2022年2022年高中数学竞赛讲义极限与导数

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高中数学竞赛讲义（十四）极限与导数一.基础学问1极限定义：（ 1）如数列 u n 满意,对任意给定的正数 ,总存在正数 m,当 n>m且 nn 时,恒有 |u n-a|< 成立（ a 为常数）,就称 a 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为,另外 =a表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 fx 极限为 a,称右极限；类似地 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 fx 的左极限；2极限的四就运算： 假如fx=a、gx=b ,那么fx± gx=a ± b、 fx.gx=ab、3. 连续：假如函数 fx在 x=x0

2、 处有定义,且fx存在,并且fx=fx 0 ,就称 fx 在 x=x0 处连续；4最大值最小值定理：假如fx为闭区间 a、b上的连续函数,那么 fx在a、b上有最大值和最小值；5导数：如函数 fx在 x0 邻近有定义,当自变量x 在 x0 处取得一个增量 x时（ x充分小）,因变量y也随之取得增量 y y=fx 0+ x-fx0.如存在,就称 fx在 x0 处可导,此极限值称为 fx在点 x0 处的导数（或变化率）,记作x 0 或或,即；由定义知 fx在点 x0 连续为 fx在 x0 可导的必要条件；如fx在区间 i上有定义,且在每一点可导,就称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载它

3、在此敬意上可导；导数的几何意义为：fx在点 x0 处导数x 0 等于曲线 y=fx在点 px 0、fx0 处切线的斜率；6几个常用函数的导数： （ 1）=0（ c 为常数） ；（2）（a为任意常数）；（3）4;5;6; （7）；（ 8）7导数的运算法就：如ux、vx在 x 处可导,且 ux 0、 就（1）；（ 2）；（ 3 ）（ c为常数）；（4 ）；（ 5 ）；8复合函数求导法：设函数y=fu、u=x ,已知x在 x 处可导, fu在对应的点uu=x处可导,就复合函数y=fx 在点 x 处可导,且（ fx=.9. 导数与函数的性质：（ 1）如 fx在区间 i上可导,就 fx在i上连续；（ 2

4、）如对一切 xa、b有,就 fx在a、b单调递增；（3）如对一切 x a、b有,就 fx在a、b单调递减；10极值的必要条件：如函数fx在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,就11. 极值的第一充分条件：设fx在 x0处连续,在x0 邻域x 0- 、x 0+ 内可导, （1）如当 xx- 、x 0 时,当 xx 0、x 0+精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 时,就 fx在 x0 处取得微小值；（ 2）如当 x x 0- ,x0 时,当 x x 0、x 0+ 时,就 fx在 x0 处取得极大值；12极值的其次充分条件：设fx在 x0 的某领域 x 0- 、x 0+ 内一阶可导,

5、在 x=x0 处二阶可导,且；（ 1）如,就 fx在 x0 处取得微小值；（ 2）如,就 fx在 x0 处取得极大值；13罗尔中值定理： 如函数 fx在a、b上连续, 在a、b上可导,且 fa=fb,就存在 a、b,使 证明 如当x a、b, fx fa,就对任意x a、b,. 如当 xa、b 时, fx fa ,由于 fx 在a、b 上连续, 所以 fx 在a、b 上有最大值和最小值, 必有一个不等于 fa ,不妨设最大值 m>fa 且 fc=m ,就 c a、b ,且 fc 为最大值,故,综上得证；14lagrange 中值定理：如 fx在a、b上连续,在a、b上可导,就存在 a、b

6、,使 证明令 fx=fx-、 就 fx 在a、b上连续,在a、b上可导,且 fa=fb,所以由 13 知存在 a、b使=0,即15曲线凸性的充分条件：设函数fx在开区间 i内具有二阶导数,（1）假如对任意 x i、 就曲线 y=fx在 i内为下凸的；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）假如对任意 xi、 就 y=fx在 i内为上凸的；通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载16琴生不等式：设 1、 2、 r+,1+2+n=1；（ 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n如 fx为a、b上的凸函数,就x1、x 2、x

7、n a、b有 fa 1x1+a2x2+anxn .a1fx 1 +a 2fx2+anfxn.二.方法与例题 1极限的求法；例 1求以下极限：（1）；（ 2）；（ 3）；（ 4） 解 （1）=；（2）当 a>1 时,当 0<a<1 时, 当 a=1 时,（3）由于而 所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（4）2例2求 下 列 极 限 ： （ 1 ）1+x1+x1+ 1+|x|<1；（2）；（ 3）； 解（ 1）1+x1+x21+1+=（2）=（3）=2连续性的争论；例 3设 fx在- 、+ 内有定义,且恒满意fx+1=2fx,又当 x 0、1时, fx=x1

8、-x2 ,试争论 fx在 x=2 处的连续性； 解 当 x0、1 时,有 fx=x1-x 2,在 fx+1=2fx 中令 x+1=t , 就 x=t-1 , 当 x 1、2 时 , 利 用 fx+1=2fx 有ft=2ft-1 , 因 为 t-1 0、1、 再 由 fx=x1-x 2 得ft-1=t-12-t 2、 从而 t 1、2 时、 有 ft=2t-1.2-t 2；同精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载理 , 当x 1、2时 , 令x+1=t, 就 当t 2、3时 , 有ft=2ft-1=4t-23-t2. 从而 fx=所以,所以fx=fx=f2=0,所以 fx在 x=2 处连

9、续； 3利用导数的几何意义求曲线的切线方程； 解由于点 2、0不在曲线上,设切点坐标为x 0、y 0 ,就,切线的斜率为,所以切线方程为y-y 0=,即； 又 因 为 此 切 线 过 点 （ 2、0） , 所 以,所以 x0 =1,所以所求的切线方程为y=-x-2,即x+y-2=0.4导数的运算；例 5求以下函数的导数：（1）y=sin3x+1；（2）；（ 3）y=ecos2x ；（ 4）；（ 5）y=1-2xx x>0 且 ； 解（ 1）3cos3x+1. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）（4）（5）5用导数争论函数的单调性；例 6设 a>0,求函数 fx=

10、-lnx+ax0、+的单调区间； 解,由于x>0、a>0 ,所以 x2+2a-4x+a2 >0；x2+2a-4x+a+<0.2（1）当 a>1 时,对全部 x>0,有 x2+2a-4x+a2>0,即x>0、fx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2在0、+ 上单调递增；（2）当 a=1 时,对 x 1、 有 x+2a-4x+a>0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即,所以 fx在（0,1）内单调递增,在（ 1,+）内递增,又 fx 在 x=1 处连续,因此 fx 在0、+ 内递增；（ 3）当 0<a<1

11、时 , 令 , 即 x2+2a-4x+a 2>0 , 解 得 x<2-a-或 x>2-a+, 因 此 , fx 在 0、2-a- 内 单 调 递 增 , 在 2-a+、+ 内也单调递增,而当 2-a-<x<2-a+时,2x +2a-4x+a2 <0,即,所以 fx在2-a-、2-a+内单调递减；6利用导数证明不等式；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 7设,求证： sinx+tanx>2x.2 证明 设fx=sinx+tanx-2x,就=cosx+sec x-2 ,当时,（由于 0<cosx<1）,所以=cosx+sec2x-

12、2=cosx+. 又 fx在上连续,所以 fx在上单调递增,所以当x时, fx>f0=0,即 sinx+tanx>2x.7. 利用导数争论极值；2例 8设 fx=alnx+bx+x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求a与 b 的值,并指出这时fx在 x1 与 x2 处为取得极大值仍为微小值； 解由于 fx在0、+ 上连续,可导,又fx在 x1=1, x2=2处 取 得 极 值 , 所 以, 又+2bx+1 , 所 以解得所以.所以当 x 0、1时,所以 fx在0、1上递减；当 x 1、2时,所以 fx在1 , 2 上递增；当 x 2、+ 时,所以 fx在2 ,+）上递减

13、；综上可知 fx在 x1=1 处取得微小值,在x2=2 处取得极大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例9设x0、 、y 0、1,试求函 数fx、y=2y-1sinx+1-ysin1-yx的最小值； 解第一,当 x 0、 、y0、1时,2fx、y=2y-1sinx+1-ysin1-yx=1-yx=1-y2x,令gx=、当时,由于 cosx>0、tanx>x,所以；当时,由于 cosx<0、tanx<0、x-tanx>0,所以； 又由于 gx 在0、 上连续,所以 gx 在0、 上单调递减；又 因 为0<1-yx<x< , 所 以g1

14、-yx>gx, 即,又由于,所以当 x 0、 、y 0、1时,fx、y>0.其次,当 x=0 时, fx、y=0；当 x=时, fx、y=1-ysin1-y .0.当 y=1 时, fx、y=-sinx+sinx=0；当 y=1 时, fx、y=sinx.0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 时,fx、y取最小值 0；三.基础训练题1= .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2已知,就 a-b= .3 .4 .5运算 .6如 fx为定义在 - 、+ 上的偶函数, 且存在,就 .7 函 数fx在 - 、+ 上 可 导 , 且, 就 .8如曲线 fx

15、=x4-x在点 p 处的切线平行于直线3x-y=0 ,就点 p坐标为 .9函数 fx=x-2sinx的单调递增区间为 .10函数的导数为 .11如曲线在点处的切线的斜率为,求实数a.12. 求 sin29 0 的近似值；13设 0<b<a<、 求证：四.高考水平练习题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1运算= .322运算 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3函数 fx=2x-6x+7 的单调递增区间为 . ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4函数的导数为 .5函数 fx在 x0 邻域内可导, a、b为实常数,如,就 .006函数 fx

16、=ex sinx+cosx、x的值域为 . 7过抛物线 x2 =2py 上一点 x 、y 的切线方程为 .438当 x>0 时,比较大小： lnx+1 x.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载59. 函数 fx=x-5x+5x+1、x -1、2的最大值为 ,最小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值为 .10曲线 y=e-x x . 0 在点 mt、e -t 处的切线 l与 x 轴.y 轴所围成的三角形面积为st,就 st的最大值为 .11如 x>0,求证： x 2-1lnx.x-12.12函数y=fx在区间 0、+ 内可导；导函数为减函数,且>0,x0

17、0、+ .y=kx+m 为曲线 y=fx在点x 0、fx0 处的切线方程,另设gx=kx+m ,（ 1）用 x0、fx0、表示 m；（ 2）证明：当 x 0、+ 时, gx .fx；（ 3）如关于 x 的不等式 x2+1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax+b.在0、+ 上恒成立,其中a、b为实数,求 b 的取值范畴及 a、b所满意的关系；13. 设各项为正的无穷数列 x n 满意 lnx n+、 证明： xn.1n n+.五.联赛一试水平训练题1设mn= （十进制） n位纯小数0.只取0或 1（ i=1、2、n-1 ）, an=1 ,tn 为 mn 中元素的个数, sn 为

18、mn 中全部元素的和,就 .x92如 1-2绽开式的第3项为288,就 .3设 fx、gx分别为定义在 r上的奇函数和偶函数, 当 x<0 时,且 g-3=0,就不等式 fxgx<0的解集为 .4曲线与的交点处的切线夹角为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+e5已知 a r,函数 fx=x2ax的单调递增区间为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载26已知在a、3-a 上有最大值,就a的取值范畴为 .27当 x 1、2时,fx=恒成立,就 y=lga-a+3的最小值为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8已知 fx=lnex+aa>0不 等 式 |m-f-1 x|+ln<0,如对任意x ln3a、ln4a,恒 成 立 , 就 实 数m 取 值 范畴 为 .9. 已知函数 fx=ln1+x-x、gx=xlnx、（ 1）求函数 fx的最大值；（ 2）设 0<a<b,证明： 0<ga+gb-<b-aln2.10.1 设函数 fx=xlog 2x+1-xlog 21-x 0<x<1 ,求 fx 的最小值；（ 2