[理学]复变函数的解析性ppt课件

1、第三节第三节 复变函数解析性复变函数解析性一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、解析的充要条件四、解析函数与调和函数如如果果极极限限0( ), ,).DD00= -= ( )- (wf zzz z zf zf z设设函函数数为为定定义义于于区区域域 内内的的单单值值函函数数为为内内的的一一点点 并并记记 ( )( )f zzf zz0 00 0那那么么就就称称在在 可可导导. .这这个个极极限限值值称称为为在在 的的导导数数, ,记记作作一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分000( )() = limzzf zf zzz0 limzz 000()() limzf zzf z

2、z 存存在在000( )(),.zddddz zz zwffzzz1.导数的定义导数的定义:在定义中应留意在定义中应留意:.)0(00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz.)()(,0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时内内以以任任意意方方式式趋趋于于在在区区域域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 内可导在区域就称我们内处处可导在区域如果函数DzfDzf例例1 .)(2的的导导数数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2.微分的概念微分的概念: 复变函数微分的概念在方式上与一元实

3、变复变函数微分的概念在方式上与一元实变函数的微分概念完全一致函数的微分概念完全一致. .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数DzfDzf3.可导与延续可导与延续: 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导那么在处可导那么在 z0 处一定延处一定延续续, 但函数但函数 f(z) 在在 z0 处延续不一定在处延续不一定在 z0 处可导处可导.并且在复变函数中，处处延续而处处又不可导的并且在复变函数中，处处延续而处处又不可导的函数几乎随手可得函数几乎随手可得例例2 .Im

4、)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方 zyzzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而而使使向向当当点点沿沿平平行行于于虚虚轴轴的的方方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极极限限值值不不同同时时当当点点沿沿不不同同的的方方向向使使 z.Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导故故zzf 4.求导法那么求导法

5、那么: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在方式上完全一致数中导数的定义在方式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法那么也和实变函数中一样数中的极限运算法那么也和实变函数中一样, 因因此实变函数中的求导法那么都可以不加更改地此实变函数中的求导法那么都可以不加更改地推行到复变函数中来推行到复变函数中来, 且证明方法也是一样的且证明方法也是一样的.求导公式与法那么求导公式与法那么: . , 0)()1(为为复复常常数数其其中中cc .,)()2(1为为正正整整数数其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()

6、()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函数数两两个个互互为为反反函函数数的的单单值值是是与与其其中中二、解析函数的概念二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义. )( , )(000解析解析在在那末称那末称导导的邻域内处处可的邻域内处处可及及在在如果函数如果函数zzfzzzf( )( )( ) f zzzf zz f z0 00 00 0如如 果果 函函 数数在在不不

7、解解 析析 , , 但但 在在的的 任任 意意 邻邻 域域 内内总总 有有的的 解解 析析 点点 ， 则则 称称为为的的 奇奇 点点 . .2. 奇点的定义奇点的定义根据定义可知根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念价的概念. 即函数在一点处可导即函数在一点处可导, 不一定在该点不一定在该点处解析处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多得多.1 的的解解析析性性研研究究函函数数zw 例例3 , 0 1

8、 处处处处可可导导在在复复平平面面内内除除因因为为 zzw解解 ,1dd 2zzw 且且 , 0 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除所所以以 zw . 0为为它它的的奇奇点点 z.)Re() ( 的的可可导导性性与与解解析析性性研研究究函函数数zzzf ? )( 00解解析析有有无无区区别别可可导导与与在在在在点点复复变变函函数数zzzf课堂练习课堂练习小结与思索小结与思索 了解复变函数导数与微分以及解析函数的了解复变函数导数与微分以及解析函数的概念概念; 掌握延续、可导、解析之间的关系以及掌握延续、可导、解析之间的关系以及求导方法求导方法. 留意留意: 复变函数的导数定义与一元实变

9、函数复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在方式上完全一样的导数定义在方式上完全一样, 它们的一些求它们的一些求导公式与求导法那么也一样导公式与求导法那么也一样, 然而复变函数极限然而复变函数极限存在要求与存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关, 这阐明它在这阐明它在一点可导的条件比实变函数严厉得多一点可导的条件比实变函数严厉得多.思索题思索题思索题答案思索题答案 , 0 )( 02处处可可导导在在例例如如 zzzf反之不对反之不对. . 0 0处处不不解解析析但但在在 z ( )( ,)( ,) , fzu x yiv x yDDzxyi函数在区域内有定义在内一点可导,u,v的偏

10、导数存在三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件1. 柯西黎曼柯西黎曼(C-R)条件的由来：条件的由来：0()( )lim ( ) ,()( )zfzzfzfzzxiyzfzzfzuiv =设00000000l i m +il i m () , l i m +l i m ()xxyyxxyyuvfzxxuvfziyy= + i () =i +u vu vfzx xy y = 00lim () xyuivfzxiy=,= (C-R)uvuvxyyx条件 ( )( , )( , ) , ( ) : f zu x yiv x yDf zDz x yi 设设 函函 数数定定 义义 在在 区区 域域

11、内内则则在在 内内 一一 点点可可 微微 的的 必必 要要 条条件件 是是00lim () xyuivfzxiy=总结我们上面的讨论，能得到函数在一点可微的必总结我们上面的讨论，能得到函数在一点可微的必要条件要条件 (,) (,) (,) u x y vx y x y xy（ 1 1 ）与与 在在 点点关关 于于 和和 的的 偏偏 导导 数数 存存 在在留意：上述条件不是充分的留意：上述条件不是充分的 , .uvuvxyyx （2 2）在在该该点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfD

12、yxivyxuzf 点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程并并且且在在该该可可微微在在点点与与件件是是可可导导的的充充要要条条内内一一点点在在则则内内定定义义在在区区域域设设函函数数定理一定理一 可微的充分必要条件可微的充分必要条件( ).uvvuf ziixxyy关于定理一的阐明：关于定理一的阐明：3. 函数解析的充要条件( ).uvvufziixxyy1.二元实函数可微的充分条件2.求导公式1. 二元实函数可微的充分条件假设二元函数 u 和 v 在区域 D 内具有一阶延续偏导数，那么 u 和 v 在区域 D 内可微.留意不是必要条件2.记住求导公式= () (, ) (, )wfz uxy

13、ivxy 根据二元实函数可微的充分条件，可以得到函数 在区域D内一点可微的充分条件 , (,)uuvvxyxyxy （ 1 1 ）在在 点点是是 连连 续续 的的 内内解解析析的的充充要要条条件件函函数数在在区区域域D. , , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( xvyuyvxuyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf 点点满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程并并且且在在该该可可微微在在点点与与件件是是可可导导的的充充要要条条内内一一点点在在则则内内定定义义在在区区域域设设函函数数3. 函数在区域内解析的充要条件函数在区域内解析的充要条件. , ),( ),( :

14、),(),()( 程程并并且且满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方内内可可微微在在与与内内解解析析的的充充要要条条件件是是域域在在其其定定义义函函数数定定理理二二DyxvyxuDyxivyxuzf . )( , )( )1(内内是是解解析析的的在在解解析析函函数数的的定定义义断断定定则则可可根根据据内内处处处处存存在在的的导导数数在在区区域域数数导导法法则则证证实实复复变变函函如如果果能能用用求求导导公公式式与与求求DzfDzf解析函数的断定方法解析函数的断定方法: :. )( ,R C ) ),( , ( , )( 2)(内内解解析析在在的的充充要要条条件件可可以以断断定定那那么么根根据据解解析析函

15、函数数方方程程并并满满足足可可微微因因而而、连连续续的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在内内在在中中如如果果复复变变函函数数DzfyxvuDvuivuzf ).Re() 3 ();sin(cos) () 2 (;) 1 (zzwyiyezfzwx 典型例题典型例题例例1 断定以下函数在何处可导断定以下函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:,)1(zw 解解,yvxu .1,0,0,1 yvxvyuxu . ,处处处处不不解解析析在在复复平平面面内内处处处处不不可可导导故故zw 不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx

16、 ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即 . ,) (处处处处解解析析在在复复平平面面内内处处处处可可导导故故 z f四个偏导数四个偏导数均延续均延续).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且)Re()3(zzw 指数函数指数函数,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu , , 0 满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程时时仅仅当当 yx四个偏导数均延续四个偏导数均延续 ,0 )Re(处处可可导导仅仅在在故故函函数数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析2. z证证 明明在在 复复 平

17、平 面面 上上 不不 解解 析析例例2 ,2)1(222xyiyxz 证证,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程时时仅仅当当 x ,0 2上上可可导导仅仅在在直直线线故故函函数数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析? )( , , , , ),()( 2222解解析析在在复复平平面面内内处处处处取取何何值值时时问问常常数数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf 例例3 解解,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲欲使使 ayx2,2 ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所所求求. )( , )( 内内为为一一常常数数区区域域在在则则内内处处处处为为零零在在区区域域如如果果DzfDzf 例例4xvixuzf )(证证,0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常常数数常常数数所所以以 vu . )( 内内为为一一常常数数在在区区域域因因此此Dzf黎黎曼曼方方程程并并且且满满足足柯柯西西内内可可微微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu小结与思索小结与思索 在本课中我们得到了一个重要结论在本课中我们得到