-导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

1、课题：导数的概念及运算考纲要求：1. 了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；2. 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；3. 理解导函数的概念 熟记基本导数公式；4. 掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；5. 了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；6. 会求“过点 A 的曲线的切线方程”和“在点 A 处的切线方程”.教材复习1. 设函数 y = f ( x)

2、60;在 x = x 处附近有定义，当自变量在 x = x 处有增量 Dx 时，则函数00y = f ( x) 相应地有增量 Dy = f ( x + Dx) - f ( x ) ，如果 Dx ® 0 时， Dy 与 Dx 的比0

3、0DyDx（也叫函数的平均变化率）有极限即DyDx无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 y = f ( x) 在 x ® x 处的导数，记作 y¢0Dx®0x= x0 ，即 f ¢( x0 ) = limf ( x + Dx) - f ( x )0 0Dx在定义

4、式中，设 x = x + Dx ，则 Dx = x - x ，当 Dx 趋近于 0 时， x 趋近于 x ，因000此，导数的定义式可写成Dx®oDx              x - xf ¢( x

5、 ) = lim00f ( x + Dx) - f ( x )     f ( x) - f ( x )0 0 = lim           .x® x0 02. 求函数

6、0;y = f ( x) 的导数的一般步骤： (1 ) 求函数的改变量 Dy = f ( x + Dx) - f ( x)(2)求平均变化率 Dy =Dxf ( x + Dx) - f ( x)Dx；(3)取极限，得导数 y¢ = f ¢( 

7、;x) = lim DyDx®0 DxDx®03. 导数的几何意义：导数 f ¢( x ) = lim0f ( x + Dx) - f ( x )0 0Dx是函数 y = f ( x) 在点 x 处的瞬时变化率，它0反映的函数 y =  f

8、 ( x) 在点 x  处变化的快慢程度.不会学会，会的做对.                               没有不会做，只有没努力！0它的几何意义是曲线y = f ( x)&

9、#160;上点（ x , f ( x ) ）处的切线的斜率 . 因此，如果00y = f ( x) 在 点 x 可 导 ， 则 曲 线 y = f ( x) 在 点 （ x , f ( x ) ） 处 的

10、60;切 线 方 程 为000127y - f ( x ) = f ¢( x )( x - x )0004. 导函数(导数):如果函数 y = f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每一个x Î (a, b) ，都对应着一个确定的导

11、数 f ¢( x) ，从而构成了一个新的函数 f ¢( x) , 称这个函数 f ¢( x) 为函数 y = f ( x) 在开区间内的导函数，简称导数，也可记作 y¢ ，即 f ¢( x)  y¢ Dyf ( x + Dx)&#

12、160;- f ( x)lim= limDx®0 DxDx®0Dx函数 y = f ( x) 在 x 处的导数 y¢0x= x0 就是函数 y = f ( x) 在开区间 (a, b) ( x Î (a, b)上导数 f ¢( x

13、) 在 x 处的函数值，即 y¢0x= x0 f ¢( x ) .所以函数 y = f ( x) 在 x 处的导数也0 0x            x法则 3 ：  ç    &#

14、247;  =       (v ¹ 0)不会学会，会的做对.                               没有不会做，只有没努力！记作 f&#

15、160;¢( x )05. 几种常见函数的导数： C ' = 0 ( C 为常数)； ( x n )' = nx n-1 ( n Î Q )；11(sin x)' = cos x ； (cos x)' = - sin 

16、x ； (ln x)¢ =； (log x)¢ =log e ， (e x )¢ = e x ；aa(a x )¢ = a x ln a .6. 求导法则：法则1u( x) ± v( x)¢ = u¢( x)&

17、#160;± v¢( x)    ¢)   x¢  ),x法则 2u ( x )v ( x ¢)=u (x v (+ ) u (x v (Cu ( x)¢ = Cu '(x)æ u ö

18、;'u ' v - uv 'è v øv27. 复合函数的求导法则：复合函数 y = f ( g ( x) 的导数和函数 y = f (u) ， u = g ( x) 的导数间的关系为 y ' = y '×&#

19、160;u ' .xux8. 导数的几何意义是曲线 y = f ( x) 在点（ x , f ( x ) ）处的切线的斜率，即 k = f ¢( x ) ，000要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的，后者 A 必为切点，前者未必是切点.典例分析：题型一

20、利用导数的定义解题问题 1用导数的定义求下列函数的导数：(1) y = f ( x) = x2 ； (2)y = f ( x) = 4x2128问题 2 (1) 已知 limx®0f ( x -  x) - f ( x )0 0 x= 1 ，求

21、60;f ¢( x )0(2)（ 2013 高三西工大附中二模）若 f ¢(3) = 2 ，则 limx®1f (3) - f (1+ 2 x)x - 1=题型二 导数的计算问题 3求下列函数的导数：(1)y = ex × ln x(2)y =ex + 1ex 

22、;- 1不会学会，会的做对.                               没有不会做，只有没努力！1291 + cos x         &#

23、160;     (4) y = (x 2 - 1)× sin x + x × cos x(3) y =sin x(5) y = 3x × ex - 2x + e(6) y = (3x3 - 4 x 

24、)× (2 x - 1)问题 3求下列复合函数的导数(1) y = (2 x - 3)3 ；(2) y =3 - x ；不会学会，会的做对.                       &#

25、160;       没有不会做，只有没努力！130(3) y = sin æç 2 x + p÷ ；          (4) y = ln (2 x + 5)öè3 ø题型三导数的几何意义的应用：

26、求曲线切线的方程问题 3 (1) 求过点 P (1,1)且与曲线 y = x3 相切的直线方程.(2)（ 06 全国文）过点 (-1,0 ) 作抛物线 y = x2 + x + 1 的切线，则其中一条切线为A. 2 x + y + 2 = 0B. 3x - y 

27、;+ 3= 0 C. x + y + 1 = 0D. x - y + 1 = 0不会学会，会的做对.                           

28、60;   没有不会做，只有没努力！131(3)（ 08 届高三攸县一中）已知曲线 y = 1 x 3 + m 的一条切线方程是 y = 4 x - 4 ，则 m3的值为A.4       28       4   &#

29、160;28       2   13B. -       C.  或 -       D.  或 -3       3        3&

30、#160;   3        3    3(4) ( 2010 辽宁)已知点 P 在曲线 y =4e x + 1a则上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角， app pp 3p3p的取值范围是A. 0,)B. ,)C. (,D. 44 

31、2244,p )a 的取值范围是 A. ê-   , +¥ ÷ B. ç -¥, -   ú  C. -1, +¥) D. (-¥, -1(5)已知 a 为常数，若曲线 y = ax2 + 3x - 

32、ln x 存在与直线 x + y - 1 = 0 垂直的切线，则实数é 1öæ1 ùë 2øè2 û不会学会，会的做对.                     

33、0;         没有不会做，只有没努力！132k ®0课后练习作业：1. 若 f ¢( x ) = 2 ,求 lim0f ( x - k ) - f ( x )0 02k.2. （ 07 届高三皖南八校联考）已知 f (&#

34、160;x) = x2 + 2 xf ¢(2) ，则 f ¢(2) =3. （ 2012 沈阳模拟）若曲线 y = x2 + ax + b 在 (0, b )处的切线方程是 x - y + 1 = 0 ，则A. a = 1,b&#

35、160;= 1B. a = -1,b = 1C. a = 1,b = -1D. a = -1,b = -1则 a =   A. -1 或 -     B. -1 或 -      C. - 或

36、0; -      D.   - 或 74.（ 2013 杭州模拟）若存在过点(1,0)的直线与曲线 y = x3 和 y = ax 2 + 15 x - 9 都相切，42521725764446445. 已知 f ( x) = x3 + 

37、f ¢(   ) x2 - x ，则 f ( x) 在点 ç   ,f ç   ÷ ÷ 处的切线方程是2æ 23è 3æ 2 ööè 3 øø不会学会，会的做对.  &#

38、160;                            没有不会做，只有没努力！6. 已知函数 f ( x) = x3 - 4 x2 + 5x - 4 .(1) 

39、求曲线 f ( x) 在 x = 2 处的切线方程；(2)求经过点 A (2, -2)的曲线 f ( x) 的切线方程133走向高考：1. （ 07 湖北文）曲线 y = x3 - 2 x2 - 4 x + 2 在点 (1,- 3) 处的切线方程是2. （&#

40、160;2013 广东）若曲线 y = kx + ln x 在点 (1,k )处的切线平行于 x 轴,则 k =3. （ 2013 江西）设函数 f ( x) 在 (0, +¥) 内可导,且 f (e x ) = x + e x ,则 f&

41、#160;'(1)=不会学会，会的做对.                               没有不会做，只有没努力！1344. （ 05 北京）过原点作曲线 y = ex 的切线，则切点的坐标为，切线的

42、斜率为5. （ 06 全国）设函数 f ( x) = cos则 j =( 3x + j )（ 0 < j < p ），若 f ( x) + f ¢( x) 是奇函数，6.（ 05 湖南）设 f ( x) = sin x

43、 ， f ( x) = f ¢( x) ， f ( x) = f ¢( x) ， f01021n+1( x) = f ¢( x) ，nn Î N ，则 f2005s( x) =    A. sin x

44、     B. - sin x    C. c o x     D. - cos x7. （ 06 安徽）若曲线 y = x4 的一条切线 l 与直线 x + 4 y - 8 = 0 垂直，则 l 的方程为A. 4 x - y - 3 = 0 ； B. x + 4 y - 5 = 0 ； C. 4 x - y + 3 = 0 ； D. x + 4 y + 3 =&#