一元二次方程知识点总结及典型习题解析

1、一元二次方程、本章知识结构框图二、具体内容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 .正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1)明确只有当二次项系数 a#0时，整式方程ax+bx+c =0才是一元二次方程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3)熟练整理方程的过程3 . 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 .列出实际问题的一元二次方程(二)、一元二次方程的解法1 .明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为

2、一元一次方程求解；2 .根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .体会不同解法的相互的联系；4 .值得注意的几个问题：22(1)开平方法：对于形如 x =门或(2*+9 =n(a #0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2 = n的方程的解法：当 n >0时，x = ±Jn ；当 n = 0 时，x1 = x2 = 0 ;当n <0时，方程无实数根。(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x + m)2 =门的方程，再运用开平方法求解。配

3、方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边;,.2一(x+m) = n的形式;“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为求解：若n之0时，方程的解为x = -m土 Jn,若n<0时，方程无实数解。(3)公式法：一元二次方程2ax+ bx + c = 0(a = 0)的根 x =- b 二 b2 -4ac2a当b2 -4ac >0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；2b当b -4ac =0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为xi = x2 =2a当b2 -

4、4ac <0时，方程无实数根.公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定 a,b,c的值；代入b2-4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若 b2 -4ac之0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。(因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若 ab=0,则 a = 0M£b = 0 ；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到

5、两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。第16页共14页(三)、根的判别式1. 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用

6、判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。(1) A = b2 _4ac(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax2 +bx +c = 0 ( a = 0)当Ja #0。方程有实数根;A至0时a #0' A0时U方程有两个不相等的实数根；当'a#0u方程有两个相等的实数根；)= 0 时a #0当1方程无实数根; <0时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2.常见的问题类型(1)利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式，证明一元二次方程根的情况

7、先计算出判别式(关键步骤)；用配方法将判别式恒等变形；判断判别式的符号；总结出结论.例：求证：方程(a2+1)x2-2ax + (a2+4) = 0无实数根。(4)分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0, 一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。(5) 一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式(组)等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧(6) 一元二次方程根的判别式与整数解的综合(7) 判别一次函数与反比例函数图象的交点问

8、题(四)、一元二次方程的应用1 .数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。2 .几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要 结合几何知识检验。3 .增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a）,增长率（x）,变化的次数（n）, 变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式 a（l+x）n=b表示。4 .其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。（五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50

9、米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有 400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？ （36岁）已知：a,b,c分别是AABC勺三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2 +m） +b（x2 m） 2%；'max = 0有两个相等的实数根，求证：AABC是直角三角形。（4）已知：a,b,c分别是AABC的三边长，求证：方程 b2x2+（b2 +

10、c2a2）x + c2 = 0没有实数根。（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 mx24x + 4 = 0与x2 - 4mx + 4m2 4m - 5 = 0的根都是整数？ （ m=1）2m -1_(6)已知关于x的万程x +2x +=0,其中m为实数，(1)当m为何值时，方程没有实x 2x-2m数根？ ( 2)当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。答案：(1) m <-2 (2) x = -1,1±V2.(六)相关练习(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：_

11、22(1)5x 一2 =3x(5x ,-3x,-2)(2)、,2 _6x2 _15x =0(6x2,15x,- . 2)(3) 3y(y 1) =7(y 2) -5(3y2,_4y,_9)(4) (m . m)(m - . m) (m -2)2 =7 -5m(2m2,0, -3)222(5) (5a -1)2 -4(a -3)2(3a2,2a,-5)2 .应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值2(1) m为何值时，关于 x的方程(m J2)xm (m+3)x = 4m是一元二次方程。(2)若分式x - 7x - 8一n= 0 ,则 x =x -13 .由方程的根的定义求字母或代数式值(

12、1)关于x的一元二次方程(a 1)x2+x + a2 1 =0有一个根为0,则2=(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a #0)有一个根为1, 一个根为1,则a+b+ c =a -b c =(3)已知c为实数，并且关于x的一元二次方程x23x + c =0的一个根的相反数是方程 x2+3x-c = 0的一个根，求方程 x2 +3x c = 0的根及c的值。(二)一元二次方程的解法_ 2(2) 169(x-3) =2891.开平方法解下列方程：(3) y2 361 =0(1) 5x2 -125 =0(4) (1-<3)m2 =0(5)2(3x 1)2 =8 52_(2) y

13、 +5y+1=0(2) p2 3 = 2.3p2.配方法解方程：(1) x2 2x -5 =0(3) 2 y2 -'4y = -33.公式法解下列方程：(1) 3x2 = 6x -222(3) 7y =11y(4) 9n =5n2(5) x 2 = (x -2)(2x -1)-34.因式分解法解下列方程:2(2) y 4y -45 = 01 2(1) -x2 -9=04(3) 8x2 10x -3 =0(4) ,7x2-.21x=0(5) 6x2 -3,3x =2、.2x-、,6， 一、2(6) (x -5) =2(x-5)-1 (x2 3x)2 -2(x2 3) -8 =0222(2

14、) 2m -m 1=2(m -2m)5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程)(1)2(2x -7)2 =128(3) 6x(x -2) =(x 2)(x - 3)2 一 一一(4)y 3y(3-2y)y(3y-1)3 一 23225 5) 81(2x -5)2 =144(x -3)26 .解含有字母系数的方程( 解关于x的方程)：(1) x2 -2mx m2 -n2 = 0(2) x2 3a2 = 4ax - 2a 12(3) (m+n)x +2nx = mn (m + n00)(4) a2(x2 -x ， 1) -a(x2 -1) = (a2 - 1)x（三）一元二次方程的根的判别式1.不

15、解方程判别方程根的情况：(1) 4x2_x+3=7x(2) 3(x2+2) = 4x(3) 4x2 - 5 =4、, 5x22. k为何值时，关于x的二次方程kx26x + 9 = 0(1)有两个不等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)无实数根3,已知关于x的方程 4x2 -(m+2)x =1-m有两个相等的实数根.求m的值和这个方程的根.2_24,若方程x +2(a+1)x+a +4a5=0有实数根，求：正整数 a.5.对任意实数 m,求证：关于x的方程(m2 +1)x2 -2mx + m2 +4=0无实数根.6. k为何值时，方程(k 1)x2 (2k+3)x + (k+3) =0有实数

16、根.7.设m为整数，且4cm<40时，方程x2 2(2m 3)x+4m2 14m+ 8 = 0有两个相异整数根， 求m 的值及方程的根。一元二次方程应用题总结分类及经典例题1、列一元二次方程解应用题的特点列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲， 列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一 次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决.如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由 于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学 问题中涉及积的一些问

17、题，经营决策问题等等.2、列一元二次方程解应用题的一般步骤和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、歹h解、答”.(1) “审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系.这一步是解决问题的基础;(2) “设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未 知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要.恰当灵活设元直接影响着 列方程与解方程的难易；(3) “列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出 含有未知数的等式，即方程.找出相等关系列

18、方程是解决问题的关键；(4) “解”就是求出所列方程的解；(5) “答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数， 降低率不能大于100%等等.因此，解出方程的根后，一定要进行检验.3、数与数字的关系两位数=(十位数字)X10十个位数字三位数二(百位数字)X 100 + (十位数字)X 10十个位数字4、翻一番翻一番即表示为原量的 2倍，翻两番即表示为原量的4倍.5、增长率问题(1)增长率问题的有关公式：增长数=基数X增长率实际数=基数+增长数(2)两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：原来的X (1+增长率)增长期数=后来的说明：(1)上述

19、相等关系仅适用增长率相同的情形；(2)如果是下降率，则上述关系式为：原来的X (1增长率)下降期数=后来的6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤整体地、系统地审读题意；(2)寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；(3)设未知数，并依据等量关系列出方程；(4)正确地求解方程并检验解的合理性；(5)写出答案.7、列方程解应用题的关键(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和未知数，分清 它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知数的方法和正确地设出未知

20、数.8、列方程解应用题应注意：(1)要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；(2)由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验.即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的1 .已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积2 . 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字少4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4, 求这个两位数3 .某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了 342万册，第二年印刷了 500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？4 .某人把5000元存入银行，定期一年到期后取出300元，将剩余部分（包括利息）继续存入银行，定期还是一年，且利率不变，到期如果全部取出，正好是275元，求存款的年利率？（不计利息税）5 .某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利