(完整word)考研高等数学知识点总结,推荐文档

1、2du1 u21 / 13导数公式:高等数学知识点总结2(tgx) sec x(arcsin x)(ctgx)2csc x(secx)secx tgx(arccos x)(cscx)cscx ctgx(ax)axI na(arctgx)(IogaX)1(arcctgx)1ar21 x21n12x11 x2基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdxIn cosxdx2cosxsec xdxtgx CctgxdxIn sin xsecxdxInsecxtgxdx-2sin xcsc2xdxctgx Csecxsinxdx1arctgxCcscx ctgxdxx22axaax .aa dx2dx2

2、1InxaCIn axa2axashxdxchxdx1ax22 InCchxdxshxax2aaxtgxdxsecxctgxCcscxdxIncscxcscx CCCCdx_ dxa22u1 u2.x arcsinax2ln( xx2a2) C22nsinnxdxcosnxdx00.x2a2dxx2 :xa22-2 2 x adxx2 x2a22x2x2dxIn2 In(xx2a2) C22a . In x2x2a22Marcs” C21 u2cosx1 u2tg2，dx2du2 u21 / 13一些初等函数:两个重要极限:xx3 / 13arshx ln(xx21)archxIn (xx21

3、)三角函数公式:诱导公式：函数角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90 - acosasinactgatga90 +acosa-sina-ctga-tga180 asina-cosa-tga-ctga180-a-sina-cosatgactga270 - a-cosa-sinactgatga270 +a-cosasina-ctga-tga360 - a-sinacosa-tga-ctga360 +asinacosatgactga-和差化积公式:双曲正弦：shx双曲余弦：chx双曲正切:thxshxchxsinxlim1x 0 x1xlim(1 -)x xxe 2.

4、718281828459045arthx丄In1sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctgsinsinsinsincos coscos cos2sin cos-2 22 cos sin 2 22cos cos-2 22 si n-sin 2 2-和差角公式:14 / 13sin 22si ncos22cos2ctg2ctg22ctgtg22tg2倍角公式:cos1-半角公式:1 1 2si n22cos2sinsin33si ncos34cos3tg33tg4si n33cos-3tg2sin 21

5、cos21 coscos21 cos21 cossinsin1 cosctg-1 cossin1 cossin1 cos-正弦定理：，一sin Asin B亠2Rsin C-余弦定理:b22abcosC-反三角函数性质:arcs in xarccosxarctgxarcctgx高阶导数公式一一莱布尼兹(Leibniz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)vnu(n 1)vn(n 1)u2!(n 2)vn(n1) (n kk!1)(n k)v(k)uv(n)中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f (a)f (a)F ()f ( )(b a)当F

6、(x) x时,曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。弧微分公式:1 2 .ds 1 y dx,其中y tg平均曲率：KM点的曲率:直线：K 0;半径为a的圆:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;y|(1 y2)3s：MM弧长。15 / 136 / 13定积分的近似计算:定积分应用相关公式:功：W F s水压力：F p A引力：F kmimP2,k为引力系数r函数的平均值：y均方根：.1f2(t)dtb a空间解析几何和向量代数:.(X2xj2(y2如)2(Z2乙)2AB cos ,是AB与u轴的夹角。Pr ju(a1a?) Pr ja1Pr ja2代表平行六面体的体积 。

7、b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)aba,(yoyinb a 1z、(y。yn)n 2yn 1)yiyn ib抛物线法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yiy3yn i)f(x)dx空间2点的距离：d M1M2向量在轴上的投影：PrjuABa b cosaxbxaybyazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cosaxbx2 2axayaybyazbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例: 线速度:向量的混合积:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,为锐角时,x7 / 13平面的方程：1、点法

8、式：A(x xo) B( y yo) C(z般方程：AxByzo)0,其中n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)2、Cz D 03、截距世方程：-ya b平面外任意一点到该平面的距离:AxoBy。CzoD A2B2C2Xo空间直线的方程:x XomZopt,其中s m, n, p;参数方程:y。ZmtntPt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz:2 22abc222:xyz:2.22abc椭球面:1抛物面:双曲面:11(马鞍面)单叶双曲面双叶双曲面多元函数微分法及应用全微分：dz dxx全微分的近似计算：dy yz dzdu dx dy

9、 dz y zfy(x,y) yxfx(x, y) x多元复合函数的求导法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x当 u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dyx y隐函数的求导公式：dvdxxdyy隐函数 F(x,y) 0,dydxd2y隐函数 F(x,y,z) 0,Fy，FFz，dx2(音)+(x FyyFxydydxFzx8 / 139 / 13FF隐函数方程组：F(x,y,u,v)0J(F,G)u飞FuFvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)XJ(x,v)XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ

10、(y,v)yJ(u,y)微分法在几何上的应用:曲面F (x, y,z) 0上一点M(Xo,y,Zo),则:1、过此点的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, zo), Fz(x, y,z。)2、 过此点的切平面方程 :Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,y,Zo)(y y) Fz(x, y,z)(zx Xoy yoz ZoFx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo,Zo)Fz(x,yo,Zo)方向导数与梯度：函数 z f (x, y)在一点 p(x,y)沿任一方向 I 的方向导数为：fcos sinl xy其中为 x 轴到方向 I 的转角。函数 z f (x, y)

11、在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：-f grad f (x,y) e,其中 e cos i sinj，为 I 方向上的单位向量f 是 gradf (x, y)在 l 上的投影多兀函数的极值及其求法：设fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0,令:fxx(Xo, yo) A,fxy(Xo, yo) B,fyy(x,yo)CAC2B0时，Ao,(Xo,yo)为极大值Ao,(Xo,yo)为极小值则：ACB20时，无极值ACB20时，不确定x空间曲线yz(t)(t)在点M (x0, y0, z )处的切线方程:(t)X Xo(to)y y。(to)z

12、Zolt0)在点M处的法平面方程:(to)(x Xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)o若空间曲线方程为:F(X，y，Z),则切向量TG(x,y,z) oFyFyGyGZGzGxGxGyZo) o3、过此点的法线方程:10 / 13重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面积A2dxdy平面薄片的重心：x业Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量： 对于X轴IX平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2(x, y)d ,D对z轴上质点M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD

13、(x, y)dD对于y轴Iyo)的引力:3?D/222X2(x y a )柱面坐标和球面坐标：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2(x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐标：y r sin sin，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M转动惯量:I

14、x(y2z2)dv,Iy(x2曲线积分:第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)设f (x, y)在L上连续,L的参数方程为:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),则:特殊情况:y (t)11 / 1312 / 13第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：P(x, y)dx Q(x,y)dyL P (t),(t) Q (t),(t)(t) dt两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(P cosQ cos)ds，其中和分别为L 上积分起止点处切向量的方向角。设L的参数方程为 x，则:格林公式：(QP

15、)dxdyPdxQdy 格林公式：Q (-P)dxdy PdxQdyDxyLDxyL当Py,Qx，即：-QP2 时, 得到D 的面积：A1dxdyxdyydxxyD2L平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、 P(x,y)，Q (x, y )在G 内具有阶连续偏导数，且Q 。注意奇点，女口(0,0)， 应x y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：Qp在 = 时， Pdx Qdy 才是二元函数 u(x,y )的全微分，其中:xy(x, y)u (x, y )P(x,y)dx Q ( x, y) dy，通常设x0y00。(xo,y)对面积的曲面积分：2 2

16、f (x, y, z)dsfx, y,z(x,y)1 Zx(x,y) Zy(x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy，其中：曲面积分:R( x, y, z) dxdyP(x, y, z)dydzQ(x, y, z)dzdxRx,y,z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正号;DxyPx(y,z), y,zdydz，取曲面的前侧时取正DyzQx,y(z,x), zdzdx，取曲面的右侧时取正号;号。zx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy(P cos Q cos Rcos )ds高斯公式

17、:13 / 1314 / 13因此，咼斯公式又可写成：div Advo Ands斯托克斯公式-曲线积分与曲面积分的关系：(R Q)dydz (PR)dzdxQ(上P)dxdy PdxQdyRdzy zzxxydydz dzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQ Pyzzxx yi jk旋度：rotA, -x yzP QR向量场A沿有向闭曲线的环流量：cPdxQdy Rdz A tds常数项级数：等比数列：1 q q2等差数列：123调和级数：1-23级数审敛法：PQR()dv：Pdydz Qdzdx Rdxdy一(Pco

18、s Qcosxyz咼斯公式的物理意义通量与散度：P散度：divQR,即：单位体积内所产生的流体质量，若 div0,则为消失xyz通里： A ndsAnds(Pcos QcosRcos )ds，Rcos )ds(n 1)n215 / 131 正项级数的审敛法- 根植审敛法（柯西判别法）：1 时，级数收敛设：limnun，则1 时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1 时，级数收敛设：lim 土丄，贝 91 时，级数发散nUn1 时，不确定3、定义法：snu1u2un；lim sn存在，则收敛；否则发n交错级数 u1u2u3u4（或 u1u2u3unun 1如果交错级数满足 C， 那么级数收敛

19、且其和 s 5,其余项 rn的绝对值 rnun1limun0n绝对收敛与条件收敛：如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果（2）发散，而（1）收敛，则称 为条件收敛级数。调和级数：1发散，而（1）收敛;nn级数：12收敛；nP 级数：1/p1时发散np:. p 1 时收敛幕级数:1 X X2X3(1)u1u2u g| |吐|U3，其中 un为任意实数;un散。,un0）的审敛法 莱布尼兹定理:对于级数（3） a0a1x2a?xanXn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在 R，求收敛半径的方法：设limnan 1anR 时收敛R 时发散，其中 R 称为收敛

20、半径R 时不定其中 an，an 1是的系数，则0 时，R 丄0 时，R时，R 01 时，收敛于 一1 X1 时，发散16 / 13函数展开成幕级数:17 / 13函数展开成泰勒级数:f(X)f(X0)(X X0)存(x X0)2fg(x)n!(XnX)(n 1)f ()余项：Rn J(X X0)n1,f (X)可以展开成泰勒级数的充要条件是:lim RnnXo0 时即为麦克劳林公式:f (X)f(0) f (0)x 耳x2n!些函数展开成幕级数:m(1 x)1 mxm(m 1)x22!m(m 1) (m n 1)n-xn!x 1)sin x x3X3!5X5!1)02n 1X(2n1)!欧拉公

21、式:cos Xixeixe cos xi sinXsinXixe2ixixe e2三角级数:f (t) A。Ansin(n 1aA0,an其中，a。正交性：1 ,sin x, cos x, sin 2x,cos 2x上的积分=傅立叶级数：Ansin(ancos nx1Ancosn,sinnx, cos nxf (X)a02an其中bn正弦级数:余弦级数:0。(ancos nx bnsinf (x) cos nxdx(x)sin nxdxnx)，周期(n0,1,2bnsin nx)t任意两个不同项的乘积anbn24111222341112T,2234(n1,2,311f (x) sin n xd

22、x2-(相加)62-相减)120,bn1,2,3f (x)bnsin nx 是奇函数0,anf (x) cos nxdx00,1,2f (X)ancos nx 是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数:18 / 13二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中p, q为常数；求解步骤：1、 写出特征方程：()r2pr q 0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y ,y,y的系数;2、求出()式的两个根r,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解:r1，r2的形式(*)式的通解两个不相等实根(p24q 0)hxexycegef (x)a02a其中b(ancosbn 1llf (x) cosln x dx