抛物线动弦中点到y轴最短距离的推导计算

1、抛物线 y2 =2px(p>0) 的动弦 AB长为 a, 求动弦 AB的中点 M到 y 轴的最短距离。解：设直线 AB的方程为 x=ky+b, 与 y2 =2px 联立，得：y2 =2p(ky+b)y2 -2pky-2pb=0y1+y2=2pky1*y2=-2pb则(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=4p 2 k2 +8pb(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b) 2 =(ky1-ky2) 2 =k2 (y1-y2) 2 |AB|= (x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 = (k 2 +1)(y1-y2) 2 =(k 2 +1)(4p 2 k2 +8p

2、b)=a (k 2 +1)(4p 2 k2 +8pb)=a (k 2 +1)(4p 2 k2 +8pb)=a2 b=-pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=pk 2 +b点 M的横坐标为： pk2 +b即 M到 y 轴的距离为： pk2 +b而 pk2 +b=pk2 -pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=p （k2 +1）/2+a 2 /8p （k2 +1）-p/2（ a-p ）/2这里， (k 2 +1)=a/2p 能成立时，取得等号。而由于 (

3、k 2 +1)1，只有 a/2p 1，即 a2p 时，可取得等号，即(k 2 +1)=a/2p 能成立。此时，动弦 AB的中点 M到 y 轴的最短距离为（ a-p ）/2 。此时，将解出的 k、b 代入所设直线 AB的方程为 x=ky+b 可知：弦 AB过抛物线的焦点！当 a/2p<1 ，即 a<2p 时，不能取得等号。此时， k=0时， M到 y 轴的距离取得最小值 pk2 +b=b=-pk 2 /2+a 2 /8p （k2 +1）=a 2 /8p此时，将 k=0和解出的 b 代入所设直线 AB的方程为 x=ky+b 可知：弦 AB平行于 y 轴！已知抛物线 y2=2px(p&g

4、t;0) 的动弦 AB长为 a（a>=2p), 求证动弦 AB的中点 M到y 轴的最短距离是 (a-p)/2。证明：如图，设焦点 F 为（ P/2 ，0）作 MN，AP,BQ垂直于准线 X P/2 ，则有：ABAG+BG=AP+BQ=2MN得 MLa/2 ，a>=2p 时,ML1/2a 能取得等号 ,即 AB过焦点， MN取得最小值。而动弦 AB的中点 M到 y 轴的最短距离=MN取得最小值 -P/2=a/2-P/2=(a-p)/2例1 抛物线 y2 =8x 的动弦 AB的长为 6, 求弦 AB的中点 M到 y 轴的最短距离。解一：当|AB|<=2p 时,AB 平行于 y 轴

5、,AB 的中点到 y 轴的距离取得最小值设 A(x1,y1) 、B(x2,y2)AB平行于 y 轴,|y1| = |y2| = 3,且有 :y12=8x1y22=8x2（ x1+x2)/2 = （y12 +y2 2 ）/16 =18/16=9/8即 AB中点 M到 y 轴的最小距离 9/8解二：设直线 AB的方程为： x=ky+b, 则有：y2 =8(ky+b)y2 -8ky-8b=0y1+y2=8ky1*y2=-8b则(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=64k 2 +32b(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b)2 =(ky1-ky2) 2 =k2(y1-y2

6、) 2|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (k 2 +1)(y1-y2) 2=(k 2 +1)(64k2+32b)=4(k 2 +1)(4k 2 +2b)=6 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=3/2 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=9/42k2 (k 2 +1)+b(k 2 +1)=9/8 b(k 2 +1)=9/8-2k 2 (k 2 +1)b=9/8-2k 2 (k 2 +1)/(k2 +1)=9/8(k 2 +1)-2k 2而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k 2 +b点 M的横坐标为： 4k2 +b即 M到 y

7、轴的距离为： 4k2 +b而4k2 +b=4k2 +9/8(k 2 +1)-2k 2 =2k2 +9/8(k 2 +1)=2(k 2 +1)+9/8(k 2 +1)-2 22(k 2 +1) ×9/8(k 2 +1)-2=1 这里， (k 2 +1)=3/4 时， 2(k 2 +1)=9/8(k 2 +1) 才能取得等号。而(k 2 +1)1即 k=0时， M到 y 轴的距离取得最小值 9/8例2 抛物线 y2 =8x 的动弦 AB的长为 16, 求弦 AB的中点 M到 y 轴的最短距离。解一：设 A（x1,y1 ）、B(x2,y2)弦 AB的中点 M到 y 轴的距离最短 , 则弦

8、AB过焦点 y2 =8x焦点（ 2，0）准线 x=-2AB的长为 16则 x1+2+x2+2=16 x1+x2=12中点 M到 Y 轴的距离 =(x1+x2)/2=6解二：设直线 AB的方程为 x=ky+b和抛物线 y2 =8x 联立，得：y2 =8(ky+b)y2 -8ky-8b=0y1+y2=8ky1y2=-8b则(y1-y2) 2 =(y1+y2) 2 -4y1y2=64k 2 +32b(x1-x2) 2 =(ky1+b)-(ky2+b) 2 =(ky1-ky2) 2 =k2 (y1-y2) 2 弦 AB的长为： (x1-x2) 2 +(y1-y2) 2 =(k 2 +1)(y1-y2)

9、 2 =(k 2 +1)(64k 2 +32b) =4(k 2 +1)(4k 2 +2b) =16 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=4 (k 2 +1)(4k 2 +2b)=16 2k2 (k 2 +1)+b(k 2 +1)=8 b(k 2 +1)=8-2k 2 (k 2 +1)b=8-2k 2 (k 2 +1)/(k2 +1)=8/(k 2 +1)-2k 2而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k 2 +b点 M的横坐标为： 4k2 +b即 M到 y 轴的距离为： 4k2 +b而4k2 +b=4k2 +8/(k 2 +1)-2k 2=2k2 +8/(k 2 +1)=2