设是定义在上的实函数(精)（精编版）

1、第五章 复习题一、判断题b1、设f ( x) 是定义在 a,b 上的实函数，由于v ( f ) 总存在，所以af ( x)一定是 a,b 上的有界变差函数。（×）b2、设f ( x) 是定义在 a,b 上的实函数，f (x)是 a, b 上的有界变差函数v( f )。a（）3、设f ( x) 是 a, b 上的单调函数，则f ( x) 一定是 a,b 上的有界变差函数。 （ ）4、设f ( x) 是 a,b 上的有界变差函数，则f ( x)既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。 （ ）5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。（ ）6、设

2、f ( x) 是定义在 a,b 上的实函数，a,b a, c c,b ， acb ，则bcbv ( f )v ( f )v( f ) 。（ ）aac7、设 a, b a, cc, b， acb ，则 f ( x) 是 a,b 上的有界变差函数的充要条件是f ( x) 既是 a,c 上的有界变差函数，也是 c, b 上的有界变差函数。 （ ）8、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则f ( x) 既是 a,b 上的一致连续函数，也是f (x) 是 a,b 上的连续函数。 （ ）9、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则f (x) 一定是 a, b 上的有界变差函数。 （

3、）10、若f ( x) 是 a, b 上的有界变差函数，则f ( x) 一定是 a,b 上的绝对连续函数。 （×）11、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，g( x) 是 a,b 上的绝对连续函数，则f ( x)g ( x) ，f ( x)g(x) 都是 a, b 上的绝对连续函数。 （ ）12、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则f(x) 在 a,b 上勒贝格可积。 （ ）二、填空题1、叙述有界变差函数的jordan 分解定理闭区间上的有界变差函数必可分解成两个单调递增函数的差或两个单调递减函数的差。2、若f ( x) 在 a, b 上单调递增，则 a ,

4、bf ( x)d x小于或等于f ( b)f ( a 。)3、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则 a,b f (x)dx等于f ( b)f ( a 。)三、证明题1、若f ( x) 是 a, b 上的单调函数，则f ( x) 是 a,b 上的有界变差函数，且bv ( f )af (b)f (a) 。证明：不妨设f (x) 是 a,b 上的单调增函数，任取 a, b 的一个分割t : ax0x1xi 1xixnb则nnf ( xi )f ( xi1) f( xi )f ( xi1)f ( xn )f ( x0 )i 1i 1f (b)f (a)f (b)f ( a) ，所以，bn

5、v ( f )supf (xi )f (xi 1 )f (b)f (a) 。ati 12、若f ( x) 在 a, b 上满足：存在正常数k ，使得对任意x1, x2a,b ，都有f (x1)f (x2 )k x1x2 ，则（ 1）f (x) 是 a,b 上的有界变差函数，且bv( f )ak (ba) ；（ 2） f (x) 是 a,b 上的绝对连续函数。证明：（ 1）由题设，任取 a, b 的一个分割t : ax0x1xi 1xixnb则nnnf (xi )i 1f (xi 1 )k xii 1xi 1k( xii 1xi 1 )k (ba) ，所以，f ( x) 是 a, b 上的有界变

6、差函数，且bv ( fn)supf ( xi )f ( xi 1 )k (ba) 。ati 1（ 2）在 a, b 内，任取有限个互不相交的开区间(xi , yi ) ， i1,2, n 。由于nnnf ( xi )f ( yi )kxiyikxiyi ，i 1i 1i 1n于是，对任意0 ，取，则当xiyiki 1时，有nnf ( xi )f ( yi )kxiyi，i 1i 1即 f (x) 是 a,b 上的绝对连续函数。3、若f ( x) 是 a, b 上的绝对连续函数，则f (x) 是a,b 上的有界变差函数。证明：由f ( x) 是 a,b 上的绝对连续函数，取1 ，存在0 ，对任意

7、有限个互不相交的开区间( xi , yi ) ， in1,2, n ，只要xiyii 1时，有nf ( xi )i 1f ( yi )1 。现将 a, b 等分，记分点为aa0a1ai 1aianb，使得每一等份的ai长度小于。易得 v( f )1 ，即f ( x) 是 ain1 , ai 上的有界变差函数。又a, b ai1 ,ai ，ai 1i 1所以，bv ( f )naiv ( f )n，即f ( x) 是 a, b 上的有界变差函数。ai 1ai 14、若f ( x) 是 a, b 上的有界变差函数，则（ 1）全变差函数xxv ( f ) 是 a,b 上的递增函数；a（ 2） v (

8、 f )af ( x) 也是 a,b 上的递增函数。x2证明：（ 1）对任意x1 , x2 a,b ， x2x1 ，注意到v ( fx1)0 ，有x2x1x2x1v ( f )v ( f )v ( f )v ( f ) ，aax1ax即v ( f ) 是 a,b 上的递增函数。ax2（ 2）对任意x1, x2x2a, b ， x2x1x1 ，注意到v ( f )x1x2f ( xi )f (xi1 ) ，有v ( f )f (x2 )v ( f )f (x1)v ( f) f( x2 )f ( x1 )aax1x即v ( f )af ( x) 是 a, b 上的递增函数。x2v ( f )x1f ( x2 )f (x1)0 ，5、证明 jordan 分解定理：f (x) 是 a,b 上的有界