , , cosB=8在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边B

25、C上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值.解析 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设BAP=，DPA=，BDP=2，再设AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180°ABPBAP=120°，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 0°60°，60°60°+2180°，当60°+2=90°，即=15°时，sin(60°+2)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.【文】在中，分别为角的对边，且满足（）求角大小；（）若，当取最小值时，判断的形状解析（）， ， （）由余弦定理，得， 所以的