241圆的有关性质--弧、弦、圆心角教案

1、24.1 圆的有关性质弧、弦、圆心角 教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们

2、所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题重难点 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点：探索定理和推导及其应用 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题已知OAB，如图所示，作出绕O点旋转60°、90°的图形老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转60°，就是旋转角BOB=60°二、探索新知PPT演示: 把圆 O 的半径 OA 绕圆心 O 旋转任意一个角度. 由此可以看出，点 A仍落在圆上如图所示，AOA的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角AAO （学生活

3、动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？AB=AB 理由：半径OA与OA重合，且AOB=AOB 半径OB与OB重合点A与点A重合，点B与点B重合 与 重合，弦AB与弦AB重合 ，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作（学生活动）老师点评：如图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，

4、使得OA与OA重合 (1) (2)你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？(学生活动后教师可在PPT上演示)我能发现： ，AB=A/B/ 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就又回到了我们的数学思想上化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 （学生活动）请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书，老师点评 例1如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，

5、OFCD，垂足分别为EF（1）如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？AOB与COD呢？ 分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可运用上面的定理得到 = 解：（1）如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE= AB，CF=

6、CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD， = ，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE= AB，CF= CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD = ，AOB=COD 三、巩固练习教材 练习1 四、应用拓展 例2如图3和图4，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (3) (4) 分析：（1

7、）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：（1）AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F APM=CPM EPO=FPO OE=OF 连结OD、OB且OB=OD RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OEAB，OFCD，垂足为E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90° RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF，RtOAERtOCF BOE+AOE=DOF+COF AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，