ABC系统磁链的电压方程式

1、在同步电机的暂态过程中，其运行参数（电压、电流、磁链、转 距和转速等）的微分方程有多种表达形式。在同步参考坐标系即d、q、0坐标系中的一组方程式被称为同步电机基本方程式。这组方程 式首先由Park提出，所以又称为Park方程式。它表明在d、q、0坐 标系中，任意瞬间同步电机的电流、电压、磁链、转矩和转速等运行 参数的相互关系。这是一组常系数微分方程，同步电机的动态性能可 能通过分析和求解这组微分方程而获得。 而同步电机的稳态过程作为 暂态过程的一个特例，也能从态特性中分析得到。§4.1同步电机的基本方程式一、A B C系统磁链的电压方程式（一）、同步电机的组成：同步电机由定子和转子两

2、部分组成，定子和转子处于相对运动 中，定子上有ABC三个绕组，转子纵轴方向有励磁绕组F和阻尼绕组 D,横轴上有阻尼绕组Q。这6个绕组之间有电磁耦合关系，如果其 中的一个绕组的电流发生变化，那么在其它绕组中就可能有相应的感 应电流产生。由于定子和转子之间的相对运动， 故在暂态中这种电磁 耦合关系变得十分复杂，从而使得同步电机暂态特性的分析和计算变 得十分复杂和困难。（二）、同步电机的理想化为了简化分析，我们对同步电机进行理想化。（1）磁饱和、磁滞和涡流的影响可以略去不计，磁路是线性的,可以采用叠加原理进行分析 虽然不考虑饱和，但必要时可采用适当的饱和参数来近似地计及饱和 的影响。（2） 定子绕组

3、的电流在电机空气隙中只产生正弦分布的磁势，忽 略磁场的高次谐波。（3） 定子是三相对称的。即它们是三个完全相同的绕组，各 绕组的轴线在空间上相互差1200。（4）电机定子的空载电势是正弦波。即转子绕组和定子绕组之间 的互感系数是转子位置角的正弦或余弦函数。（5） 各导条阻尼绕阻可以简化为两个独立等效阻尼绕阻，分别在 纵轴d和横轴q方向上各自短路。凡满足以上条件的电机称为理想电机。 实验指出，根据理想电机 所得到的计算结果与实际电机的实验非常接近， 误差不超过工程上允 许的范围，因此实际电机可以当作理想电机来研究。（三）、A B、C系统的磁链和电压方程式rDXdXfRfrQ图4一1同步电机的定子

4、和转子回路让我们来研究转子纵轴和横轴上各有一个阻尼绕组的同步电机。这时同步电机中共有6个绕组回路。即定子绕组A、B、C ,励磁绕组？。纵轴和横轴阻尼绕组 D Q。设定子三相绕组 ABC分别接在电压为U、Ub、UC的电源上，励磁绕组接在 U?上，D Q短 路。六个绕组可以建立6个方程式，在建立方程式前，要先选定定子 和转子的纵轴和横轴的正方向。如图41,选取由定子绕组端点流 入电机中心方向作为定子各相电流的正方向； 规定绕组磁链和电流 i方向符合右手螺旋规则；定子绕组的感应电势可以作反电势e二竺dt定子的外加电压口( t)与电势e及电阻压降ri(t)相平衡；励磁绕组 外加直流电压U?,纵横轴的阻

5、尼绕组为短路，无外加电压。根据选定的电流电压的正方向，可对定子绕组ABC，励磁绕组纵轴和横轴阻尼DQ,写出以下六个电压平衡方程式。e=dWA +e=+rA 二 Uadte=业dtdWc门b 二Ube=dtdWfe=-dtdWDe=dtdWQr.ic 二 Ucr.if =Ufr.io = 0e=dt式中r、r.iQ = 0r?、5、rQ分别是定子绕组，励磁绕组，转子纵轴和横轴阻尼绕组的内阻；Wa, Wb, Wc, Wd, Wq, w?为各线圈的磁链这些磁链由iB、ic、i» i。、i?等6个电流共同产生。再由图4-2示出三相定子绕组A、 E、C及纵轴D和横轴Q的 正向关系，取Q轴超前D

6、轴9 0度，各绕组轴线的正方位向作为磁链 的正方向，各绕组的正向电流产生自身的正向磁链， 可以得出6个磁 链方程式：LaMabMacMa?M ADMaq)f iA%M BALbbM bcM b?M bdM BQ iB业MCAM cbLccM cbM cdMcq iCM?aM?bM ?cl?M ?d0 i?M DAM dbM DCM d?Ld0 iD%丿(MqaM qbM qc00Lq丿Q丿式中L aa、Lee、Lcc、L ?、Ld、Lq分别为各绕组的自感系 数。M xy = M yx是互感系数。在凸极电机中，由于各绕组磁通路径所对 应的磁导随着转子位置角0而变化，所以式（4-2 ）中自感系数和

7、 互感系数随转子位置角0而变化，即（4-2 ）中（4 1）中微 分方程的系数是时间的周期函数， 不易求解。为了寻找解微分方程组 （4 1）的方便途径，必须研究式（4 2）中各自感系数和互感 系数。（图 4-2）（四）同步电机各绕组自感系数和互感系数的确定。（1）定子绕组的自感系数L aa,Lbb,Lcc在同步电机定子线圈中通以电流后，由电流产生的磁链按其性 质分为两类：漏磁链和定子与转子互感磁链， 漏磁链对应电感系数与 转子位置无关且为恒值；定子与转子互感磁链与转子位置相关。对于理想凸极同步电机，以d轴作为参考坐标轴时，在距离d轴 角度为B的P点处（即图4-2中定子A相轴线处）单位面积的气隙

8、磁导可以足够精确地表述为：入 s（ e）=入 °o + 入 2COS2 0（4-3）式中：0为d轴超前A相定子轴线的角度，入。为磁导平均值,入"为磁导的二次谐波幅值当0=0 °时，即d轴方向气隙磁导 入。d=入九+入。2当0=9 0 °时，即d轴方向气隙磁导由上面两式可以得到所以=2（ d + ；q ）(4-4)在图（4 1）中，当通以电流 iA时，在A相轴线方向的磁势FA=k! iA （ ki为比例系数），与P点气隙磁导、心相对应的A相气隙磁 链Wa.与Fa成正比，即1=k ki iA 2(、d1+)+ 2( d -、q ) COS2 二1 1=2(

9、L AAd + LAAqL AAd - L AAq cos2 ) iA式中 LAAd = k ki IdLAAq = k ki ' q如果A相电流产生的漏磁链aL，与此漏磁链对应的漏感为Laai, 则根据自感定义有Laa =(* +'Al)所以Laa1=LaAI( LAAd + LAAq )2LAAq )cos2=Lso + Ls2 cos2+1式中Lso = L AAl+ 1( l2 I LAAd+ LAAq )(4-7)1Ls2 = 2 ( LAAd LAAq )Lso为自感系数平均值Ls2为自感系数二次谐波幅值由于E相绕组和C相绕组与A相绕组只是在空间上互差 1200,

10、因此把(4-6 )中的0分别用0 1200和0 + 1200来代换，即可求 得B相和C相的自感系数。三相的自感系数为LaA = Ls0 ' Ls2 cos2 71Lbb 二 Ls0 Ls2COS2(一 1200)Lcc 二 Ls0 Ls2 COS2 120°)(4 8)对于隐极电机由于具有均匀的气隙，在此情况下，气隙各处的磁 导与转子位置角0关无而为一恒值。Ls2 =0所以有La Ad二La a Laa二Lbb二Lcc。即各相自感系数相等，且为一恒值。(2) 定子绕组间的互感系数M AB = M ba M bc = M cb M CA = M AC当A相绕组有电流iA流过时，

11、A相轴线方向上的磁势Fa二kA可以分解为d轴分量FAd和q轴分量FAq。FAd 二 k/ACOSdFAq 二 k1i ASin 71FAd在d轴产生的磁链为'Ad =kFAd '、d rLAAqiACOSVFAq在q轴产生的磁链为J =kFAd '、d = LAAdiASi门二由于d轴与B相定子轴线相差（e1200 ）,因此申Ad只有一部分tAdCOS© 一120°）与B相定子交链，口 Aq 也只有一部分 ' Aq cos（ 120 0 一二 90 0- Aq sin （二-120 0 ）与 B 相定子相交链，因此A相电流产生的经过气隙与 B

12、相交链的磁链BA、.为：'-BA.JAdCOsG-1200）'AqSi n12O0）=LAAd coscosC -120°） LAAqsinr sin（v -120°） iA= -|4（LAAd LAAq） - 2（LAAd - L® cos2（= 30。）（4- 9）设A、B两相之间的漏磁互感系数为Lbai ,它对应的漏磁互感磁 链（包括端部漏磁，槽漏磁及齿顶漏磁互感磁链）为BAl，则ba产LbaJa。其中Lbai是一个与转子位置B无关的系数，而且由于A B相绕组在空间分布上相差1200，所以Lbai是一个负值，令Lbai二-Mmi 贝S BAI

13、 - -M ml.iA （4-10）根据定义：Mba是定子A相单位电流所产生的与B相交链的磁链 故：Mba = BA一阴 把（4 9）与（4 10）代入上式得：iAMba 一 - Ms。 M s2 cos2 30。）（4 11）式中 Mso = M ml W （LAAd + LAAq）1Ms2 =2 LAAd - LAAq（ 4 12）以八120°与二120°代入（4 11）式中，即可得到B、C两相及C A两相之间的互感系数。A、B、C三相的互感系数为：M ab =M ba =-MS0 MS2cos 30° 1M BC 二 M CB = - M S° M

14、S2 cos2 二 - 90° 1M CA = M ac _ - M so 亠 M S2 COS2 v 150° 1(4 13)由（4 7）和式（4 12）可知：对理想电机由于自漏感LAAi和互 漏感Mml远小于（LAAd +LAAq ）,所以定子绕组的自感系数和互感系数之 间存在以下关系：Ls2 = M $2Ls° =2Mso（ 4 14）隐极电机：隐极同步电机和异步电机一样，定子各相互感系数中 的二次谐波分量为0,即MS2-0，此时，定各相之间的互感都相等且 为与转子位置角B无关的恒值。M AB = M ba = M CB = M BC = M CA = M

15、AC = -M so（3）定子和子之间的互感系数。对于理想电机，定子和转子电流所产生的气隙磁场均为正弦分布，因此定子，转子绕组之间的互感系数随角度 B按余弦规律变化。 当定子某相绕组的轴线与转子某一绕组的轴线重合时， 峡谷绕组的互 感系数达到最大，当两个绕组的轴线垂直时，它们之间的互感系数为 0。如图（4 2）所示。励磁绕组f与定子三相绕组间的互感系数为：M Af = M Sf COSTMBf -M Sf cosp 120°）MCf =MsfCOS（d 1200）（4 15）式中MSf为励磁绕组与定子绕组轴线重合时的互感系数。同理阻尼绕组与定子绕组间的互感系数为:M ad = M s

16、d COS(r)M BD = M SD cos(v -120°)Mcd =Msdcos(j 120°)转子横轴阻尼绕组与定子三相绕组的互感系数为：M aq = -MsQSin(r)Mbq 二-MsQSin(二-120°)Mcq 一MsQSi120°)(4) 转子绕组的自感系数和转子组间的互感系数。转子绕组的自感系数：Lf、Ld、Lq都是固定常数，与转子位置 角无关。由于纵轴和横轴之间没有磁通交链，所以MfQ£ Mdqt MqMqdt。励磁绕组与d轴阻尼绕组之间的互感系数 MfD也是与转子位置 角B无关的常数，且MfD二M°f。 MDf

17、为单位励磁电流所产生的与d屮轴阻尼绕组D所交链的磁链，即MDf 巴o '-Df由两部分组成，一部if分是if产生的经过气隙的公共磁链，也就是说f同时还与定子交链即是同时与励磁绕组f，阻尼绕组D和定子绕组交链的经过气隙 的公共磁链。另一部分励磁电流计产生的只与d轴阻尼绕组D交链的互漏磁链，Df,由于互漏远小于公共磁链，所以实际上可以认为互感M Df只由穿过气隙的公共磁链所确定。同理，也可以认为互感Msf和Msd也只由d轴方向穿过气隙的公共磁链决定而忽略相应的互漏磁、d、q、o系统的电压和磁链方程根据上图所示的d、q正方向，类似于交流中的变化矩阵,我们可以得到下面的公式:i Aidi B=

18、ciqjc丿Qo丿2 X3cos°-s in 日72cos(e -120")-sin(日-120 °)1cos(e +120 0-si np +120°)1'idiqUo丿(4-18)变换阵:cos-sin -cos v -120-sin( v -120 )cos(，120 )-sin(r 120 )1 )石1石1忌(4-19)同理:f>Ua(、Ud仰 、' A'dUb=cUq屮B=c屮q2c2。丿严J严0丿(4-20)由C矩阵，我们可以看到cct,即C是正交矩阵，故我们有:idiqQo丿i BdAif 、'A屮q=

19、cT屮'B芒0 J严CI C丿(4-21)式中:cos d -120-sin(v -120 )1(4-22)(4-23)cosG 120 )-sin(=120 )1把前面求得的自感、互感表达式(4-8 )、(4-13 )、(4-15 )(4-17)带入磁链式(4-21 ) 的 'sf 代入式(4-21 ) 的 ，二儿，利用iA,iB,ic与id,iq之间的变换关系:id mUaCOsB +iBcos(日 一 120°)+iC cos(B +120。)iAsin iBsin(二-120 ) iC sin120 )可以求得r,m为："d =Ldid JMsfif

20、 JMsDiD 屮厂 Lqiq+石MsQiQ'% = L°i°J式中，Ld,Lq,L°分别被称为直轴同步电感、交轴同步电感和零序电感，他们分别为:3Ld 二Ls0Ms0-Ls22Lq = Ls0 ' M $0 一 § Ls2L0 - Ls0 1 2M s0利用iA，iB，ic与id,iq,i。之间的变换关系，由公式（4-2）的后面三个关系式可以求得用id，iq表示的三个转子绕组的磁链方程：即 f = j2MfsQ + Lfif + M fDid 即 D = JM Ds id * M Df i f * Ld ip * 即Q =2MQsiq *LQiQ（4-24）d、q、0系统中同步电机定子方程可求得如下：由式（4-18）及（4-19）及式（4-20）得:2 1人= <3（id cos日-iqsi门日十拐。）1Ua =血 cosv -Uq sin ：-=u。）V21 屮 A=（屮 dCosjqsi n8+护。）（4-25）把以上各式带入式（4-1 ）的定子A相电压平衡