(完整版)离散型随机变量的分布列专项测试题-学生版

1、i1离散型随机变量的分布列专项测试题(2015· 常熟二模)已知离散型随机变量 X 的分布列为X X 的数学期望 E(X)( )A.32B2 C.52D3思路分析：利用公式 E ( X ) =x p +x p +LL +x p 求解即可。1 1 2 2 n n小结：E ( X ) =x p +x p +LL +x p 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量1 1 2 2 n n取值的平均水平2同时抛掷两枚质地均匀的硬币，随机变量 1 表示结果中有正面向上，0 表示结果中没有正面向上，则 E()( )1 1 3A. B C. D14 2 4思

2、路分析：同时抛掷两枚质地均匀的硬币会出现四种等可能的结果：正正，正反，反正，反反，其中没有正面向上1 3的有一种结果所以概率为 ，则有正面向上的概率为 ，写出分布列利用公式求期望。4 4小结：正确理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并 求概率，熟练掌握期望公式。3.(2015· 浙江联考)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为 ，则 E 为( )A1 B1.5 C2 D2.5思路分析： 可取 0,1,2,3。需注意 0 表示所选课程都不相同，为平均分组然后排序的问题。另外 2 所包含的 情况较多

3、，可以用间接法。小结：平均分组问题是排列组合的难点，经常与分布列综合考察，需要认真分析是否有顺序。利用分布列的性质nSi =1p =1 可利用间接法求某一个概率。4.已知随机变量 8，若 B(10,0.6)，则 E()，D()分别是( )A 6 和 2.4B 2 和 2.4C 2 和 5.6D 6 和 5.6思路分析：利用二项分布的性质，若 B(n，p)，则 E=np,D=np(1-p)，由h=8 - x可得 E()E(8),D()D(8)，利用公式E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)D(axb)a2D(x)(a，b 为常数)小结：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和

4、标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；常用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)D(axb)a2D(x)(a，b 为常数)需熟记第 1 页 共 8 页5. 已知抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a，b，c3，2，1，0，1，2，3，在这 些抛物线中，记随机变量 X 为“|ab|的取值”，则 X 的数学期望 E (X )为( )8 3 2 1A. B. C. D.9 5 5 3思路分析：对称轴在 y 轴的左侧即 a 与 b 同号正负都有 3 种选择，正确确定 X 的可能取值 0，1，2，并准确求其概 率。小结：利用抛物线的特点求出所有可能的情况，搞清随机变

5、量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各 种情形并求概率，利用公式求期望。填空题：6设随机变量 X 的概率分布列如下表所示：XP0a113216F (x)P (X x)，则当 x 的取值范围是1,2)时，F (x)_.思路分析：分布列中各项概率值和为 1，从而求 a.x的取值范围是1,2)需求 0 和 1 对应的概率之和。小结：本题的解题关键是离散型随机变量的性质。7(改编题)有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，从中有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次品的次数，则 DX _.1思路分析：由题意可知本题符合二项分布 X B (3， )，利用公式即可。4小结：明确二项分布的

6、概念抓住三个特性：（1）每次试验只有两类对应的结果；（2）n 次相同事件相互独立（独立 重复试验）；（3）每次试验的某一结果的概率是恒定的。c8.（改编题）设随机变量 的分布列为 P(k) ，k1,2,3，则 E()k1思路分析：分布列中各项概率值和为 1 求 c 的值，从而列出分布列用公式求期望。小结：熟记离散型随机变量分布列的性质及期望方差的公式。9两封信随机投入 A，B，C 三个空邮箱，则 A 邮箱的信件数 X 的期望为_思路分析：总投法种数是 32，A 中没有信只能选择 B 和 C 邮箱；A 中仅有一封信：从两封信选一封投入 A ，剩下的一封有两种选择；A 中有两封只有一种。小结：正确

7、理解随机变量表示的意义，搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情 形并求概率。第 2 页 共 8 页1 1 2 2n n解答题：10.公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有 2 个 A 班的同学和 2 个 B 班的同学；乙景点内有 2 个 A 班的同 学和 3 个 B 班的同学，后来由于某种原因，甲、乙两景点各有一同学交换景点参观求甲景点 A 班同学数 的分布 列及期望思路分析：甲景点 A 班同学数 的值 1 表示甲景点 A 班的同学与乙景点 B 班的同学交换景点参观；2 表示甲 景点 A 班的同学与乙景点 A 班的同学交换景点参观或表示甲景点 B 班的同学与乙景点

8、B 班的同学交换景点参观; 3 表示甲景点 B 班的同学与乙景点 A 班的同学交换景点参观。小结：求离散型随机变量 X 的期望的步骤为(1) 理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；(2) 搞清随机变量每个取值对应的随机事件和每个随机事件所包含的各种情形并求概率； (3)写出 X 的分布列；(4)利用公式 E(X)x p x p x p 求出期望第 3 页 共 8 页11（2015 衡中考前模拟）某校为了解 15 届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行 了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前 3 个小组的频率之比为 1:2:4， 其

9、中第二小组的频数为 11.(1) 求该校报考飞行员的总人数；(2) 若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3 人，设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数，求 X 的期望与方差。思路分析：先求出后两组的频率，利用前 3 个小组的频率之比为 1:2:4，可以求出第二组的频率，因为第二小组的频数为 11，可以求出总人数。第二问体重超过 60kg 的概率由于“人数很多”可以用频率代替，显然这是二项分布 的问题。小结：第一问属于统计问题利用频率和频数求总数，第二问要正确理解二项分布的概念关注是否是独立重复试验， 每次试验只有两类对应的结果超过 60kg

10、和不超过 60kg，每次试验的某一结果的概率是恒定的。第 4 页 共 8 页ii12.某人参加射击，击中目标的概率是131 设 x为他射击 6 次击中目标的次数，求随机变量x的分布列；2 若他连续射击 6 次，设 x为他第一次击中目标的次数，求 x的分布列；3 若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数x的分布列。思路分析：射击 6 次击中目标的次数x服从二项分布 Bæçè6,13ö÷；ø连续射击 6 次，第一次击中目标的次数 x， x=k 表示前 k 次未击中目标，而第 k +1 次击中目标， x的取

11、值为 0,1,2,3,4,5；若他只有 6 颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完分两种情况：x=k，表示前k -1次未击中，而第k次击中，k =1,2,3,4,5；x=6表示前 5 次未击中，第 6 次可以击中，也可以未击中。n小结：离散型随机变量的概率分布的两个本质特征：p 0（i=1，2，n）与 S p =1 是验证分布列中数值是否正i =1确的依据，此题还需注意书写的规范。第 5 页 共 8 页i12321 2 3i1 2 3i1 2 3n【练习题】1已知某一随机变量 的概率分布如下，且 E6.3，则 a 的值为( )P40.5a0.19bA.5 B6 C7 D8n思路分析：利

12、用分布列性质 S p =1 先求 b，再利用 E6.3 求 a。i =1小结：高考要求灵活应用分布列的性质，期望方差公式解决问题。2(2015· 黄山二模)已知随机变量 X 的分布列为XP10.220.430.4则 E(6X8)( )A13.2 B21.2 C20.2 D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式 E(axb)aE(x)b(a，b 为常数) 小结：熟记期望方差公式并灵活应用。(2015· 黄山二模)已知随机变量 X 的分布列为XP10.220.430.4则 E(6X8)( )A13.2 B21.2 C20.2 D22.2思路分析：先求 E(X)然后利用公式

13、 E(axb)aE(x)b(a，b 为常数)解析：由题意知，E(X)1×0.22×0.43×0.42.2，E(6X8)6E(X)86×2.2821.2. 小结：熟记期望方差公式并灵活应用。3.(2015· 常熟二模)随机变量 X 的分布列为XxxxPp1pp3若 p ，p ，p 成等差数列，则公差 d 的取值范围是_思路分析：考察离散型随机变量的性质每个概率都满足 0p 1 且 p p p =1。 小结：熟记并灵活应用离散型随机变量的性质每个概率都满足 0p 1 且 p p p K Kp =1。第 6 页 共 8 页i1 2 3ni1 2 3n

14、i4若 p 为非负实数，随机变量 X 的概率分布如下表，则 E(X)的最大值为_，D(X)的最大值为_.XP01p21p212思路分析：考察离散型随机变量的性质每个概率都满足 0p 1 且 p p p K K p =1，先求出 p 的范围再代 入 E(X)和 D(X)。小结：熟记并灵活应用离散型随机变量的性质每个概率都满足 0p 1 且 p p p KKp =1。5.（改编题）一次数学摸底考试，某班 60 名同学成绩的频率分布直方图如图所示若得分 90 分以上为及格从该 班任取一位同学，其分数是否及格记为，则的数学期望为 思路分析：本题属于两点分布，利用公式求期望。小结：熟悉不同类型的概率特点

15、并灵活应用公式。6袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分， 每个小球被取出的可能性都相等，用 X 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1) 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2) 随机变量 X 的分布列；(3) 计分介于 20 分到 40 分之间的概率思路分析：随机变量 X 所有可能的取值为 2，3，4，5；计分介于 20 分到 40 分之间则最大数字是 3 或 4.小结：离散型随机变量的分布列问题关键是正确确定随机变量的取值并求出相应的概率，注意分类讨论思想的应用。7.编号 1,2,3 的三位学生随

16、意入座编号 1,2,3 的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X. (1)求随机变量 X 的概率分布；(2)求随机变量 X 的数学期望与方差思路分析：本题需注意随机变量 X 的取值 X0，1，3。小结：求离散型随机变量 X 的方差的步骤：(1)写出 X 的所有取值；(2)计算 P(Xx )；(3)写出分布列，并求出期望 E(X)；(4)由方差的定义求出 D(X)8.(2015· 威海一模)设在 15 个同类型的零件中有两个次品，每次任取一个，共取3 次，并且每次取出后不再放回若 以 X 表示取出次品的个数，试求 X 的均值 E(X)和方差 D(X)思路分析：“每

17、次取出后不再放回”显然符合超几何分布，利用超几何分布的公式即可。小结：本题要注意区分二项分布与超几何分布的概念，不能将它们混为一淡二项分布的背景是“n 次独立重复试 验”，而超几何分布的背景为“在含有 M 件次品的 N 件产品中任取 n 件”，他们是“重复”与“不重复”的区别注 意题目中“并且每次取出后不再放回”所以，本题中 X 服从的是超几何分布第 7 页 共 8 页C C9在学校组织的足球比赛中，某班要与其他 4 个班级各赛一场，在这 4 场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、 平的概率相等已知当这 4 场比赛结束后，该班胜场多于负场(1) 求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2) 若胜场次数为 X，求 X 的分布列思路分析：该班级胜场多于负场的所有可能有四种可能：胜一场，胜两场，胜三场，胜四场分