概率论和数理统计期末考试试题及答案_(2)

1、一、选择 题 ( 本大题分5 小题 , 每小题 3 分, 共 15 分 ) (1) 设a、b互不相容，且p(a)0，p(b)0，则必有(a)0)(abp (b)()(apbap(c)0)(bap(d)()()(bpapabp(2) 某人花钱买了cba、三种不同的奖券各一张. 已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(cpbpap如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱,则此人赚钱的概率约为(a) 0.05 （b） 0.06 (c) 0.07 （d） 0.08 (3),4,(2nx),5,(2ny5,421yppxpp，则(a) 对任意实数21,pp（

2、 b）对任意实数21,pp(c) 只对的个别值，才有21pp（d）对任意实数，都有21pp(4) 设随机变量x 的密度函数为)(xf，且),()(xfxf)(xf是 x 的分布函数，则对任意实数a成立的是（a）adxxfaf0)(1)(（b）adxxfaf0)(21)(（c）)()(afaf（d）1)(2)(afaf(5) 二维随机变量( x, y)服从二维正态分布，则x+y与x- y不相关的充要条件为（a）eyex (b)2222eyeyexex(c)22eyex(d)2222eyeyexex二、填空 题 (本大题 5 小题 , 每小题 4 分, 共 20 分 )(1) 4.0)(ap,3.

3、0)(bp,4.0)(bap,则_)( bap0.1 (2) 设随机变量x有密度其它010,4)(3xxxf,则使)()(axpaxp的常数a= 421(3) 设随机变量),2(2nx，若3.040xp, 则0 xp0.35 (4) 设两个相互独立的随机变量x和y均服从)51,1 (n，如果随机变量x-ay+2满足条件)2()2(2ayxeayxd，则a=20 _.(5)已知 x ),(pnb,且8)(xe,8.4)(xd, 则n=3 三、解答题（共 65 分）1、(10 分) 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%, 各车间产品的次品率分别

4、为5%,4%,2%, 求： (1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？解： a 为事件“生产的产品是次品”，b1为事件“产品是甲厂生产的”，b2为事件“产品是乙厂生产的”，b3为事件“产品是丙厂生产的”易见的一个划分是321,bbb (1) 由全概率公式，得.0345.0%2%40%4%35%5%25)()()()(3131iiiiibapbpabpap (2)由 bayes 公式有：2、(10 分) 设二维随机变量(x,y)的联合概率密度为，其它040 ,20),6(),(yxyxkyxf求： （1）常数k（2）)4(yxp2380345.0%4

5、%35)()()()()(31222iiibpbapbpbapabp解：（ 1）由于1),(dxdyyxf，所以1)6(4020dyyxkdx，可得241k（2）98)16621(241)6(2412204020dxxxdyyxdxx3、(10 分) 设x与y两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为., 0; 10, 1)(其它xxfx. 0,0; 0,)(yyeyfyy求: 随机变量yxz的概率密度函数. 解：由卷积公式得dxxzxfzfz),()(，又因为x与y相互独立，所以dxxzfxfzfyxz)()()(当10z时，;1)()()(0)(zzxzyxzedxedxxzfxfzf当0z

6、时，; 0)()()(dxxzfxfzfyxz当1z时，);1()()()(10)(eedxedxxzfxfzfzxzyxz所以;1)1(10100)()()(zeezezdxxzfxfzfzzyxz4、 （ 8 分）设随机变量x 具有概率密度函数其 他 ，,0;40,8)(xxxfx求：随机变量1xey的概率密度函数. 解：1xey的分布函数).(yfy)1ln()()1ln()1()()(yxxydxxfyxpyepyypyf.1,1; 10),1(ln161; 0,0442yeeyyy于是 y 的概率密度函数.,0; 10,)1(8)1ln()()(4其他eyyyyfdydyfyy5、

7、（ 8 分）设随机变量x 的概率密度为：xexfx21)(，求: x 的分布函数xdttfxf)()(当txtedtexfx2121)(,0-3分当txttedtedtexfx21121)(,0006、(9 分 ) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2 ，机器发生故障时全天停止工作，若一周5 个工作日里无故障，可获利润10 万元；发生一次故障可获利润5万元；发生二次故障所获利润0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元，求一周内期望利润是多少？解：解由条件知)2.0,5( bx，即5, 1 ,0,8.02.055kkkxpkk3, 2; 2, 0; 1, 5;0,10)(xxxxxgy)(216. 5057.02410.05328.0105 4 3220 15 010)()(50万元xpxpxpxpxpxpkxpkgxegeyk7、(10 分) 设)1 ,0(),1 ,0(nynx，且相互独立1,1yxvyxu，求: （ 1）分别求u,v的概率密度函数；（ 2）u,v的相关系数uv；、解： （1）因为)1 ,0(),1 ,0(nynx，且相互独立，所以1,1yxvyxu都服从正态分布，11) 1(eeyexyxeeu2)1(dydxyxddu所以)2, 1( nu，所以4241)(uueuf同理11