IIR高通、带通和带阻数字滤波器课程设计

1、设计要求：IlR高通、带通和带阻数字滤波器设计巴特沃思数字高通滤波器设计：抽样频率为IOkHZ,通带截止频率为2.5 kHZ ,通带衰减不大于2dB,阻带上限 截止频率1.5kHZ ,阻带衰减不小于15 dB巴特沃思数字带通滤波器设计：抽样频率为10kHZ,通带范围是1.5 kHZ到2.5 kHZ ,通带衰减不大于3dB,在IkHZ和4kHZ处衰减不小于20 dB巴特沃思数字带阻滤波器设计：抽样频率为10kHZ,在-2 dB衰减处的边带频率是1.5 kHZ，4 kHZ，在-13dB衰 减处频率是2kHZ和3kHZ分别绘制这三种数字滤波器的幅度响应曲线和相位响应曲线； 采用切比雪夫I型滤波器为原

2、型重新设计上述三种数字滤波器； 分别绘制这三种数字滤波器的幅度响应曲线和相位响应曲线； 对两种滤波器原型的设计结果进行比较IlR高通、带通和带阻数字滤波器设计一、设计目的和意义随着集成电路技术的发展，各种新型的大规模和超大规模集成电路不断涌现集成电 路技术与计算机技术结合在一起，使得对数字信号处理系统功能的要求越来越强。DSP技术就是基于 VLSl技术和计算机技术发展起来的一门重要技术，DSP技术已在通信、控制 信号处理、仪器仪表、医疗、家电等很多领域得到了越来越广泛的应用在数字信号处理中数字滤波占有极其重要的地位。数字滤波在语音信号、图象处理模式识 别和谱分析等领域中的一个基本的处理技术。数

3、字滤波与模拟滤波相比数字滤波具有很 多突出的优点，主要是因为数字滤波器是过滤时间离散信号的数字系统，它可以用软件（计算机程序）或用硬件来实现，而且在两种情况下都可以用来过滤实时信号或非实时 信号。尽管数字滤波器这个名称一直到六十年代中期才出现，但是随着科学技术的发展 及计算机的更新普及，数字滤波器有着很好的发展前景，在各个领域中越用越广乏。二、设计原理、数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图1所示。设输入序列为 X n ,离散或数字滤波器对单位抽样序列n的响应为h n。因 n在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。Xn数字滤

4、波器ynX Zh n ,H(z)yz图1数字滤波器原理数字滤波器的序列 y n将是这两个序列的离散卷积，即yn h k X nk（ 1.4）k同样，两个序列卷积的Z变换等于个自Z变换的乘积，即YZHZXZ（ 1.5）用Zej T代入上式，其中T为抽样周期，则得到YejT HejTXejT(16 )式中X ej T和YejT分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而HejT为单位抽样序列响应h n的频谱。由此可见，输入序列的频谱XejT经过滤波后，变为HejTXejT ,按照X ej T的特点和我们处理信号的目的，选取适当的H ej T使的滤波后的HejTXejT符合我们的要求。按信号通过系统

5、时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基 本类型。低通数字滤波器：图1.3所示H(ej )H(ej )0CC高通数字滤波器：图1.4所示H<j)带通数字滤波器：图1.5所示H(ej )H(ej )1, 2 | | 0H(ej)2-2 图1.5带通数字滤波器的频谱带阻数字滤波器：图1.6所示H(ej )H(ej )01, 2 | | 01 2-2 - - - 2 2 2图1.6带阻数字滤波器的频谱其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。、IIR滤波器设计IIR数字滤波器采用下面的主要步骤:1、冲击响应不变法冲激响应不变法的设计原理是利用数字滤波器的单位抽样响应序列

6、H Z)来逼近模拟滤波器的冲激响应g(t)。按照冲激响应不变法的原理，通过模拟滤波器的系统传递函数 G(S)，可以直接求得数字 滤波器的系统函数H(Z),其转换步骤如下：1) 利用 = T(可由关系式二 厂推导出)，将3 , J转换成心，,而3 ,不变;2) 求解低通模拟滤波器的传递函数 G(S)；3) 将模拟滤波器的传递函数G(S)转换为数字滤波器的传递函数 H(Z)。尽管通过冲激响应不变法求取数字滤波器的系统传递函数比较方便，并具有良好的时域逼近特性，但若G(S)不是带限的，或是抽样频率不高，那么在中将发生混叠失真，数字滤波器的频率响应不能重现模拟滤波器的频率响应。只有当模拟滤波器的频率

7、响应在超过折叠频率后的衰减很大时，混叠失真才很小，此时采样脉冲响应不变法设计 的数字滤波器才能满足设计的要求，这是冲激响应不变法的一个严重的缺点。由于的频率映射关系是根据"尹推导的，所以使j 轴每隔2Ts便映射到单 位圆上一周，利用冲激响应不变法设计数字滤波器时可能会导致上述的频域混叠现象。 为了克服这一问题，需要找到由S平面到Z平面的另外的映射关系，这种关系应保证：1) S平面的整个j 轴仅映射为Z平面单位圆上的一周；2) 若G(S)是稳定的，由G(S)映射得到的H(Z)也应该是稳定的；3) 这种映射是可逆的，既能由G(S)得到HZ),也能由H(Z)得到G(S)；4) 如果 qj

8、0)=1 ,那么。双线性Z变换满足以上4个条件的映射关系，其变换公式为2 -15 =2z + l(4-10)双线性Z变换的基本思路是：首先将整个S平面压缩到一条从- TS到Ts的带宽为 2Ts的横带里，然后通过标准的变换关系将横带变换成整个Z平面上去，这样就得到S平面与Z平面间的对应的单值关系。在MATLA中，双线性Z变换可以通过bilinear 函数实现，其调用格式为：Bz，Az = bilinear(B ，A, FS);其中B, A为模拟滤波器传递函数G(S)的分子分母多项式的系数向量，而Bz, AZ为数字 滤波器的传递函数HZ)的分子分母多项式的系数向量。由于"码的频率映射关系

9、是根据"尹推导的，所以使j 轴每隔2Ts便映射到单 位圆上一周，利用冲激响应不变法设计数字滤波器时可能会导致上述的频域混叠现象。为了克服这一问题，需要找到由S平面到Z平面的另外的映射关系，这种关系应保证：1) S平面的整个j 轴仅映射为Z平面单位圆上的一周；2) 若G(S)是稳定的，由G(S)映射得到的H(Z)也应该是稳定的；3) 这种映射是可逆的，既能由G(S)得到HZ),也能由H(Z)得到G(S)；4) 如果 G 0)=1 ,那么 Hf*)"。双线性Z变换满足以上4个条件的映射关系，其变换公式为2 E5 =r÷l(4-10)双线性Z变换的基本思路是：首先将整个

10、S平面压缩到一条从- TS到Ts的带宽为 2Ts的横带里，然后通过标准的变换关系 "0将横带变换成整个Z平面上去，这样 就得到S平面与Z平面间的 对应的单值关系。在MATLA中，双线性Z变换可以通过bilinear 函数实现，其调用格式为：Bz，Az = bilinear(B ，A, FS);其中B, A为模拟滤波器传递函数 GtS)的分子分母多项式的系数向量，而Bz, AZ为数字 滤波器的传递函数WZ)的分子分母多项式的系数向量。IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：(1) 根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设

11、计性能指标。(2) 估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、 ChebIOrd 等。(3) 设计模拟低通滤波器原型，利用 MATLAB工具函数buttap、cheb1 ap等。(4) 由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器(低通、高通、带通、带阻)，利 用 MATLAB 工具函数 lp2lp、Ip2hp、Ip2bp、Ip2bs。(5) 将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLAB工具函数bilinear。设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。数字性能指标给出通带截止频率 P，阻带截止频率S，通带衰减RP，阻带衰减RS

12、 等。数字频率 P和S的取值范围为0单位：弧度，而 MATLAB工具函数常采用 标准化频率，P和S的取值范围为01。MATLAB 使用n,Wn=buttword(Wp,Ws,Rp,Rs); n,Wn=buttword(Wp,Ws,Rp,Rs,''来计 算滤波器所需的最小阶数。参数如下：(频率单位为rad/s)WP:通带截至频率Ws:阻带截至频率Rp ：通带允许的最大衰减Rs:阻带应达到的最小衰减N:滤波器所需最小阶数Wn ：滤波器的截至频率( 3DB 带宽截至频率)对模拟滤波器阶数计算必须指定s,数字滤波器无需指定。 在确定了模拟滤波器的阶数后，就进行模拟低通滤波器的原型设计。

13、函数 BUTTER 用于 Butterworth 滤波器设计,调用格式:b,a=butter(n, n , 's')b,a=butter(n,n , ' ftype ', 's')其中，n为滤波器阶数；n为滤波器截止频率，s'为模拟滤波器，确省时为数字 滤波器。 ftype '滤波器类型： high '为高通滤波器，截止频率n ; Stop'为带阻滤波器，n= 12 ( 12)；ftype'缺省时为低通或带通滤波器。三、详细设计步骤1. 数字高通滤波器设计抽样频率为10KHZ通带截止频率为2.5KHZ,通带

14、衰减不大于2dB,阻带上限截止频 率为1.5KH Z,阻带衰减不小于15 dB。程序及波形：巴特沃斯:Ap=2;As=15;Nn=1000;Fs=10000; wp=2500*2/Fs; ws=1500*2/Fs;N,wn=buttord(wp,ws,Ap,As);%计算巴特沃斯滤波器阶次和截止频率b,a=butter(N,wn,'high');%频率变换法设计巴特沃斯高通滤波器db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); subplot(2,1,1) plot(w/pi,mag);xlabel('w/pi');ylabel(' 幅度 /

15、dB');title(' 高通巴特沃斯滤波器 ')grid on;subplot(2,1,2); plot(w/pi,180/pi*unwrap(pha);XIabel('wpi'); ylabel('相位'); grid on;N =3Wn =0.4670世!切比雪夫I型设计：Ap=2;As=15;Nn=256;Fs=10000; wp=2500*2Fs; ws=1500*2Fs; N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Ap,As);b,a=cheby1(N,Ap,Wn,'high'); db,mag,pha,grd,

16、w=freqz_m(b,a); subplot(2,1,1)PIOt(Wpi,mag);XIabeI('wpi');ylabel('幅度 dB');title('高通切比雪夫滤波器');grid on;subplot(2,1,2); plot(wpi,180pi*u nwrap(pha); xlabel('wpi');ylabel('相位');grid on;title（'带通巴特沃斯滤波器'）Wn =0.5000ILOvpiwp2. 数字带通滤波器设计：W 2 f / fs抽样频率为10KHZ通带

17、范围是1.5KHZ到2.5KHZ,通带衰减不大于3Db,在IKHZ和4KHZ处衰减不小于20dB。程序和波形：巴特沃斯：Fs=10000;wp=1500 2500*2Fs; ws=1000 4000*2Fs;Ap=1;As=20;计算巴特沃斯滤波器频率Nn=256;N,w n=buttord(wp,ws,Ap,As);%阶次和截止频率b,a=butter(N,w n,'ba ndpass');%变换法设计巴特沃斯高通滤波器db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);SubPlOt(2,1,1) plot(wpi,mag); xlabel('wpi'

18、;);yabel(' 幅度 dB');grid on;SubPlOt(2,1,2);PlOt(Wpi,180pi*u nwrap(pha);XIabeI('wpi');ylabel(' 相位');grid on;Wn =0.26650.5430wp切比雪夫I型：Fs=10000;wp=1500 2500*2Fs;ws=1000 4000*2/Fs;Rp=3;Rs=20;N=256; N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs); b,a=cheby1(N,Rp,Wn); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); sub

19、plot(2,1,1)PIOt(Wpi,mag);XIabeI('wpi');ylabel('幅度 dB');title('带通切比雪夫滤波器');grid on;SubPlOt(2,1,2);PlOt(Wpi,180pi*u nwrap(pha);XIabeI('wpi');ylabel('相位'); grid on;N =2Wn =0.30000.5000WZPl3、数字带阻滤波器设计：抽样频率为10kHZ,在-2 dB衰减处的边带频率是1.5 kHZ , 4 kHZ, 在-13dB衰减 处频率是2kHZ和3k

20、H乙程序和波形：巴特沃斯：FS=Ioo00;Wp=1500,4000*2Fs;Ws=2000,3000*2Fs;Ap=-2;As=-13;Nn=256;N,w n=buttord(wp,ws,Ap,As);%计算巴特沃斯滤波器阶次和截止频率b,a=butter(N,w n,'stop');计巴特沃斯高通滤波器db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);SubPlOt(2,1,1)PlOt(Wpi,mag);XIabeI('wpi');ylabel('幅度 /dB');TitIec带阻巴特沃斯滤波器')grid on;sub

21、plot(2,1,2);PIOt(Wpi,180pi*u nwrap(pha);XIabeI('wpi');ylabel('相位');grid on;N =频率变换法设Wn =0.28260.5219切比雪夫I型:Fs=10000;N=256;wp=1500 4000*2Fs;ws=2000 3000*2Fs;Ap=-2;As=-13;N,Wn=cheb1ord(wp,ws,Ap,As);b,a=cheby1(N,Rp,Wn,'stop'); db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a);SubPlOt(2,1,1)PlOt(Wpi

22、,mag);XIabeI('wpi');yabel('幅度 dB');title('带阻切比雪夫滤波器');grid on;subplot(2,1,2);PIOt(Wpi,180pi*u nwrap(pha);XIabeI('wpi');ylabel('相位');grid on;N =Wn =LU0.30000.8000wp四、设计结果及分析巴特沃斯滤波器的频率特性无论在通带与阻带都随频率而单调变化，因而如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。 切比雪夫滤波器的幅度特性

23、就在一个频带中，具有这种等纹特性，一般是在通带中等纹 的，在阻带中是单调的即使切比雪夫 I型。Il型的则是通带单调，阻带等纹。五、体会通过这次设计明白了巴特沃斯和切比雪夫滤波器的设计原理，加深了数字信号处理知 识。在设计的过程中，首先是针对题目进行了仔细的分析，将所涉及到的波形，频谱及 相关函数等知识做了很好的学习，然后通过查阅大量资料加深对DFTFFT以及调制解 调滤波的理解，大体上把握设计的基本思路，在详细设计中根据具体程序不断的深化 在做这个设计中的学习使我对数字信号处理这门课程有了进一步的了解， 使我加强了对 实际问题的动手和思考和解决能力。但也暴露出了自身的许多不足，如自己自主解决问

24、 题的能力有所欠缺， 这在以后需要更好的加强。 同时在此设计过程中还学习了 MATLAB 等软件，掌握了一些 MATLAB 以前没有的用法，这对以后的工作和解决问题的工具都 有了很好的帮助六、参考文献1 程佩青 数字信号处理 清华大学出版社2 周 霖 DSP 算法设计与系统方案 国防工业出版社3 曹志刚.钱亚生. 现代通信原理 .清华大学出版社， 2006年 10月第 24版4 张威 .MATLAB 基础与编程入门（第二版）西安电子科技大学出版社5 MATLAB 7.x 数字信号处理 ,郭仕剑等主编，人民邮电出版社 , 2006.106 MATLA仿真技术，王峰编，国防科技大学出版社，2004附录 freqz_m.m 文件：(如果 matlab 版