高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：选修4-5不等式选讲word版含答案(精编版)

1、选修 4 5不等式选讲1不等式的性质和绝对值不等式(1)能利用三个正数的算术平均几何平均不等式证明一些简单的不等式， 解决最大 (小)值的问题； 了解基本不等式的推广形式(n 个正数的形式)(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式(3)掌握 |ax b|c，|axb|c，|xa| |xb|c， |xa| |xb|c 型不等式的解法2不等式的证明(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题(3)理解数学归纳法的原理

2、及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题知识点一绝对值不等式1绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a， b是实数，则 |ab|a|b|，当且仅当ab 0 时，等号成立；(2)定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|ac| |a b| |bc|，当且仅当 (ab)(bc)0时，等号成立2绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a 的解集：不等式a0a 0a0 |x|a x|axa x|xa 或 x0)型不等式的解法：|axb|c? c axb c；|axb|c? axbc 或 axb c. (3)|xa|x b| c、|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意

3、义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解易误提醒1对形如 |f(x)|a 或|f(x)|a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误2绝对值不等式|a| |b|a b|a| |b|中易忽视等号成立条件如|ab|a|b|当且仅当 ab0 时成立，其他类似推导自测练习 1设 a，b 为满足 ab|ab|b|ab|ab| c|ab|a|b| d|ab|a| |b| 解析： ab|ab|. 答案： b 2若存在实数x 使|xa|x1|3 成立，则实数a 的取值范围是 _解析 ： |xa|x1|(xa)(x1)| |a 1|，要使 |xa|x 1| 3 有解，可使 |a1|

4、3， 3 a13， 2a 4. 答案： 2,43不等式 |x 1| |x2|1 的解集是 _解析 ：f(x)|x1| |x2| 3 x1 ，2x1 1x2 ，3 x2 .当 1x2 时，由2x1 1，解得1x1.所以解集为 x|x1答案： 1， ) 知识点二不等式的证明1基本不等式定理 1：如果 a，br，那么 a2b2 2ab，当且仅当ab 时，等号成立定理 2：如果a，b0，那么ab2ab，当且仅当ab 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均定理 3：如果 a，b，c 全为正实数，那么abc33abc，当且仅当a bc 时，等号成立2比较法(1)比差法的依据

5、是：ab0? ab.步骤是： “作差变形判断差的符号”变形是手段，变形的目的是判断差的符号(2)比商法：若b0，欲证 ab，只需证ab 1. 3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立4柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2，等号当且仅当adbc 时成立易误提醒(1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号(2)在用

6、综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件自测练习 4设 ta2b，sab2 1，则 s与 t 的大小关系是 () astbstcstdst解析： stb22b1(b1)20， st. 答案： a 5已知 x， y 均为正数，且xy1，则3x4y的最大值为 _解析： 由柯西不等式得3x4y3 x4 y3242 xy 7. 答案：7 考点一绝对值不等式的解法|1(2015 高考山东卷 )不等式 |x1|x5|2 的解集是 () a(， 4)b(， 1) c(1,4) d(1,5) 解析： 当 x1 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即 42

7、，显然成立，所以此时不等式的解集为 (，1)；当 1x5 时，不等式可化为x1(x5)2，即 2x62，解得 x5 时，不等式可化为(x 1) (x5)2，即 42，显然不成立，所以此时不等式无解综上，不等式的解集为( ，4)故选 a. 答案： a 2(2015 南宁二模 )已知函数f(x)|xa|. (1)若 f(x)m 的解集为 x|1x 5，求实数a，m 的值；(2)当 a2 且 0t 2 时，解关于x 的不等式f(x)tf(x2)解： (1)|xa|m， maxma. ma 1，ma5，a2，m3. (2)f(x) tf(x 2)可化为 |x2|t|x|. 当 x(， 0)时， 2xt

8、 x,2t0， 0t2， x(，0)；当 x0,2)时， 2x tx，x1t2，0 x1t2， 11t22， 0 x1t2；当 x2，)时， x2tx，t2，当 0t2 时，无解，当t 2 时，x2， )当 0ta2bab2；(2)已知 a，b，c 都是正数，求证：a2b2b2c2c2a2a bcabc. 证明 ：(1)(a3b3)(a2bab2)(a b)(a b)2. 因为 a，b 都是正数，所以ab0. 又因为 ab，所以 (ab)20. 于是 (ab)(ab)20，即 (a3b3)(a2bab2)0，所以 a3b3a2bab2. (2)因为 b2 c22bc，a20，所以 a2(b2c

9、2)2a2bc.同理 b2(a2 c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而 a2b2b2c2c2a2abc(abc)由 a，b，c 都是正数，得abc0，因此a2b2b2c2c2a2abcabc. 探究三分析法证明不等式3已知 abc，且 abc 0，求证：b2ac3a. 证明 ：要证b2ac3a，只需证b2ac3a2. abc0，只需证b2a(ab)0，只需证 (ab)(2ab)0，只需证 (ab)(ac)0. abc， ab0， ac0. (ab)(ac)0 显然成立，故原不等式成立探究四放缩法证明绝对值不等式4

10、已知 x， yr，且 |xy|16，|xy|14，求证： |x5y|1. 证明 ： |x5y| |3(xy)2(xy)|. 由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(x y)|2(x y)|3|xy|2|xy| 3162141. 即|x 5y|1. 证明不等式的常用方法有比较法、综合法、 分析法 如果已知条件与待证结论直接联系不明显， 可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的， 则考虑用反证法； 如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明考点三绝对值不等式

11、的综合应用|(2015 郑州二检 )已知函数f(x)|3x2|. (1)解不等式f(x)0)，若 |xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数a 的取值范围解(1)不等式 f(x)4 |x1|，即 |3x2|x1|4. 当 x23时，即 3x2x14，解得54x23；当23 x1 时，即 3x2x14，解得23 x1 时，即 3x2x14，无解综上所述， x 54，12. (2)1m1n1m1n(m n)11nmmn4，令 g(x)|xa|f(x) |xa|3x2|2x2 a，xax23时， g(x)max23a，要使不等式恒成立，只需 g(x)max23a4，即 0a103. (1)研究含

12、有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法(2)f(x)a 恒成立 ? f(x)maxa 恒成立 ? f(x)mina. 设函数 f(x)|x1|x2|. (1)求证： f(x)1；(2)若 f(x)a22a21成立，求x 的取值范围解： (1)证明： f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|1. (2)a22a21a21 1a21a211a212，要使 f(x)a2 2a21成立，需且只需 |x1|x2|2，即x1，1x 2x2，或1xa 恒成立，求a 的取值范围思考点拨 利用绝对值不等式直接求最值解(

13、1)|x1|x 1| |1 x| |x1|1xx1|2，当且仅当 (1x)(x1)0，即1x1 时取等号 故当 1x1 时， 函数 f(x)|x1|x 1|取得最小值2. (2)因为 a|x 1| |x2|对任意实数恒成立所以a(|x 1|x2|)min. 因为 |x1| |x2|(x1)(x2)|3，所以 3|x 1| |x2|3. 所以 (|x1|x2|)min 3. 所以 a 3，即 a 的取值范围为 (， 3)方法点评 (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值； (2)求最值时要注意等号成立的条件跟踪练习 (2015辽宁协作体一模)已知函数f(x)|2x

14、1| |x| 2. (1)解不等式f(x) 0；(2)若存在实数x，使得 f(x)|x|a，求实数 a 的取值范围解： (1)不等式 f(x)0 等价于x12，1 2xx 20，或12x0，2x1 x20，或x0，2x1x20，解不等式组得x3，不等式组无解，解不等式组得x1，所求的不等式解集为 (， 31， )(2)f(x) |x|a，即为 |2x1|2|x|2 a?x12|x|1a2. 由绝对值的几何意义，知 x12|x|的最小值为12，故要满足题意，只需121a2?a3. a 组考点能力演练1已知 |2x3|1 的解集为 m，n(1)求 mn 的值；(2)若|xa|m，求证： |x|a|

15、1. 解： (1)由不等式 |2x3|1 可化为 12x 31 得 1x2，m1，n2，mn 3. (2)证明：若 |xa|1，则|x|xaa|xa|a|a|1.即 x|a|1. 2(2016 唐山一模 )已知函数f(x)|2xa|x1|. (1)当 a1 时，解不等式f(x)3；(2)若 f(x)的最小值为1，求 a 的值解： (1)因为 f(x) |2x1|x1|3x，x1，x2， 1x12，3x，x12，且 f(1)f(1)3，所以 f(x)3 的解集为 x|1x0 且互不相等，abc1.试证明：abc0，且互不相等，abc 1，所以abc1bc1ac1ab1b1c21a1c21a1b2

16、1a1b1c，即abc0；(2)若 f(x)3|x4|a1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围解： (1)原不等式即为|2x 1| |x4|0，当 x4 时，不等式化为12xx40，解得 x0的解集是 x|x 4当 4x0， 解得 x 1， 即不等式组4x0的解集是 x|4x0，解得 x5，即不等式组x12|2x1|x4|0的解集是 x|x5 综上，原不等式的解集为 x|x5 (2)f(x)3|x4|2x1| 2|x4| |12x|2x8|(12x)(2x8)|9. 由题意可知|a1|9，解得 8a10，故所求 a 的取值范围是a| 8a10 b 组高考题型专练1(2015 高考重庆卷改编

17、)若函数 f(x)|x1|2|x a|的最小值为5，求实数a 的值解： 当 a 1 时， f(x)3|x1|0，不满足题意；当 a1 时， f(x)3x12a，xax 12a，a 1，f(x)min f(a) 3a1 2a5，解得 a 6；当 a1 时， f(x)3x12a，x1x1 2a， 1af(x)min f(a) a12a5，解得 a4. 2(2015 高考湖南卷 )设 a0，b0，且 ab1a1b.证明：(1)a b2；(2)a2a2 与 b2b0，b0，得 ab1. (1)由基本不等式及ab 1，有 ab2 ab2，即 ab2，当且仅当a b1 时等号成立(2)假设 a2 a2 与 b2b2 同时成立，则由a2a0 得 0a1；同理， 0b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾故a2a2 与 b2b2 不可能同时成立3(2015 高考陕西卷 )已知关于 x 的不等式 |x a|b 的解集为 x|2x4(1)求实数 a，b 的值；(2)求at12bt的最大值解： (1)由|xa|b，得 bax0. (1)当 a