全等三角形_辅助线做法讲义

1、DD                                                 

2、0;                             连接 BEF                 作 CFAD

3、 于 F，                               延长 MD 到 N，BB.全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一倍长中线【夯实基础】例： DABC 中，AD 是 

4、08; BAC 的平分线，且 BD=CD，求证 AB=AC         A方法 1：作 DEAB 于 E，作 DFAC 于 F，证明二次全等方法 2：辅助线同上，利用面积B方法 3：倍长中线 AD              &

5、#160;                                     CD【方法精讲】常用辅助线添加方法倍长中线AAABC 中      

6、0;                         方式 1： 延长 AD 到 E，AD 是 BC 边中线     B C       &

7、#160;    使 DE=AD，C方式 2：间接倍长EA                                        &

8、#160;                     AMC       作 BEAD 的延长线于 E                

9、;使 DN=MD，D                 连接 BE               B      D    C 连接 CDE【经典

10、例题】N例 1：ABC 中，AB=5，AC=3，求中线 AD 的取值范围例 2：已知在ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE交 BC 于 F，且 DF=EF，求证：BD=CEADB                  CFE例&

11、#160;3：已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于F，求证：AF=EFA提示：倍长 AD 至 G，连接 BG，证明BDGCDA三角形 BEG 是等腰三角形EF例 4：已知：如图，在 DABC 中， AB ¹ AC ，D、E 在 BC 上，

12、且.DB                          CAFBD     E     C第 1 题图B         &#

13、160;             C.DE=EC，过 D 作 DF / BA 交 AE 于点 F，DF=AC.求证：AE 平分 Ð BAC提示：方法 1：倍长 AE 至 G，连结 DG方法 2：倍长 FE 至 H，连结 CH例 5

14、：已知 CD=AB，BDA=BAD，AE 是ABD 的中线，求证：C=BAEAE    D提示：倍长 AE 至 F，连结 DF证明ABEFDE（SAS）进而证明ADFADC（SAS）【融会贯通】1、在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAE=EAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，

15、并证明你的结论A提示：延长 AE、DF 交于 G证明 AB=GC、AF=GF所以 AB=AF+FCBECDF2、如图，AD 为 DABC 的中线，DE 平分 ÐBDA 交 AB 于 E，DF 平分 ÐADC 交 AC 于 F. 求证：BE + CF > EFAEFBDC3、已知：如图，DABC 中，ÐC

16、=90°，CMAB 于 M，AT 平分ÐBAC交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DE/AB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.第 14 题图提示：过 T 作 TNAB 于 NAM证明BTNECDDBETC截长补短法引辅助线.思路：当已知或求证中涉及到线段 a、b、c 有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：

17、在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例1. 如图，ABC 中，ACB2B，12。求证：ABACCD（证法一： 补短AB法）ACCD延长证法AC 至点 F，使二：（截长法）得 AFAB在 AB 上截取 AEAC，连结 DE在ABD 和AFD 中在AED 和ACD 中ABDAFD（SAS）AEDACD（SAS）BFACB2BACB2F而AC

18、BFFDCFFDCCDCF而 AFACCFAFACCD例2. 如图，在 RtABC 中，ABAC，BAC90°，12，CEBD 交 BD 的延长线于 E，证明：BD2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE，转化为证两线段相等的问题，分别延长 BA，CE 交于 F，证BEFBEC，得，再证ABDACF，得 BDCF。1、如图，DABC 中，AB=2AC，AD 平分 ÐBAC ，且&

19、#160;AD=BD，求证：A.CBD.CDAC2、如图，ACBD，EA,EB 分别平分CAB,DBA，CD 过点 E，AD求证;ABAC+BDE3、如图，已知在 VABC 内， ÐBAC = 60 0 ， ÐC = 400 ，P，Q 分别在BC       ABC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是 ÐBA

20、C ， ÐABC 的角平分线。求证：BBQ+AQ=AB+BPQP4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分 ÐABC ，A求证： ÐA + ÐC = 180 0D      CB5.已知：如图，ABC 中，AD 平分BAC，若C=2B,证明：AB=AC+CD.6.已知：如图，ABC 中，A=60°

21、，B 与C 的平分线 BE,CF 交于点 I，求证：BC=BF+CE.BCAD    CAFI   E7.已知：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AD 上一点，BF 平分CBE 交 CD 于 F， B求证：BE=CF+AE.CAE  DF.B        

22、0;  C.与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。AEA   

23、                                   EDOD      CB        

24、             F            C图1-1      B                  

25、;        图1-2F例1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分ABC，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已

26、试一试。例2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCACA分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。EC例3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。DB图1-3AEB      

27、0;          D图1-4C.练习123.已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE已知：在ABC 中，AB>AC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CM>AB-AC4 已知

28、：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。A（2）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性EDF质来证明问题。B例1 如图 2-1，已知 AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180C图 2-1A分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。DB图2-2

29、E         C例2 如图 2-2，在ABC 中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC 的平

30、分线也经过点 P。BANDP图2-3MFC分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等练习：.1如图 2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA，如果 PC=4，B则 PD=（）A4B3C2D1C2已知在ABC 中，C=90，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。O图2-4PDA3已知：如图 2-5, BAC=CAD,AB>AD，CEAB，1AE=

31、0;2 （AB+AD）.求证：D+B=180。A4.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BCED上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90,CDAB，垂足为D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=B

32、H。ADBC图2-5CEEFHADBB图2-6 FC图2-7（3）、作角平分线的垂线构造等腰三角形（。从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）例1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，AB>AC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。1求证：DH=（AB-AC）2分析：延长 CD

33、0;交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90，AD 为ABC 的平分线，ADEB         H图示3-1CFCEBE.求证：BD=2CE。A分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长DE此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。B图3-2C.例 3已知：如图3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的

34、内、外角平分线，过顶点B 作 BN 垂直AD,交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。A分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。BDMC                &

35、#160;              EFN图3-3例4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAAD 交 AD 延长线于 M。求证：AM= 1 （AB+AC）2E分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，n     

36、60;    CFBD作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= 1 EC，另外由求证的结M2图3-41果 AM= （AB+AC），即 2AM=AB+AC，也可尝试作ACM 关于 CM 的对称2FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习：1已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE

37、 于 E，连接 DE，求 DE。2已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF 于 F，AEBE 于 E，1连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN=BC2CAHI图4-1                 &

38、#160;                图4-2（4）、以角分线上一点做角的另一边的平行线ADEFBG BC有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图 4-2 所示。C例4如图，AB>AC, 1=2，求证：ABAC>BDCD。A  &#

39、160;  12DAB.BD.例5如图，BC>BA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例6如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。练习：A1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。AD        CEBA1 2BC2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCACBD3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60°，求证：AC=AE+CD已知：如图在