高中数学第1章不等关系与基本不等式4不等式的证明第3课时不等式的证明——反证法、放缩法、

1、第 3 课时不等式的证明反证法、放缩法、几何法学习目标： 1. 了解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤( 重点 )2. 会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式( 难点 ) 教材整理1 放缩法与几何法阅读教材p18p20，完成下列问题1放缩法证明命题时，有时可以通过缩小( 或放大 ) 分式的分母 ( 或分子 ) ，或通过放大( 或缩小 ) 被减式 ( 或减式 ) 来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法2几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法判断 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 分式的放缩可以通过放大(

2、或缩小 ) 分子 ( 或分母 ) 来进行 . ( ) (2) 整式的放缩可以通过加减项来进行. ( ) (3) 从ab14，cbc14，aac14，三式同向相乘，得(1 a)a(1 b)b(1 c)c164. 0a1，(1a)a1aa2214. 同理 (1 b)b14，(1 c)c14. 又(1 a)a，(1 b)b，(1 c)c均大于零，(1a)a(1b)b(1 c)c164，因此式与式矛盾故假设不成立，即原命题成立1反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过

3、正确推理推出与已知条件或定理事实相矛盾，或自相矛盾1若 0a2,0b2,0c1，2b c1，2c a1，那么2ab22a b1. 同理2bc21，2ca21. 得33，矛盾所以原命题得证. 反证法证明“至少”“至多”型命题【例 2】已知f(x) x2pxq，求证：(1)f(1) f(3) 2f(2) 2；(2)|f(1)| ，|f(2)| ，|f(3)| 中至少有一个不小于12. 精彩点拨 (1) 把f(1) ，f(2) ，f(3) 代入函数f(x) 求值推算可得结论(2) 假设结论不成立，推出矛盾，得结论 自主解答 (1)f(1) f(3) 2f(2) (1 pq) (9 3pq) 2(4

4、2pq) 2. (2) 用反证法证明假设 |f(1)| ，|f(2)| ，|f(3)| 都小于12，则有|f(1)| 2|f(2)|f(3)|2. 又|f(1)| 2|f(2)| |f(3)| f(1) f(3) 2f(2) 2，互相矛盾，假设不成立，|f(1)| ， |f(2)| ，|f(3)| 中至少有一个不小于12. 1当证明的题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明，在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾2已知函数yf(x) 在区间 (

5、a，b)上是增函数，求证：yf(x) 在区间 (a，b)上至多有一个零点 证明 假设函数yf(x) 在区间 (a，b) 上至少有两个零点不妨设x1，x2(x1x2) 为函数yf(x) 在区间 (a，b) 上的两个零点， 且x1x2， 则f(x1) f(x2)0. 函数yf(x) 在区间 (a，b)上为增函数，x1，x2(a，b) 且x1x2， f(x1)f(x2) ，与f(x1)f(x2) 0 矛盾，原假设不成立函数yf(x) 在(a，b) 上至多有一个零点. 放缩法证明不等式 探究问题 1若将1k2放大 ( 或缩小 ) ，常用哪些方法？ 提示 将分子或分母放大( 缩小 ) ：1k21) ，1

6、k21k k1，1k1)，1k2kk1(k1) 等2在整式放缩中，常用到哪些性质？ 提示 在整式的放缩中，常用到不等式的性质绝对值不等式、平均值不等式等如ab2ab(a，b为正数 )，a2b22ab，|a| |b| |ab| |a| |b| 等【例 3】已知an2n2，n为正整数，求证：对一切正整数n，有1a11a21an32. 精彩点拨 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项 自主解答 当n2时，an2n22n(n1) ，1an12n212n n1121n n 1121n11n，1a11a21an 1121121231n n111211212131n11n11211n3212n32，即1a

7、11a21an32. 放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略3求证： 11221321n2k(k1) ，1k21k k11k11k(k为正整数，且n2)，分别令k 2,3 ，n得122112112，1321231213，1n21n n11n11n，因此 11221321n21 11212131n11n111n21n，故不等式11221321n20，abbcac0，abc0， 用反证法求证a0，b0，c0时的假设为 ( ) aa0，b0，c0，c0 ca，b，c不全是正数dabc0 答案 c 3已知a，b，c，d都是正数，s

8、aabcbabdccdadcdb，则有 ( ) as1 cs2 d以上都不对 解析 s1abcd(abcd) 1. 答案 b 4已知a为正数，则12a，12a1，1aa1从大到小的顺序为_ 解析 aa1aa2a，aa1a1a12a1，2aaa11aa112a1. 答案 12a1aa112a15已知函数f(x) 是( ， ) 上的增函数，a，br. (1) 若ab0，求证：f(a) f(b) f( a) f( b) ；(2) 判断 (1) 中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论 证明 (1) ab0，ab. 由已知f(x)的单调性得：f(a) f( b) 又ab0?ba?f(b) f( a) 两式相加即得：f(a) f(b) f( a) f( b) (2) 命题 (