一次函数的图像与性质

1、一次函数的性质和图像一次函数复习.一、复习一次函数及其性质知识点次函数的定义，f 地，形如八奴，力a,b是常数，。）的函数,叫做一次函数，当人0时， 即”近，这时即是前一节所学过的正比例函数.，一次函数的解析式的影武是尸触土，要判断一个函数是否是一次函数，就是 判断是否能化成以上形式,当力U. 4.0时.八h仍是一次函数.当时0, % = 0时，它不是一次函数.3国庇比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数.钳识点二一次函数的图象及其画法P一次函数尸Ax+b （k-0,化.。为常数）的图象是一条直线d由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时.只要 先描出两个点，再

2、连成直线即可.“如果这个函数是正比例函数，通常取，。，山，3h两点；，如果这个函数是一般的一次函数（上。），通常取（3'0）'即直线与 网坐标轴的交点.由函数图象的意义知.满足函数关系式+ b的点小y在其对应的图象上. 这个图象就是一条直线，.反之，直线，上的点的坐标，口 j隔足八依+ b,也就是说, 直线，与y =fcc + b是一一对应的，所以通常把一次函数=依+ 3的图象叫做直线，, y -Ax + ,有时直接标为直线j =去力.，如设点三一次函数的性质当4。时，一次函数/收+匕的图象从左到右上升，j随I的增大前增大.当女。时.一次函数7h+b的图象从左到右下降.j时1的

3、增大而凌小.，如识点唱 一次函数=依+匕的图象、性质与人力的符号,士软汨廊等K7可其图票二量经家啊 至77可：具图象-定蛙过二,四象限当5。时,图攀与/轴交点在三轴上方.所以其图象一定经过一.二*|R.当5川时. 国家号；轴文点在工轴下方,所以其图象一定之加三.四家限.+反之.由一次的微F-hC的图象的粒置也可以确定其系数工.。的符号.潮侬区冏得定系费法求一次画熟的霹析式II建义.先设出函期晰K.再根据条件确定窜折式中知苗J系数，从而具体写出这个 式子的知法,叫我特字系数法.-121用存定系敷法求函裁解荀武的馔步St.根据己州翁件写出含有杼定系基的IS新式：一将丁了的几对值，或图等上的几个点的

4、坐标代入上述的解析式中，得到以桂定系 数为未知数的方程或方程里,一艇方程（坦上得到特定系毂的值.将求出的特定系械化回所求的函敷解析式中.得到所求的函数解析式.如洪京六 一次函与一元一次方程的关第I直线？1城*mm与1轴交点副姓标 就是一元一次方程蚣43求功的解.来亘珪y_fcf *匕与不轴交点时a可令"D .得到方程江+b=；.解方再行：“ T.河笠,-戕冬郭交 上轴于（-巳* /就是育埃了”与上轴交表的椀皇乐 <K腼点七 一次曲第与一元一次不等就关系：，任佝一兀一次不等武都可以转化为aff十8aQ域仃十为 <0 （ij. Tj为常数."：）的册式.所以 解-元

5、诙不等式可以看作工当 次磁值大（小）于。时，求自爱量相应的职值范围。WiMl 次函数与二元一次方程（S）的美系,.一次漏1ft的解析式学.M+b4k.6本身就是:一个二元一次方番直城*i力化0）上有 无费个点.号个点的喇坐标都满足二元一次力程丫=匕4也 （上.。兀因it二元一次方程的解 也就府无漱个. *目录入函数的定义（一）、一次函数的定义函数。（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图

6、像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。（常数项）b决定图象与y轴交点位置。五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2 , bl wb2两直线重合，k1= k2 , b1=b2两直线相交，k1丰k2两直线垂直，k1 Xk2=-1（一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量 x前面的字母k称为 比例系数这一节我们要学习正

7、比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b,如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数 y=kx0因此，正比例函 数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数， 所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之 间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系， 因 而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数 k就可以直接确定正比例函数或 反比例函数的解析式。但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式 就可以看出，函数y与自变量x之间没有

8、相直接对应的比例关系，因此这两种 函数自变量x前面的k,就不能叫比例系数，只能叫常数。若欲确定一次函数或 二次函数的解析式时，题意仅已知常数 k还不行，还需要其他常数如b、c等常 数的协助。我与代数部分:心人号细卜心儿？、JJL.7L元,3f 丁鹏上册ana）7TS 1:T.a -j小42!1义力样仃'I选一册第g次方程制卜册第2章）次疏散脑牛统I一册某2章1 反比例南靠f的量F删翦I仃，步项离的达算！7年畿下班3M章） 国式分情48阡耀下田苑】章；=T tt （了争城丈翻第t串, 粗道 WF纨匕制第I菽J 代徵式瓢上册第2审IJL次不等式仃：1攒七册整5年J 兀灰不等式盘行升镣下朋篦

9、1章：-：i卜函数是初中数学最难的内容，特别是四种函数都学完之后，把各种函 数甚至几何图形综合出题，考查你对函数基本知识如概念、性质、图像等的掌 握，对公式的记忆和你的综合分析能力，也是出题最后环节大应用题的精彩压 戏戏。尽管大纲要求降低对学生掌握函数难度的要求，但应试教育下函数仍应 该引起同学们对函数学习的足够重视。从上面初中数学代数知识结构框架图可以看出，初中所学函数包括一 次函数、反比例函数和二次函数。一次函数是入门课，而且在八年级下学习反 比例函数，九年级下学习二次函数时，都还要解决这后面学习的两种函数与一 次函数的交叉计算的问题，所以学好一次函数和正比例函数，对打好函数的基 础十分重

10、要。一次函数定义一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，kw0）的函数，叫做一次函数，当b=0 时，即y=kx,这时就是正比例函数。关键词：、自变量x的次数只能为1次；、kw0,否则自变量x的最高次项的系数不为1、一次项系数k不为0,而且x不能为分母（那就成为反比例函数了）， 而且x也不能在根号里面。一次函数解析式的判断根据一次函数y=kx+b的定义来判断：、判断是否能化成y=kx+b自变量 次数为1的定义式。、看它是否符合定义的这些条件“ k、b为常数，k，0, 自变量次数为1” ；判断一个函数是不是一次函数，首先对式子进行化简后，判断标准是： 未知数的次数只能是1次，而且未知数x不能在分母

11、或者根号里面。自变量 x 和因变量y有如下关系：y=kx+b,则此时称y是x的一次函数。（二）、正比例函数的定义正比例函数定义一般地，形如定义式y=kx（k是常数，kw0）,自变量x与函数y之间是k 倍关系的函数，叫做正比例函数。其中，k叫做比例系数。一般地，两个变量x, y之间的关系式可以表示成形如 y=kx （k为常数，且 kw0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数解析式 b = 0 （即所谓“ y轴上的截距”为零）时的 特殊情况。当b=0时，y=kx + b IP y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次 函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函

12、数。正比例函数解析式的判断根据正比例函数y=kx+b的定义来判断：、判断是否能化成y=kx自变量 次数为1的定义式。、看它是否符合定义的这些条件“ k为常数且，0,自变 量次数为1一般地，形如尸kx （ k是常数, k和）的函数，叫做正比例函数，其 中k叫做比例系数.t下列函数是否是正比例函数？比例系数是多少？CD是t比例系我依s.不是.C3） y=； 是，比例系数#=-.（4） s=兀尸,不是试判断下列函数中是正比例函数的是-k b . -W . . w U ir . r" 一.一 n -c 01 运- j 、G (2X3 -r6X/i )m(1) T=-(Z)y 7"(

13、yZ1)k3答：是反比例函数；自变量系数为 0,不是函数；是一次函数； 是。正比例函数是一次函数解析式 b=0 （即所谓“y轴上的截距”为零）时 的特殊情况。当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一 次函数.因此，正比例函数就是一次函数；一次函数不一定是一次函数。/.若函数¥口21112+8度"、口11+3）是正比例函数，则m的值是 3.解：因为晶数¥=（2012+8区川/+（m+3）是正比例图数）所以 21n工+8刈 , 1112-8= 1 r in+3=0 r所以m=3.（三）、一次函数与正比例函数的关系正比例函数属于一次函数。（四）

14、、自变量X取值范围的确定自变量X的取值范围应使解析式有意义。整式，x取一切实数；分式，x取分母不为零的数；二次根式，x取使被开方数为非负数的数；实际问题则需要根据实际情况来确定.2、图象法1、解不等式法:、函数的性质（一）、一次函数的性质当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，是增函数（即 y 随着x的增大而增大）。当b>0时，直线必通过第二象限；当 b<0时，直线 必通过第四象限当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，是减函数（即 y 随着x的增大而减少）。当b>0时，直线必通过第一象限；当 b<0时，直线 必通过第三象限。

15、（二）、正比例函数的性质一般地，正比例函数y=kx （k为常数，k，的图象是一条经过原点和（1,k） 的一条直线，我们称它为直线y=kx.。正比例函数y=kx（k w0）的性质：当k>0时，函数图像经过第一、三象限；自变量 x逐渐增大时，函数值y 也在逐渐增大；（也就是“提”的走向）当k<0时，函数图像经过第二、四象限；自变量 x逐渐增大时，函数值y 反而减小。（也就是“捺”的走向）归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k的符号。即：k>0提（一、三，增大）；k<0捺（二、四，减小）"在同一直角坐标系中国出y= - x1y=人，V=-3K的函数图象，并比

16、较它们的异同点.相同点：图 象经过二,四象 限，从左向右下 降；不同点：倾+料度不同t y= x, 工 y= - 2x, y- - 3x的函数图会离y轴 越来越近.X-6y64例2 在同一直角坐标系中画出产x, y=2x, ¥=3k的函数图象，并比较它们的异同点.相同点：图象经 过一、三象限，从左向 右上升；不同点：倾斜度 不同y=x, y=2x> 芋二3、的工数困象高鼎 越来越近.三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置正比例函数y=kx(k w0)是经过(0,0),(1,k)两点的一条直线；一次函数y=kx+b(k w0)是经过(0,b), (-b/k

17、, 0)两点的一条直线。因此，一次函数的图象和正比例函数的图象也称为直线y=kx , y=kx + b。理由是：当直线经过x轴，与x轴相交时，y=0,则kx+b=0,则x= -b/k.点的坐标为(-b/k,0)当直线经过y轴，与y轴相交时，x=0,在kx+b=y中，b=y,则点的坐标为(0,b).为什么一次函数y=kx + b(kw0)图象是一条直线？因为坐标满足一次函数 解析式的点都在直线上；而图象上点的坐标都满足一次函数解析式。解释：A、当x=0, y当然就等于二b,所以第一个数对点是(0, b)B、当y=0, x当然就等于=-b/k,所以第二个点是(-b/k, 0)一次函数y=kx+b的

18、图象是经过(0,b)和(-b/k,0)的一条直线正比例函数 一次函数解析式 T =k#)+ b小小为常数r扛卜桶)kM上0时在1JHJ象限 ke.h对忖,在I JL W象限. km时,在口，皿府象限 邛行于y = k*.一由它平移而a _ 巧kmh/f随工的普入鬲埔入：冷打0时J随*的增大而减小, 应用(11特定系殖法;(工),实际问题的应用,卜川味在，川象限：k0味在象限止比例威数捡拙殊的一汰函数(二)、一次函数的图像1、一次函数图像的形状一次函数的图像5线,因此一次函数5二0十b的图象也称为直线 尸上十冷，当 ykx+b 中 kXh b<0 时当干Mb中b>0时当广Bb中k&l

19、t;0,力时X一次函教 尸t+Mfc知）的图象是经过（0, b）和（上伞.0）当干Mb中kX）, b>0时痴综合结论总结：一次函数y=kx+b的图象有以下特点：分析：、在函数y=2x+6中，k>0, y的值随x值的增大而增大；在函数 y= -x+6中，y的值随x值的增大而减小。、由上可知，一次函数 y=kx+b中，y的值随x的变化而变化的 情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知 一次函数的图象不同之处是不过原点，但是和两个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（ 0, b） , （-b/k, 0）比较简单.2、一次函数图像的画法一次函数

20、y=kx + b的图象的画法：根据几何知识：经过两点能画出一条直 线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时,只要先描出两点，再连成直线即可。一般情况下是先选取它与两坐标轴的交点：(0, b) , (-b/k , 0).即横坐标或纵坐标为0的点。画一次函数的图象通通如下三个步骤：(1)列表：画一次函数y=kx + b(k皿图像先要列表只取两个点x0-b/kyb0(2)栉|点：根据“两点确定一条直线”的原理描出两个坐标点注意;画函数V=kx+b的象通常取点(3)连线：将描出的两个坐标点连接连成一条直线。(旦，旦)和(b/k 0)的一条直 坡口通常.我们把一次函数y=kx

21、 + b的图象叫 做直线V二kx * b画函数图象的步骤1-列表 2.描点3,连线例,：而由丫t3*3的图象 解,列表得7X0-1y3：0描点,连线如图:画正比例函数的图象时，怎样则最简便？为什么? 两点法工过点(祖正和(1. k)由一条直线1 即得y=k'依翔的图像用你认为最简单的方法画出 下列函数的图象：。)产 * (2)y = 一1了1 .过点0), (I , 3)面直线附y= 的图象2 .过点(0,0),(14)间有线: 斛¥二-3£的图象参考课件：一次函数的图像(三)、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状正比例函数的图像解析式图像图像分布函数变化情况k

22、.>0 （提）k<0 （捺）k>0 （提）k<0 （捺）y=kx（）是经过原点(0,0)和(1, k)的 一条直线。*- 、 .象限二、四象限y随着的x 增大而增 大y随着x的 增大而减 小总结：正比例函数的图象有以下特点：(1)正比例函数的图象都经过坐标原点。(2)作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找(1, k)点。(3)在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，k的值越大，如3,函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。k的值越小，如1/3,函数图象与x轴正方向所成的锐角 越小。(4)在正比但J函数y=kx的图象中，当k>0时，y的值随

23、x值的增大而增大；当k<0 时，y的值随x值的增大而减小。2、正比例函数图像的画法例1 :如果你不用两点法，而是想多描一些点，可以如下例。但是，两点决定一条直线，有两点就够了，不过下面仅是为了举个例子看一下，倒也无妨。产2*的图象为：x-3 -2 =1 0 I 2 3下面是实际中只用两个点画正比例图像的两个例子：例y=x;例y= -1/2 。例2:画函数y=x的图象解:选取两点(0阳,(1)图象为画正比例函数的图象有如下三个步骤(1)列表：画正比例函数y=kx + 0(k为)图像先要列表，像一次函数 一样，只取两个点，但其中有一个点的坐标必须在原点x01y0k(2)描点：根据“两点确定一

24、条直线”的原理描出两个坐标点(3)连线：将描出的两个坐标点连接连成一条直线。提示：根据正比例函数的图象是经过原点 O (0, 0)的一条直线及几 何中知识：两点确定一条直线，所以画正比例函数的图象只需要确定出图象上 两个点，其中有一个点是(0,0)的位置，过这两个点画出的直线就是正比例函 数的图象。3、举例说明正比例函数图像的画法挺好的百度一次函数图像课件1 .在同一坐标系中，画ZE比例函数产二Sxi的图象孑2 .在同一坐标系中，画正比例函数y二'3kJ 丁:一;二的图象,3 .利用以上两小题的图最理解、掌提正比例函数的性质°V=3 Xv = 1tX03y01画平面直角坐标系

25、，依列表卬数:值搀出点的位苴并画出图象（图一） 2列表：y = -3 江y = -rX5173-3Q3701画平面直角坐标系，依列表中敬值描出点的位置并画出图象（图二）推荐一个挺好的百度文库一次函数图像课件四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度当k>0时，k的值越大，如数字3,函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。k的值越小，如数字1/3,函数图象与x轴正方向所成的锐角越小。当k<0时，与上相反。（常数项）b决定图象与y轴交点位置。b=0直线正好与坐标交与原点；b>0,不论直线向哪边倾斜（无非只有两种倾斜角度），直线与y轴

26、交于上 半轴。当b<0时，直线与y轴则交于下半轴。K、b字母正负方向符号对直线位置的影响：当k>0时,y随x的增大而增大.图像经过一、三象限.当k<0时,y随x的增大而减小.图像经过二、四象限.当b>0时，图象与y轴的交点在x轴的上方.当b<0时，图象与y轴的交点在x轴的下方.当k>0时,直线与x轴的正方向夹的角是锐角。k的值越大，锐角的度数越大， 如3。k的值越小，锐角的度数越小大，如1 （见下图）。如果k是分数，如1/3 , 则与x轴的夹角就更小。当k<0时,直线与x轴的正方向夹的角是钝角,k的值越大，钝角的度数越大。（见下图）或者还可以单独把b归

27、纳：b决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线交y轴于在x轴的上方的正半轴，必通过一、二象限；当b<0时，直线交y轴于在x轴的下方的负半轴，必通过三、四象限；当b=0时，直线通过原点当b=0时，直线通过原点。在丫=质中，k的绝对值越大, 函薮图会越靠近y轴.典型例题对比分析强烈地感到一次函数直线y=kx +b中，决定这条直线位置的两个符号k和b的分工非常明确，各司其责。k是管象限和倾斜度的（决定直线的方向，上升或时下降）。系数k都相同， k都等于3,那就说明既然K的大小相同，那象限和倾斜度就都相同。这时不管 b的数字是多少，三条线肯定平行。b是直线与y轴交点的纵坐标，是管上下的。负责把直线在与y轴的交点上